Kuidas arvutada pöördekeha ruumala kindla integraali abil? Matemaatika tunniplaani koostamine teemal “Tasapinnalised kujundid ja ruumilised kehad” (3. klass)

Geomeetrilised mahuarvud on tahked ained, mis hõivavad Eukleidilises (kolmemõõtmelises) ruumis nullist erineva ruumala. Neid arve uurib matemaatika haru, mida nimetatakse ruumigeomeetriaks. Teadmisi kolmemõõtmeliste kujundite omadustest kasutatakse inseneri- ja loodusteadustes. Artiklis käsitleme geomeetriliste kolmemõõtmeliste kujundite ja nende nimede küsimust.

Geomeetrilised tahked ained

Kuna neil kehadel on kolmes ruumisuunas lõplik mõõde, kasutatakse nende kirjeldamiseks geomeetrias kolme koordinaattelje süsteemi. Nendel telgedel on järgmised omadused:

1. Need on üksteisega risti, st risti.
2. Need teljed on normaliseeritud, mis tähendab, et iga telje baasvektorid on sama pikkusega.
3. Tulemuseks on mis tahes koordinaattelg vektorprodukt kaks teist.

Rääkides geomeetrilistest mahulistest kujunditest ja nende nimedest, tuleb märkida, et need kõik kuuluvad ühte kahest suurest klassist:

1. Polüheedrite klass. Need figuurid, mis põhinevad klassi nimetusel, on sirgete servadega ja lamedate nägudega. Nägu on tasapind, mis piirab kuju. Punkti, kus kaks tahku ühinevad, nimetatakse servaks ja punkti, kus ühinevad kolm tahku, nimetatakse tipuks. Polüeedrid hõlmavad kuubi geomeetrilist kujundit, tetraeedreid, prismasid ja püramiide. Nende kujundite puhul kehtib Euleri teoreem, mis loob seose iga hulktahuka külgede (C), servade (P) ja tippude (B) vahel. Matemaatiliselt on see teoreem kirjutatud järgmiselt: C + B = P + 2.
2. Ümarkehade või pöördekehade klass. Nendel kujunditel on vähemalt üks neid moodustav pind, mis on kumer. Näiteks pall, koonus, silinder, toru.

Mis puutub mahuliste näitajate omadustesse, siis tuleks esile tõsta neist kaks kõige olulisemat:

1. Teatud mahu olemasolu, mille kujund ruumis hõivab.
2. Iga kolmemõõtmelise kujundi olemasolu

Iga joonise mõlemat omadust kirjeldatakse konkreetsete matemaatiliste valemitega.

Vaatleme allpool lihtsamaid geomeetrilisi mahukujundeid ja nende nimetusi: kuup, püramiid, prisma, tetraeeder ja pall.

Kuubikukuju: kirjeldus

Geomeetriline figuurikuubik on kolmemõõtmeline keha, mis on moodustatud 6 ruudukujulisest tasapinnast või pinnast. Seda kujundit nimetatakse ka tavaliseks heksaeedriks, kuna sellel on 6 külge või risttahukas, kuna see koosneb 3 paarist paralleelsetest külgedest, mis on üksteisega risti. Seda nimetatakse kuubiks, mille alus on ruut ja mille kõrgus on võrdne aluse küljega.

Kuna kuup on hulktahukas või hulktahukas, saab selle servade arvu määramiseks rakendada Euleri teoreemi. Teades, et külgede arv on 6 ja kuubil on 8 tippu, on servade arv: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Kui tähistame kuubi külje pikkust tähega “a”, siis näevad selle ruumala ja pindala valemid välja järgmised: V = a 3 ja S = 6*a 2.

Püramiidi kuju

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb lihtsast hulktahukast (püramiidi alus) ja kolmnurkadest, mis ühenduvad alusega ja millel on üks ühine tipp (püramiidi tipp). Kolmnurki nimetatakse püramiidi külgmisteks tahkudeks.

Püramiidi geomeetrilised omadused sõltuvad sellest, milline hulknurk asub selle põhjas, samuti sellest, kas püramiid on sirge või kaldu. Sirge püramiidi all peame silmas püramiidi, mille jaoks aluse suhtes risti läbi püramiidi tipu tõmmatud sirgjoon lõikub selle geomeetrilises keskpunktis alusega.

Üks lihtsatest püramiididest on nelinurkne sirge püramiid, mille põhjas asub ruut küljega “a”, selle püramiidi kõrgus on “h”. Selle püramiidi kujundi puhul on maht ja pindala võrdsed: vastavalt V = a 2 *h/3 ja S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Seda taotledes, võttes arvesse asjaolu, et tahkude arv on 5 ja tippude arv on 5, saame servade arvu: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Tetraeedri kujund: kirjeldus

Geomeetrilise kujundi tetraeedrit mõistetakse kolmemõõtmelise kehana, mille moodustavad 4 tahku. Ruumi omaduste põhjal võivad sellised tahud kujutada ainult kolmnurki. Seega on tetraeeder püramiidi erijuhtum, mille põhjas on kolmnurk.

Kui kõik 4 kolmnurka, mis moodustavad tetraeedri tahke, on võrdkülgsed ja üksteisega võrdsed, nimetatakse sellist tetraeedrit korrapäraseks. Sellel tetraeedril on 4 tahku ja 4 tippu, servade arv on 4 + 4 - 2 = 6. Rakendades vaadeldavale joonisele tasapinnalise geomeetria standardvalemeid, saame: V = a 3 * √2/12 ja S = √ 3*a 2, kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.

Huvitav on märkida, et looduses on mõnel molekulil korrapärase tetraeedri kuju. Näiteks metaani molekul CH 4, milles vesinikuaatomid paiknevad tetraeedri tippudes ja on süsinikuaatomiga ühendatud kovalentsete keemiliste sidemetega. Süsinikuaatom asub tetraeedri geomeetrilises keskpunktis.

Tetraeedri kuju, mida on lihtne valmistada, kasutatakse ka inseneritöös. Näiteks kasutatakse tetraeedrilist kuju laevade ankrute valmistamisel. Pange tähele, et NASA kosmosesond Mars Pathfinder, mis maandus Marsi pinnale 4. juulil 1997, oli samuti tetraeedri kujuga.

Prisma kuju

Selle geomeetrilise kujundi võib saada, kui võtta kaks hulktahukat, asetada need üksteisega paralleelselt erinevatel ruumitasanditel ja ühendada nende tipud vastavalt. Tulemuseks on prisma, mille kahte hulktahukat nimetatakse selle alusteks ja neid polüeedreid ühendavad pinnad on rööpkülikukujulised. Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle küljed (parallelogrammid) on ristkülikud.

Prisma on hulktahukas, seega on Euleri teoreem selle puhul tõene. Näiteks kui prisma alus on kuusnurk, siis on prisma külgede arv 8 ja tippude arv 12. Servade arv on võrdne: P = 8 + 12 - 2 = 18 Sirge prisma kõrgusega h, mille põhjas asub korrapärane kuusnurk küljega a, on ruumala: V = a 2 *h*√3/4, pindala on võrdne: S = 3*a*(a*). √3 + 2*h).

Rääkides lihtsatest geomeetrilistest mahulistest kujunditest ja nende nimedest, peaksime mainima palli. Mahulist keha, mida nimetatakse kuuliks, mõistetakse kui keha, mis on piiratud sfääriga. Kera on omakorda ühest punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide kogum ruumis, mida nimetatakse sfääri keskpunktiks.

Kuna pall kuulub ümmarguste kehade klassi, siis pole selle jaoks külgede, servade ja tippude mõistet. Kuuli ümbritseva sfääri pindala leitakse valemiga: S = 4*pi*r 2 ja kuuli ruumala saab arvutada valemiga: V = 4*pi*r 3 /3, kus pi on arv pi (3,14), r on sfääri (kuuli) raadius.

Mahulised kehad. Vaadake enda ümber ja te leiate kõikjalt kolmemõõtmelisi kehasid. Need on sellised geomeetrilised kujundid, millel on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Näiteks mitmekorruselise hoone kujutamiseks piisab, kui öelda: "See maja on kolm sissepääsu pikk, kaks akent laiad ja kuus korrust kõrge." Teile tuntud alates Põhikool ristkülikukujuline rööptahukas ja kuup on täielikult kirjeldatud kolmes mõõtmes. Kõigil meid ümbritsevatel objektidel on kolm mõõdet, kuid kõiki neid ei saa nimetada pikkuseks, laiuseks ja kõrguseks. Näiteks puu puhul saame määrata ainult kõrguse, köie puhul pikkuse, augu puhul sügavuse. Ja palli pärast? Kas sellel on ka kolm mõõdet? Me ütleme, et kehal on kolm mõõdet (on mahuline), kui sellesse saab asetada kuubi või palli.

Slaid 2 esitlusest "Polühedra ruumala valem". Arhiivi suurus koos esitlusega on 1207 KB.

Geomeetria 11. klass

kokkuvõte muud ettekanded

"Geomeetrilised pöörlevad kehad" - visualiseerimine. Praktiline osa. Töö loominguline rühm. Teooria kordamine. Inimesed loomingulised elukutsed. Kogemuste vahetus. Inspiratsioon. Aja organiseerimine. Ainus viis õppida on lõbutseda. Geomeetriliste tahkete ainete muuseum. Inimesed, kes pühendusid teadusele. Kehad. Teaduse inimesed töötavad. Üks tark kõndis. Kokkuvõtteid tehes. Silindriline pind. Töötavate elukutsete inimesed. Õpilaste teadmised. Pöörlevad kehad. Põhiteadmised.

"Kolme risti teoreem" - punkt. Joonte perpendikulaarsus. Mõtlemine. Kolme risti teoreem. Rööpküliku tasandiga risti. Otse. Jalad. Perpendikulaarne. Teoreem. Diagonaalide ristumiskohad. Joonelõik. Risti kolmnurga tasapinnaga. Rombi külg. Kolmnurga küljed. Kaugus. Perpendikulaarid joontega. Mõtle selle üle. MA segment. Ehitusülesanded. Tõestus. Pöördeteoreem. Ülesanded TTP kasutamiseks.

“Sfääri ala” – palli läbimõõt (d=2R). Suure ringi raadius on kuuli raadius. Kiht=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Segmendi kõrgus (h). Raadiusega sfääri pindala. Segmendi alus. Vsh. sektorid = 2/3PR2h. Kera keskpunkt (C). Kera, sfäärilise segmendi ja sfäärilise kihi maht. Esimese pindala väljendatakse raadiuse kaudu. korda suurringi pindala. , ja sfääri pindala on 4РR2. palli kirjeldatakse. Kera maht on 288.

“Polyhedra maailmas” - Polyhedra. Kuubi ülaosa. Polüheedrite maailm. Kepleri-Poinsoti kehad. Matemaatika. Kuninglik haud. Euleri tunnusjoon. Tetraeeder. Geomeetria. Farose tuletorn. Kumer hulktahukas. Archimedese kehad. Polühedra kunstis. Tulekahju. Tähtkujuline dodekaeeder. Magnus Weninger. Euleri teoreem. Aleksandria tuletorn. Regulaarne hulktahukas. Viis kumer tavaline hulktahukas. Mõnede hulktahukate arengud.

“Filosoof Pythagoras” – teadmised muusika põhitõdedest. Sõna "filosoof". Pythagorase elu ja teaduslikud avastused. Pythagoras kohtus Pärsia mustkunstnikega. Matemaatika. Lennu suund. Moto. Egiptuse templid. arvasin. Kaasaegse matemaatika rajaja. Tõsi. Surematu idee. Mnesarchus. Pythagoras.

“Koordinaatide ülesanded” – leidke vektori a pikkus, kui sellel on koordinaadid: (-5; -1; 7). Lihtsamad ülesanded koordinaatides. Vektorite punktkorrutis. Vektor AB. Ülesannete lahendamine: (kaartide abil). Kuidas arvutada vektori pikkust selle koordinaatide järgi. Tunni eesmärgid. Mida nimetatakse skalaarkorrutis vektorid. Punktide A ja B vaheline kaugus. Vektoril A on koordinaadid (-3; 3; 1). M – lõigu AB keskkoht. Tunniplaan. Kuidas leida lõigu keskpunkti koordinaate.

Nagu ala leidmise probleemi puhul, on teil vaja enesekindlaid joonistamisoskusi - see on peaaegu kõige olulisem (kuna integraalid ise on sageli lihtsad). Saate omandada pädevaid ja kiireid kaardistamistehnikaid õppematerjalid ja graafikute geomeetrilised teisendused. Aga tegelikult olen ma juba mitu korda tunnis rääkinud joonistuste tähtsusest.

Üldiselt on integraalarvutuses palju huvitavaid rakendusi, kasutades kindlat integraali, saate arvutada figuuri pindala, pöörde keha ruumala, kaare pikkuse, pöörde pindala ja palju muud; rohkem. Nii et see saab olema lõbus, palun jääge optimistlikuks!

Kujutage ette mingit lamedat kujundit koordinaattasandil. Tutvustatakse? ... Huvitav, kes mida esitles... =))) Oleme selle ala juba leidnud. Kuid lisaks saab seda joonist pöörata ja pöörata kahel viisil:

– ümber abstsisstelje;
– ümber ordinaattelje.

Selles artiklis käsitletakse mõlemat juhtumit. Eriti huvitav on see teine ​​pööramisviis, kuid tegelikult on lahendus peaaegu sama, mis tavalisemal ümber x-telje pööramisel. Boonusena pöördun tagasi figuuri pindala leidmise probleem, ja ma ütlen teile, kuidas leida ala teisel viisil - piki telge. See pole niivõrd boonus, kuivõrd materjal sobib hästi teemasse.

Alustame kõige populaarsema pöörlemisviisiga.

lame kuju ümber telje

Näide 1

Arvutage keha ruumala, mis saadakse joontega piiratud kujundi pööramisel ümber telje.

Lahendus: Nagu piirkonna leidmise probleemi puhul, lahendus algab lameda kujundi joonistamisega. See tähendab, et tasapinnal on vaja konstrueerida joonis, mis on piiratud joontega ja ärge unustage, et võrrand määrab telje. Kuidas joonistust tõhusamalt ja kiiremini täita, saab lugeda lehekülgedelt Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused Ja Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. See on Hiina meeldetuletus ja edasi praegusel hetkel Ma ei peatu enam.

Siinne joonis on üsna lihtne:

Soovitud tasane kujund on varjutatud ümber telje. Tegelikult on kehal matemaatiline nimi, kuid ma olen liiga laisk, et teatmeteoses midagi selgitada, nii et liigume edasi.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala?

Pöördekeha ruumala saab arvutada valemi abil:

Valemis peab arv olema integraali ees. Nii ka juhtus – kõik, mis elus keerleb, on selle konstandiga seotud.

Arvan, et valminud joonise põhjal on lihtne ära arvata, kuidas seada integreerimise piirid “a” ja “olla”.

Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Tasapinna kujund on piiratud ülaosas oleva parabooli graafikuga. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud.

Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all. See ei muuda midagi – integrand valemis on ruudus: , seega integraal on alati mittenegatiivne, mis on väga loogiline.

Arvutame pöördekeha ruumala järgmise valemi abil:

Nagu ma juba märkisin, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Oma vastuses peate märkima mõõtme – kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks kuubik ühikut? Sest kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetrit, võib olla kuupmeetrit, võib olla kuupkilomeetrit jne, nii palju rohelisi mehikesi suudab teie fantaasia lendavasse taldrikusse panna.

Näide 2

Leia keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joontega piiratud kujundi telje , ,

See on näide sõltumatu otsus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Vaatleme veel kahte keerulised ülesanded, mida praktikas samuti sageli kohtab.

Näide 3

Arvutage keha ruumala, mis saadakse, pöörates ümber joonise abstsisstelje, mis on piiratud joontega , ja

Lahendus: Kujutagem joonisel lamedat joonist, mis on piiratud joontega , , , , unustamata, et võrrand määrab telje:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Kui see pöörleb ümber oma telje, osutub see nelja nurgaga sürrealistlikuks sõõrikuks.

Arvutame pöörleva keha ruumala kui kehade mahtude erinevus.

Kõigepealt vaatame punasega ringis olevat joonist. Kui see pöörleb ümber telje, saadakse kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse mahtu tähisega.

Mõelge joonisele, mis on ringiga ümbritsetud roheline. Kui pöörate seda kujundit ümber telje, saate ka kärbitud koonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle helitugevust .

Ja ilmselgelt on mahtude erinevus täpselt meie “sõõriku” maht.

Me kasutame standardvalem pöörde keha mahu leidmiseks:

1) Punasega ümbritsetud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonis on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöörlemiskeha maht:

Vastus:

On uudishimulik, et sisse sel juhul lahendust saab kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise kooli valemiga.

Otsus ise kirjutatakse sageli lühemalt, umbes nii:

Nüüd puhkame veidi ja räägime teile geomeetrilistest illusioonidest.

Tihti on inimestel köidetega seotud illusioone, mida märkas raamatus Perelman (teine). Meelelahutuslik geomeetria. Vaadake lahendatud ülesande lamedat joonist - selle pindala tundub olevat väike ja pöördekeha maht on veidi üle 50 kuupühiku, mis tundub liiga suur. Muide, keskmine inimene joob kogu oma elu jooksul samaväärse toa, mille pindala on 18. ruutmeetrit, mis, vastupidi, tundub olevat liiga väike maht.

Üldiselt oli NSV Liidu haridussüsteem tõesti parim. Seesama 1950. aastal ilmunud Perelmani raamat arendab väga hästi, nagu humorist ütles, mõtlemist ja õpetab otsima probleemidele originaalseid, ebastandardseid lahendusi. Lugesin hiljuti mõne peatüki suure huviga uuesti läbi, soovitan, see on kättesaadav isegi humanistidele. Ei, ei pea naeratama, et pakkusin vaba aega, eruditsioon ja lai silmaring suhtlemisel on suurepärane asi.

Pärast lüüriline kõrvalepõige on asjakohane otsustada loominguline ülesanne:

Näide 4

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje tasapinnalise kujundi, mis on piiratud joontega , , kus .

See on näide, mille saate ise lahendada. Pange tähele, et kõik juhtumid esinevad sagedusalas, teisisõnu on tegelikult antud integratsioonile valmis piirid. Joonistage graafikud õigesti trigonomeetrilised funktsioonid, tuletan teile meelde õppetunni materjali graafikute geomeetrilised teisendused: kui argument on jagatud kahega: , siis venitatakse graafikud piki telge kaks korda. Soovitav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite järgi joonise täpsemaks lõpuleviimiseks. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Muide, ülesannet saab lahendada ratsionaalselt ja mitte väga ratsionaalselt.

Pöörlemisel tekkiva keha ruumala arvutamine
lame kuju ümber telje

Teine lõik on veelgi huvitavam kui esimene. Ümber ordinaattelje pöörleva keha ruumala arvutamise ülesanne on samuti üsna sage külaline. testid. Teel seda kaalutakse figuuri pindala leidmise probleem teine ​​meetod on integreerimine piki telge, see võimaldab teil mitte ainult oma oskusi parandada, vaid ka õpetab teid leidma kõige kasumlikuma lahendustee. Sellel on ka praktiline mõte. elu mõte! Nagu mu matemaatika õpetamismeetodite õpetaja naeratades meenutas, tänasid paljud lõpetajad teda sõnadega: "Teie aine aitas meid palju, nüüd oleme tõhusad juhid ja juhime personali optimaalselt." Seda võimalust kasutades avaldan talle ka suurt tänu, seda enam, et kasutan omandatud teadmisi sihtotstarbeliselt =).

Soovitan kõigile, isegi täielikele mannekeenidele. Veelgi enam, teises lõigus õpitud materjal pakub hindamatut abi topeltintegraalide arvutamisel.

Näide 5

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joontega , , .

1) Leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala.
2) Leidke keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

Tähelepanu! Isegi kui soovite lugeda ainult teist punkti, siis kõigepealt Tingimata loe esimest!

Lahendus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruudust.

1) Teeme joonise:

On hästi näha, et funktsioon määrab parabooli ülemise haru ja funktsioon määrab parabooli alumise haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "lebab küljel".

Soovitud kujund, mille pindala tuleb leida, on varjutatud sinisega.

Kuidas leida figuuri pindala? Seda võib leida “tavalisel” viisil, millest tunnis räägiti Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. Lisaks leitakse joonise pindala pindalade summana:
- segmendil ;
- segmendil.

Sellepärast:

Miks on tavalahendus sel juhul halb? Esiteks saime kaks integraali. Teiseks on integraalid juured ja integraalide juured ei ole kingitus, pealegi võite integratsiooni piiride asendamisel segadusse sattuda. Tegelikult pole integraalid muidugi tapjad, kuid praktikas võib kõik palju kurvem olla, valisin probleemi jaoks lihtsalt “paremad” funktsioonid.

On olemas ratsionaalsem lahendus: see seisneb pöördfunktsioonidele üleminekus ja piki telge integreerimises.

Kuidas jõuda pöördfunktsioonide juurde? Jämedalt öeldes peate väljendama "x" kuni "y". Kõigepealt vaatame parabooli:

Sellest piisab, kuid veendume, et sama funktsiooni saab tuletada alumisest harust:

Sirge joonega on lihtsam:

Nüüd vaadake telge: palun kallutage oma pead perioodiliselt 90 kraadi paremale, kui selgitate (see pole nali!). Vajalik joonis asub segmendil, mida tähistab punane punktiirjoon. Sel juhul asub lõigul sirgjoon parabooli kohal, mis tähendab, et joonise pindala tuleks leida teile juba tuttava valemi abil: . Mis on valemis muutunud? Ainult kiri ja ei midagi enamat.

! Märge: Integreerimise piirid piki telge tuleks määrata rangelt alt üles!

Piirkonna leidmine:

Segmendis seega:

Pange tähele, kuidas ma integreerimise läbi viisin, see on kõige ratsionaalsem viis ja ülesande järgmises lõigus selgub, miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integreerimise õigsuses, leian tuletised:

Saadakse algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integreerimine viidi läbi õigesti.

Vastus:

2) Arvutame selle kujundi ümber telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala.

Joonistan joonise veidi teistsuguse kujundusega:

Niisiis, sinisega varjutatud kujund pöörleb ümber telje. Tulemuseks on "hõljuv liblikas", mis pöörleb ümber oma telje.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks integreerime piki telge. Kõigepealt peame minema pöördfunktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja eelmises lõigus üksikasjalikult kirjeldatud.

Nüüd kallutame pea uuesti paremale ja uurime oma figuuri. Ilmselt tuleks ruumalade erinevusena leida pöörleva keha ruumala.

Pöörame punase ringiga figuuri ümber telje, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistagem seda mahtu .

Pöörame roheliselt ringitatud figuuri ümber telje ja tähistame seda saadud pöörlemiskeha mahuga.

Meie liblika maht võrdub mahtude erinevusega.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks kasutame valemit:

Mis vahe on eelmises lõigus toodud valemist? Ainult kirjas.

Kuid integratsiooni eelist, millest ma hiljuti rääkisin, on palju lihtsam leida , selle asemel, et tõsta integrand esmalt 4. astmele.

Vastus:

Samas mitte haige liblikas.

Pange tähele, et kui sama lamedat kujundit pöörata ümber telje, saate loomulikult täiesti erineva pöörlemiskeha, erineva helitugevusega.

Näide 6

Antud lame kujund, mis on piiratud joonte ja teljega.

1) Minge pöördfunktsioonide juurde ja leidke nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala, integreerides muutujaga.
2) Arvutage keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

See on näide, mille saate ise lahendada. Huvilised saavad figuuri pindala leida ka “tavapärasel” viisil, kontrollides sellega punkti 1). Aga kui, kordan, pöörate lamedat kujundit ümber telje, saate täiesti erineva pöördekeha erineva helitugevusega, muide, õige vastuse (ka neile, kellele meeldib probleeme lahendada).

Ülesande kahe pakutud punkti täielik lahendus on õppetunni lõpus.

Jah, ja ärge unustage oma pead paremale kallutada, et mõista pöörlemiskehi ja integratsiooni piire!

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.

Sihtmärk:

• süvendada ja laiendada laste arusaamist lamedate ja kolmemõõtmeliste objektide kohta; nende võrdlemine ja erinevuste tuvastamine;
• õpilaste teadmiste tuvastamine ja üldistamine geomeetriliste kujundite ja nende omaduste kohta;
• erinevate lamedate figuuride kujundamine;
• grupis töötamise oskuste arendamine, reeglite järgimine, eesmärgi püstitamine, selle saavutamine, oma töö ja rühma töö analüüsimine.

Vorm:õppetund-reisid või rühmatööd klassivälises tegevuses.

Varustus: esitlus klassile; iga rühma jaoks: ehituskomplekt, ümbrikud ülesannete ja joonistega, geomeetrilised kehad, reeglikaardid.

Tunni edenemine

I. Organisatsioonimoment.

Tulime siia õppima, mitte laisklema, vaid tööd tegema.
Töötame hoolega ja kuulame tähelepanelikult.
Koos, rõõmsalt ja sõbralikult teeme kõike, mida vajame.

Meie tänane töö toimub rühmades. Kordame üle oma töö reeglid: (iga rühma töölaudadel on meeldetuletuskaart, tuletage iga reeglit meelde - vanemad rühmad kordamööda). Reeglid on lisas.

Kas teadsite, et sisse tohutu maailm Matemaatikuid on palju huvitav riik ilusa nimega - Geomeetria. Seda riiki ei asustata numbrid, vaid erinevad jooned, kujundid ja kehad. (Slaid 2)

Täna läheme teekonnale läbi Geomeetria riigi ja külastame linnu, kus lamedad ja mahulised arvud. Meie ülesanne on välja selgitada, millised geomeetrilised kujundid on lamedad ja millised kolmemõõtmelised ning kuidas need erinevad.

Reisime kuumaõhupalliga. (Slaid 3)

Miks sa arvad? - Kokkupandud geomeetrilistest kujunditest.

Rännaku käigus saame teada, millisesse rühma kuuluvad meie õhupalli osad.

II. Põhiosa.

Nii et lähme!

Näeme linna ees. Milline linn? Vaata!

1. peatus – jaotuspeatus.

Jah, mitte üks linn, vaid kaks. (4. slaid)

Teie ees on kaks linna. Lugege nende nimesid.

Töölaudadel näete ka erinevaid kujusid - need on linnaelanikud. Vaadake ümbrikus olevaid figuure, nimetage neid, rääkige meile ühest.

Töö rühmades.

Nüüd öelge meile, milliste arvudega te asusite Lamedate figuuride linn.

Laste vastused. (4. slaid vasakule)

Mis on ühist kõigil tasapinnalistel figuuridel?

(Need asetatakse täielikult lehele või lauale, ei tõuse tasapinnast kõrgemale, neid saab paberist välja lõigata.)

Matemaatikud ütlevad seda lennuk - see on kahemõõtmeline ruum, st. sellel on kaks mõõdet: pikkus ja laius.

Milliseid lamedaid figuure sa veel tead?

Segmendid, sirged, kolmnurgad, ringid...

Nüüd nimetage kujud, mis sisse elasid Mahuliste arvude linn.

Laste vastused. (4. slaid paremale)

Mis on neil kujunditel ühist?

Ükskõik, kuidas te neid asetate, tõusevad need lauast või lauast kõrgemale.

Milliseid kolmemõõtmelisi kujundeid te veel teate? Iga rühm nimetab oma kolmemõõtmelisi kujundeid. Laste vastused.

Geomeetrias on mahukujundite jaoks spetsiaalne nimi - geomeetriline keha.

Kõik kehad meie ümber on olemas kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Tõsi, kõigil geomeetrilistel kehadel ei saa olla pikkust, laiust ja kõrgust märgitud. Aga kl ristkülikukujuline rööptahukas Saab.

Õpetaja demonstratsioon, lapsed uurivad oma rööptahukaid laudadel. Kõik selle näod on ristkülikukujulised. Paljudel objektidel on selline kuju. Nimetage need. (Slaid 6) Laste vastused.

Tuleme tagasi meie juurde kuumaõhupall. Millistest kujunditest see koosneb, kas lamedast või kolmemõõtmelisest? - Silinder ja pall on kolmemõõtmelised kujundid ja lindi jooned on tasased. (Slaid 7)

Päike on kõrgele tõusnud ja me lendame kaugele.

Peatus 2 – teaduslik. Rühm nr 1.

Nüüd arvake ära, millisest kujundist me räägime.

Õpilane 1: Kolm nurka, kolm külge

Võib olla erineva pikkusega. ( kolmnurk). (8. slaid)

Õpilane 2: See on lame kuju. Sellel on 3 tippu, 3 nurka, 3 külge. Võib olla sama või erinevad pikkused küljed

Õpilane 3: Kolmnurga moodustavad kolm katkendjoont.

Mis kujund see on, lame või ruumiline? Laste vastused.

(Slaid 9) Geomeetriliste kujunditega Ümbrik. Järgmine kujund...

Grupp nr 2.

Õpilane 1: jälgige kogu telliskivi asfaldil kriidiga,

Ja saate figuuri - muidugi olete sellega tuttav.

See ristkülik. ("klõpsake" slaidil )

Õpilane 2: Ristkülikul on 4 nurka, 4 tippu ja 4 külge. Paarikaupa võrdne.

Õpilane 3: Mudel on suletud katkendjoon, mis koosneb 4 lingist. Lingid on paarikaupa võrdsed.

Grupp nr 3.

Õpilane 1: Kõik neli külge on ühepikkused.

Tal on hea meel teile end tutvustada, aga ta nimi on...( ruut).

Õpilane 2: Ruudul on 4 tippu, 4 nurka ja 4 võrdset külge.

Õpilane 3: mudel – suletud rida 4 sama pikkusega lingist.

Rühm nr 4.

Õpilane 1: Triangle pistis oma nina reaktiivtolmuimejasse.

Ja tal pole nina – issand jumal! – sai seeliku moodi.

Kõige huvitavam on see, mis ta nimi praegu on. ( trapetsikujuline)

Õpilane 2: 4 nurka, 4 tippu, 4 külge. Küljed on kõik erinevad või küljed on võrdsed, kuid alused on erinevad.

Õpilane 3: mudel – 4 suletud joont, nurgad – 2 nüri ja 2 teravat.

Rühm nr 5.

Õpilane 1: kui kõik ruudud seisaksid tippudel nurga all,

See, mida me nägime, poisid, ei olnud ruudud, vaid... ( teemandid.)

Õpilane 2: 4 nurka, 4 tippu, 4 külge. Küljed on võrdsed, vastasnurgad on samuti võrdsed.

Õpilane 3: mudel – 4 suletud joont, määratletud nurgad.

Päike on kõrgele tõusnud ja me lendame kaugele.
Peatu Ees. Mis see on? Vaata!

3. peatus – peatus. Kehalise kasvatuse tund: “Punkt, täpp, koma...” Tantsu liigutused muusika juurde. (Videosalvestus klassi jaoks)

Peatus 4 – disain. (Slaid 10) Teie ees on disainitud osadega konteinerid. Igal rühmal tuleb vastavalt ülesandele figuurid kokku panna. (Vt lisa).

Leidke ülesanne, sorteerige detailid, arutage tegevuskava ja asuge tööle: koostage geomeetrilisi kujundeid. Nimetage need.

Paaris töötama. Rühmade vanemad aitavad ja organiseerivad. Tööde analüüs.

III. Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus. Seega on meie esimene teekond läbi Geomeetria riigi lõppenud. Kuid peate külastama seda hämmastavat ja imelist riiki rohkem kui korra ja õppima palju uusi asju.

Rühmatöö analüüs: kas ülesanne sai täidetud, töö kvaliteet, reeglite järgimine (rühmatöö hindamise kaardid).

Meie õppetund on läbi. Tänan tähelepanu eest. (slaid 11)

RAKENDUS:

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 1:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, nimeta neile ja vali KOLMNURGAD.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 2:

1. Mõelge geomeetrilistele kujunditele, andke neile nimed ja valige RISTKÜLIKUD.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 3:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, nimeta neile ja vali RUUT.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 4:

1. Mõelge geomeetrilistele kujunditele, nimetage need ja valige TRAPETSID.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 5:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, pane neile nimed ja vali Rombid.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Rühmas töötamise reeglid.

• Austa oma seltsimeest.
• Tea, kuidas kõiki kuulata.
• Vastutage oma töö ja ühise eesmärgi eest.
• Olge kriitika suhtes tolerantne.
• Kui te ei nõustu, soovitage seda!

Mahulisi kehasid saab arvutis genereerida mitmel viisil. Kõige sagedamini kasutatav meetod on aluskehade ühendamine.  

Polümeerkomponendiga kolmekomponendilise süsteemi eralduspiirkonna nihe (varjutatud ala võrreldes madala molekulmassiga komponentidest koosneva süsteemiga (piirkond on piiratud punktiirjoonega. P - polümeer, P, P3 - madala molekulmassiga ala vedelikud.|.

Ülalkirjeldatud kimbu mahuline keha on loomulikult idealiseeritud skeem.  

See mahuline keha koosneb osadest, mida nimetatakse sektsioonideks. Iga sektsioon on ümbritsetud kahe kõrvuti asetseva tasapinna vahele, mis läbivad kõrvuti asetsevaid isokrohvi ja on kärbitud elliptilise koonuse kujuga. Sellistest sektsioonidest koosnev mahuline korpus toimib reservuaari geomeetrilise mudelina. Nimetame seda mahukeha gaasitäite koonuse-ellipsi mudeliks (CG mudel), mis tuleb konstrueerida nii, et see osutuks objekti suhtes mahuliselt isomorfseks, s.t. nii, et näidisosa ja reservuaari vastava osa mahud oleksid samad.  

Kui mahuline keha moodustub tasase ala A pöörlemisel ümber telje, mis asub selle tasapinnas, kuid ei ristu seda, on sellel rõnga kuju. Olgu selline rõngas mähitud traadiga, mille pöörded asetsevad rõnga telge läbival tasapinnal; siis on traadikihi praegune funktsioon võrdne φ (1/2π) π &, kus n on pöörete koguarv, ad on asimuutnurk mõõdetuna ümber rõnga telje.  

Selle skeemi järgi tonaalselt lahendatud mahukehade mudelid on näidatud joonisel fig. 1.5.4. Kuigi algoritm ei võta arvesse langevaid varje, jääb pildi üldine väljendusvõime küllaltki kõrgeks tänu näo kuuluvuse ühte või teise ortogonaalselt orienteeritud tasandite süsteemi näitamise kindlusele. Kui joonisel on kujutatud kolm ülalmainitud ala erinevad värvid, siis on mõju veelgi suurem. Sellise graafilise lahenduse füüsiline mudel on esitatud joonisel fig. 1.5.5. See põhineb põhimõttel valgustada objekti kolme erineva värvi allikaga, mis asuvad kooskõlas aktsepteeritud risttasapindade süsteemiga.  

Olemasoleva tahke keha jaoks määrake atribuudid, määrates lõplike elementide tüübi ja materjali.  

Tasakaalu tüübid.

Mahuliste kehade puhul tuleb seda protseduuri teha kolm korda. Raskuskese võib asuda nii keha sees kui ka väljaspool, näiteks jämedast homogeensest traadist poolrõngal on raskuskese väljaspool keha.  

Harjutused ruumilise sügavuse taseme tuvastamiseks.| Mitme sügavusastmega kompositsiooni arendamise etappide järjestus.| Keerulise ruumistruktuuriga kompositsioonide tonaalne areng.

Kolmemõõtmeliste kehade kujutamisel kasutavad õpilased kõige sagedamini sügavuse näitamise meetodit, luues tumedale taustale heleda silueti. Mõnikord viib see meetod mahulise ruumilise vormi olemuse kohta väärarusaamani. Pilt vastab sel juhul tegeliku vormi tajumise olemusele.  

Mahuliste kehade raskuskeskme määramine on seotud tasandi ja sümmeetriatelje mõistetega. Sümmeetriatasand on tasapind, mis jaguneb antud keha kaheks pooleks, mille suurus ja kuju on täiesti identsed. Sel põhjusel asub sümmeetrilise keha raskuskese sümmeetriatasandil.