Matemaatikatund teemal "lamedad ja mahulised geomeetrilised kehad"

Mahulised kehad Vaadake enda ümber ja te leiate kõikjalt mahukehi. Need on sellised geomeetrilised kujundid, millel on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Näiteks mitmekorruselise hoone kujutlemiseks piisab, kui öelda: "See maja on kolm sissepääsu pikk, kaks akent laiad ja kuus korrust kõrge." Teile tuntud alates Põhikool risttahukas ja kuubik on täielikult kirjeldatud kolme mõõtmega. Kõigil meid ümbritsevatel objektidel on kolm mõõdet, kuid kõiki neid ei saa nimetada pikkuseks, laiuseks ja kõrguseks. Näiteks puu puhul saame määrata ainult kõrguse, köie puhul pikkuse, augu puhul sügavuse. Ja palli pärast? Kas sellel on ka kolm mõõdet? Me ütleme, et kehal on kolm mõõdet (on mahuline), kui sellesse saab asetada kuubi või palli. Nii keral, silindril kui ka koonusel on kolm mõõdet.

Polühedra Keha, mis on piiratud tasapinnaliste hulknurkadega, nimetatakse hulktahukaks. Näiteks kuubik on piiratud võrdsete ruutudega. Hulknurki, mis moodustavad hulktahuka pinna, nimetatakse tahkudeks. Nende hulknurkade küljed on hulktahukate servad. Hulknurkade tipud, hulktahukate tipud. Näiteks kuubil on 6 tahku (kõik võrdsed ruudud), 12 serva ja 8 tippu.

Polühedra. Püramiid. Parempoolsel hulktahukal on eriline nimi: tavaline nelinurkne püramiid. Kuulus Cheopsi püramiid on täpselt sellise kujuga: selle põhjas on ruut ja külgpinnad on võrdsed kolmnurgad. Mitu tahku, serva ja tippu sellel hulktahukal on? Mõned pildil olevad kujundid on hulktahukad ja mõned mitte. Milliste numbrite all on kujutatud hulktahukad?

Kumerad ja mittekumerad hulknurgad Hulknurgad, nagu me juba teame, võivad olla kumerad ja mittekumerad. Kumer hulknurk asub iga joone ühel küljel, mis sisaldab hulknurga mis tahes külge. Ja mittekumera jaoks võite leida sellise külje, et seda sisaldav sirgjoon "lõikab" hulknurga osadeks. Joonisel on kollane hulknurk kumer ja sinine mittekumer. Polüeedrid võivad olla ka kumerad või mittekumerad. Kumer hulktahukas asub selle tasandit sisaldava tasandi ühel küljel. Ja mittekumera hulktahuka jaoks võib leida sellise näo, et seda läbiv tasapind “lõikab” selle tükkideks. Pildil olev kollane hulktahukas on kumer Sinine mittekumer. Millised arvud joonisel näitavad kumerat hulktahukat ja millised mittekumerat?

Vasta küsimustele: 1. Mis on kuubi tahk: a) lõik, b) punkt, c) ruut. 2.Mis on kuubi serv: a) lõik; b) punkt; c) ruut. 3. Mida kujutab kuubi tipp: a) lõiku; b) punkti; c) ruutu. 4. Mitu tahku on ristkülikukujulisel rööptahukal: a) 8b) 6c) 12 5. Hulktahuks on a) mis tahes mahuline keha b) keha, mis on piiratud tasapinnaliste hulknurkadega.

Vasta küsimustele: 6. Mis asub korrapärase püramiidi põhjas a) ristkülik b) ruudu c) rööpkülik 7. Mis kujund on korrapärase püramiidi külg a) ristkülik b) ruudu c) korrapärane kolmnurk 8. Kumer hulktahukas a) asub ühel pool igast tasapinnast, mis sisaldab tema tahke b) mis tahes mahukeha c) asub mõlemal pool mis tahes tasapinda, mis sisaldab tema tahke. 9.Millised arvud on kujutatud joonisel kumerate hulktahukate jaoks?

Kasutatud ressursid: Kaugõppekooli (Moskva) kaugõppekooli (Moskva) veebileht (Moskva) Interneti-entsüklopeedia Around the World OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / pildid %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1 %8C%D0%BD%D0%B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85%D1%83% D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC% D0%B8 %D0%B4%D0%B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Geomeetria õpik 6-9

Mahulised kehad. Vaadake enda ümber ja te leiate kõikjalt kolmemõõtmelisi kehasid. Need on geomeetrilised kujundid, millel on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Näiteks mitmekorruselise hoone kujutlemiseks piisab, kui öelda: "See maja on kolm sissepääsu pikk, kaks akent laiad ja kuus korrust kõrge." Põhikoolist tuttavat ristkülikukujulist rööptahukat ja kuupi kirjeldavad täielikult kolm mõõdet. Kõigil meid ümbritsevatel objektidel on kolm mõõdet, kuid kõiki neid ei saa nimetada pikkuseks, laiuseks ja kõrguseks. Näiteks puu puhul saame määrata ainult kõrguse, köie puhul pikkuse, augu puhul sügavuse. Ja palli pärast? Kas sellel on ka kolm mõõdet? Me ütleme, et kehal on kolm mõõdet (on mahuline), kui sellesse saab asetada kuubi või palli.

Slaid 2 esitlusest "Polühedra ruumala valem". Arhiivi suurus koos esitlusega on 1207 KB.

Geomeetria 11. klass

kokkuvõte muud ettekanded

"Geomeetrilised pöörlevad kehad" - visualiseerimine. Praktiline osa. Töö loominguline rühm. Teooria kordamine. Inimesed loomingulised elukutsed. Kogemuste vahetus. Inspiratsioon. Aja organiseerimine. Ainus viis õppida on lõbutseda. Geomeetriliste tahkete ainete muuseum. Inimesed, kes pühendusid teadusele. Kehad. Teaduse inimesed töötavad. Üks tark kõndis. Kokkuvõtteid tehes. Silindriline pind. Töötavate elukutsete inimesed. Õpilaste teadmised. Pöörlevad kehad. Põhiteadmised.

"Kolme risti teoreem" - punkt. Joonte perpendikulaarsus. Mõtlemine. Kolme risti teoreem. Rööpküliku tasandiga risti. Otse. Jalad. Perpendikulaarne. Teoreem. Diagonaalide ristumiskohad. Joonelõik. Risti kolmnurga tasapinnaga. Rombi külg. Kolmnurga küljed. Kaugus. Perpendikulaarid joontega. Mõtle selle üle. MA segment. Ehitusülesanded. Tõestus. Pöördeteoreem. Ülesanded TTP kasutamiseks.

“Sfääri ala” – palli läbimõõt (d=2R). Suure ringi raadius on kuuli raadius. Kiht=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Segmendi kõrgus (h). Raadiusega sfääri pindala. Segmendi alus. Vsh. sektorid = 2/3PR2h. Kera keskpunkt (C). Kera, sfäärilise segmendi ja sfäärilise kihi maht. Esimese pindala väljendatakse raadiuse kaudu. korda suurringi pindala. , ja sfääri pindala on 4РR2. palli kirjeldatakse. Kera maht on 288.

“Polyhedra maailmas” - Polyhedra. Kuubi ülaosa. Polüheedrite maailm. Kepleri-Poinsoti kehad. Matemaatika. Kuninglik haud. Euleri tunnusjoon. Tetraeeder. Geomeetria. Farose tuletorn. Kumer hulktahukas. Archimedese kehad. Polüeedrid kunstis. Tulekahju. Tähtkujuline dodekaeeder. Magnus Weninger. Euleri teoreem. Aleksandria tuletorn. Regulaarne hulktahukas. Viis kumer tavaline hulktahukas. Mõnede hulktahukate arengud.

“Filosoof Pythagoras” – teadmised muusika põhitõdedest. Sõna "filosoof". Pythagorase elu ja teaduslikud avastused. Pythagoras kohtus Pärsia mustkunstnikega. Matemaatika. Lennu suund. Moto. Egiptuse templid. arvasin. Kaasaegse matemaatika rajaja. Tõsi. Surematu idee. Mnesarchus. Pythagoras.

“Koordinaatide ülesanded” – leidke vektori a pikkus, kui sellel on koordinaadid: (-5; -1; 7). Lihtsamad ülesanded koordinaatides. Vektorite punktkorrutis. Vektor AB. Ülesannete lahendamine: (kaartide abil). Kuidas arvutada vektori pikkust selle koordinaatide järgi. Tunni eesmärgid. Mida nimetatakse skalaarkorrutis vektorid. Punktide A ja B vaheline kaugus. Vektoril A on koordinaadid (-3; 3; 1). M – lõigu AB keskkoht. Tunniplaan. Kuidas leida lõigu keskpunkti koordinaate.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.

Sihtmärk:

• süvendada ja laiendada laste arusaamist lamedate ja kolmemõõtmeliste objektide kohta; nende võrdlemine ja nendevaheliste erinevuste tuvastamine;
• õpilaste teadmiste tuvastamine ja üldistamine geomeetriliste kujundite ja nende omaduste kohta;
• erinevate lamedate figuuride kujundamine;
• rühmas töötamise oskuste arendamine, reeglite järgimine, eesmärgi püstitamine, selle saavutamine, oma töö ja rühma töö analüüsimine.

Vorm:õppetund-reisid või rühmatööd klassivälises tegevuses.

Varustus: esitlus klassile; iga rühma jaoks: ehituskomplekt, ümbrikud ülesannete ja joonistega, geomeetrilised kehad, reeglikaardid.

Tunni edenemine

I. Organisatsioonimoment.

Tulime siia õppima, mitte laisklema, vaid tööd tegema.
Töötame hoolega ja kuulame tähelepanelikult.
Koos, rõõmsalt ja sõbralikult teeme kõike, mida vajame.

Meie tänane töö toimub rühmades. Kordame üle oma töö reeglid: (iga rühma töölaudadel on meeldetuletuskaart, tuletage iga reeglit meelde - vanemad rühmad kordamööda). Reeglid on lisas.

Kas teadsite, et sisse tohutu maailm Matemaatikuid on palju huvitav riik ilusa nimega - Geomeetria. Seda riiki ei asustata numbrid, vaid erinevad jooned, kujundid ja kehad. (Slaid 2)

Täna läheme rännakule läbi Geomeetria riigi ja külastame linnu, kus elavad lamedad ja kolmemõõtmelised figuurid. Meie ülesanne on välja selgitada, millised geomeetrilised kujundid on lamedad ja millised kolmemõõtmelised ning kuidas need erinevad.

Reisime kuumaõhupalliga. (Slaid 3)

Miks sa arvad? - Kokkupandud geomeetrilistest kujunditest.

Rännaku käigus saame teada, millisesse rühma kuuluvad meie õhupalli osad.

II. Põhiosa.

Nii et lähme!

Näeme linna ees. Milline linn? Vaata!

1. peatus – jaotuspeatus.

Jah, mitte üks linn, vaid kaks. (4. slaid)

Teie ees on kaks linna. Lugege nende nimesid.

Töölaudadel näete ka erinevaid kujusid - need on linnaelanikud. Vaadake ümbrikus olevaid figuure, nimetage neid, rääkige meile ühest.

Töö rühmades.

Nüüd öelge meile, milliste arvudega te asusite Lamedate figuuride linn.

Laste vastused. (4. slaid vasakule)

Mis on ühist kõigil tasapinnalistel kujunditel?

(Need asetatakse täielikult lehele või lauale, ei tõuse tasapinnast kõrgemale, neid saab paberist välja lõigata.)

Matemaatikud ütlevad seda lennuk - see on kahemõõtmeline ruum, st. sellel on kaks mõõdet: pikkus ja laius.

Milliseid lamedaid figuure sa veel tead?

Segmendid, sirged, kolmnurgad, ringid...

Nüüd nimetage kujud, mis sisse elasid Mahuliste arvude linn.

Laste vastused. (4. slaid paremale)

Mis on neil kujunditel ühist?

Olenemata sellest, kuidas te neid asetate, tõusevad need lauast või lauast kõrgemale.

Milliseid kolmemõõtmelisi kujundeid te veel teate? Iga rühm nimetab oma kolmemõõtmelisi kujundeid. Laste vastused.

Geomeetrias on mahukujundite jaoks spetsiaalne nimi - geomeetriline keha.

Kõik meid ümbritsevad kehad on olemas kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Tõsi, kõigil geomeetrilistel kehadel ei saa olla pikkust, laiust ja kõrgust. Aga kl ristkülikukujuline rööptahukas Saab.

Õpetaja demonstratsioon, lapsed uurivad oma rööptahukaid laudadel. Kõik selle näod on ristkülikukujulised. Paljudel objektidel on selline kuju. Nimetage need. (Slaid 6) Laste vastused.

Tuleme tagasi meie juurde õhupall. Millistest kujunditest see koosneb, kas lamedast või kolmemõõtmelisest? - Silinder ja pall on kolmemõõtmelised kujundid ja lindi jooned on tasased. (Slaid 7)

Päike on kõrgele tõusnud ja me lendame kaugele.

Peatus 2 – teaduslik. Rühm nr 1.

Nüüd arvake ära, millisest kujundist me räägime.

Õpilane 1: Kolm nurka, kolm külge

Võib olla erineva pikkusega. ( kolmnurk). (8. slaid)

Õpilane 2: See on lame kuju. Sellel on 3 tippu, 3 nurka, 3 külge. Võib olla sama või erinevad pikkused küljed

Õpilane 3: Kolmnurga moodustavad kolm katkendjoone lõiku.

Mis kujund see on, lame või ruumiline? Laste vastused.

(Slaid 9) Geomeetriliste kujunditega Ümbrik. Järgmine kujund...

Rühm nr 2.

Õpilane 1: jälgige kogu telliskivi asfaldil kriidiga,

Ja sa saad figuuri - muidugi olete sellega tuttav.

See ristkülik. ("klõpsake" slaidil )

Õpilane 2: Ristkülikul on 4 nurka, 4 tippu ja 4 külge. Paarikaupa võrdne.

Õpilane 3: Mudel on suletud katkendjoon, mis koosneb 4 lingist. Lingid on paarikaupa võrdsed.

Rühm nr 3.

Õpilane 1: Kõik neli külge on ühepikkused.

Tal on hea meel teile end tutvustada, aga ta nimi on...( ruut).

Õpilane 2: Ruudul on 4 tippu, 4 nurka ja 4 võrdset külge.

Õpilane 3: mudel – suletud rida 4 sama pikkusega lingist.

Rühm nr 4.

Õpilane 1: Triangle pistis oma nina reaktiivtolmuimejasse.

Ja tal pole nina – issand jumal! – sai nagu seelik.

Kõige huvitavam on see, mis ta nimi praegu on. ( trapetsikujuline)

Õpilane 2: 4 nurka, 4 tippu, 4 külge. Küljed on kõik erinevad või küljed on võrdsed, kuid alused on erinevad.

Õpilane 3: mudel – 4 suletud joont, nurgad – 2 nüri ja 2 teravat.

Rühm nr 5.

Õpilane 1: kui kõik ruudud seisaksid tippudel nurga all,

See, mida me nägime, poisid, ei olnud ruudud, vaid... ( teemandid.)

Õpilane 2: 4 nurka, 4 tippu, 4 külge. Küljed on võrdsed, vastasnurgad on samuti võrdsed.

Õpilane 3: mudel – 4 suletud joont, määratletud nurgad.

Päike on kõrgele tõusnud ja me lendame kaugele.
Peatu Ees. Mis see on? Vaata!

3. peatus – peatus. Kehalise kasvatuse tund: “Punkt, täpp, koma...” Tantsu liigutused muusika juurde. (Videosalvestus klassi jaoks)

Peatus 4 – disain. (Slaid 10) Teie ees on disainitud osadega konteinerid. Igal rühmal on vaja vastavalt ülesandele figuurid kokku panna. (Vt lisa).

Leidke ülesanne, sorteerige detailid, arutage tegevuskava ja asuge tööle: koostage geomeetrilisi kujundeid. Nimetage need.

Paaris töötama. Rühmade vanemad aitavad ja organiseerivad. Tööde analüüs.

III. Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus. Seega on meie esimene teekond läbi Geomeetria riigi lõppenud. Kuid peate seda hämmastavat ja imelist riiki külastama rohkem kui korra ja õppima palju uusi asju. Täna töötasite kõik suurepäraselt ja seepärast olete... hästi tehtud.

Rühmade töö analüüs: kas ülesanne sai täidetud, töö kvaliteet, reeglite täitmine (rühmatöö hindamise kaardid).

Meie õppetund on läbi. Tänan tähelepanu eest. (slaid 11)

RAKENDUS:

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 1:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, nimeta neile ja vali KOLMNURGAD.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 2:

1. Mõelge geomeetrilistele kujunditele, andke neile nimed ja valige RISTKÜLIKUD.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 3:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, nimeta neile ja vali RUUT.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 4:

1. Mõelge geomeetrilistele kujunditele, nimetage need ja valige TRAPETSID.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Ülesanded, mis tuleb täita rühmas nr 5:

1. Vaata geomeetrilisi kujundeid, pane neile nimed ja vali Rombid.

2. Räägi mulle, mida sa selle geomeetrilise kujundi kohta tead.

3. Mõelge, kuidas ehitada sellest kujundist MUDEL. Seletama.

4. Tee kujunditest mudelid.

Rühmas töötamise reeglid.

• Austa oma seltsimeest.
• Tea, kuidas kõiki kuulata.
• Vastutage oma töö ja ühise eesmärgi eest.
• Olge kriitika suhtes tolerantne.
• Kui te ei nõustu, soovitage seda!

Nagu ka ala leidmise probleemi puhul, on teil vaja enesekindlaid joonistamisoskusi - see on peaaegu kõige olulisem (kuna integraalid ise on sageli lihtsad). Kasutades saate omandada pädevaid ja kiireid kaardistamistehnikaid õppematerjalid ja graafikute geomeetrilised teisendused. Aga tegelikult olen ma juba mitu korda tunnis rääkinud joonistuste tähtsusest.

Üldiselt on integraalarvutuses palju huvitavaid rakendusi; kindla integraali abil saate arvutada joonise pindala, pöörleva keha ruumala, kaare pikkuse, pöörlemispinna ja palju muud. rohkem. Nii et see saab olema lõbus, palun jääge optimistlikuks!

Kujutage ette mingit lamedat kujundit koordinaattasandil. Tutvustatakse? ... Huvitav, kes mida esitles... =))) Oleme selle ala juba leidnud. Kuid lisaks saab seda joonist pöörata ja pöörata kahel viisil:

– ümber abstsisstelje;
– ümber ordinaattelje.

Selles artiklis käsitletakse mõlemat juhtumit. Eriti huvitav on teine ​​pööramisviis, see tekitab enim raskusi, kuid tegelikult on lahendus peaaegu sama, mis tavalisemal ümber x-telje pööramisel. Boonusena pöördun tagasi figuuri pindala leidmise probleem, ja ma ütlen teile, kuidas leida ala teisel viisil - piki telge. See pole niivõrd boonus, kuivõrd materjal sobib hästi teemasse.

Alustame kõige populaarsema pöörlemisviisiga.

lame kuju ümber telje

Näide 1

Arvutage keha ruumala, mis saadakse joontega piiratud kujundi pööramisel ümber telje.

Lahendus: Nagu piirkonna leidmise probleemi puhul, lahendus algab lameda kujundi joonistamisega. See tähendab, et tasapinnal on vaja konstrueerida joonis, mis on piiratud joontega, ja ärge unustage, et võrrand määrab telje. Kuidas joonistust tõhusamalt ja kiiremini täita, saab lugeda lehekülgedelt Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused Ja Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. See on Hiina meeldetuletus ja edasi praegusel hetkel Ma ei peatu enam.

Siinne joonis on üsna lihtne:

Soovitud lame kuju on varjutatud sinisega, see on see, mis pöörleb ümber telje, mille tulemusena on tulemuseks kergelt munajas lendav taldrik, mis on telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult on kehal matemaatiline nimi, kuid ma olen liiga laisk, et teatmeteoses midagi selgitada, nii et liigume edasi.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala?

Pöördekeha ruumala saab arvutada valemi abil:

Valemis peab arv olema integraali ees. Nii ka juhtus – kõik, mis elus keerleb, on selle konstandiga seotud.

Arvan, et valminud joonise põhjal on lihtne ära arvata, kuidas seada integreerimise piirid “a” ja “olla”.

Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Tasapinna kujund on piiratud ülaosas oleva parabooli graafikuga. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud.

Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all. See ei muuda midagi – integrand valemis on ruudus: , seega integraal on alati mittenegatiivne, mis on väga loogiline.

Arvutame pöörleva keha ruumala järgmise valemi abil:

Nagu ma juba märkisin, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Oma vastuses peate märkima mõõtme – kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks kuubik ühikut? Sest kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetrit, võib olla kuupmeetrit, võib olla kuupkilomeetrit jne, nii palju rohelisi mehikesi suudab teie fantaasia lendavasse taldrikusse panna.

Näide 2

Leia keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joontega piiratud kujundi telje , ,

See on näide sõltumatu otsus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Vaatleme veel kahte keerulised ülesanded, mida praktikas samuti sageli kohtab.

Näide 3

Arvutage keha ruumala, mis saadakse, pöörates ümber joonise abstsisstelje, mis on piiratud joontega , ja

Lahendus: Kujutagem joonisel lamedat joonist, mis on piiratud joontega , , , , unustamata, et võrrand määrab telje:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Kui see pöörleb ümber oma telje, osutub see nelja nurgaga sürrealistlikuks sõõrikuks.

Arvutame pöörleva keha ruumala kui kehade mahtude erinevus.

Kõigepealt vaatame punasega ringis olevat joonist. Kui see pöörleb ümber telje, saadakse kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse mahtu tähisega.

Mõelge joonisele, mis on ringiga ümbritsetud roheline. Kui pöörate seda kujundit ümber telje, saate ka kärbitud koonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle helitugevust .

Ja ilmselgelt on mahtude erinevus täpselt meie “sõõriku” maht.

Me kasutame standardvalem pöörde keha mahu leidmiseks:

1) Punasega ümbritsetud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonistatud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöördekoguse maht:

Vastus:

On uudishimulik, et sisse sel juhul lahendust saab kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise kooli valemiga.

Otsus ise kirjutatakse sageli lühemalt, umbes nii:

Nüüd puhkame veidi ja räägime teile geomeetrilistest illusioonidest.

Tihti on inimestel köidetega seotud illusioone, mida märkas raamatus Perelman (teine). Meelelahutuslik geomeetria. Vaadake lahendatud ülesande lamedat joonist - selle pindala tundub olevat väike ja pöördekeha maht on veidi üle 50 kuupühiku, mis tundub liiga suur. Muide, keskmine inimene joob kogu oma elu jooksul samaväärse toa, mille pindala on 18. ruutmeetrit, mis, vastupidi, tundub olevat liiga väike maht.

Üldiselt oli NSV Liidu haridussüsteem tõesti parim. Seesama 1950. aastal ilmunud Perelmani raamat arendab väga hästi, nagu humorist ütles, mõtlemist ja õpetab otsima probleemidele originaalseid, ebastandardseid lahendusi. Lugesin hiljuti mõne peatüki suure huviga uuesti läbi, soovitan, see on kättesaadav isegi humanistidele. Ei, ei pea naeratama, et pakkusin vaba aega, eruditsioon ja lai silmaring suhtlemisel on tore asi.

Pärast lüüriline kõrvalepõige on asjakohane otsustada loominguline ülesanne:

Näide 4

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje tasapinnalise kujundi, mis on piiratud joontega , , kus .

See on näide, mille saate ise lahendada. Pange tähele, et kõik juhtumid esinevad sagedusalas, ehk teisisõnu on tegelikult antud integratsioonile valmis piirid. Joonistage graafikud õigesti trigonomeetrilised funktsioonid, tuletan teile meelde õppetunni materjali graafikute geomeetrilised teisendused: kui argument on jagatud kahega: , siis venitatakse graafikud piki telge kaks korda. Soovitav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite järgi joonise täpsemaks lõpuleviimiseks. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Muide, ülesannet saab lahendada ratsionaalselt ja mitte väga ratsionaalselt.

Pöörlemisel tekkiva keha ruumala arvutamine
lame kuju ümber telje

Teine lõik on veelgi huvitavam kui esimene. Ümber ordinaattelje pöörleva keha ruumala arvutamise ülesanne on samuti üsna sage külaline. testid. Teel seda kaalutakse figuuri pindala leidmise probleem teine ​​meetod on integreerimine piki telge, see võimaldab teil mitte ainult oma oskusi parandada, vaid ka õpetab teid leidma kõige kasumlikuma lahendustee. Sellel on ka praktiline mõte. elu mõte! Nagu mu matemaatika õpetamismeetodite õpetaja naeratades meenutas, tänasid paljud lõpetajad teda sõnadega: "Teie aine aitas meid palju, nüüd oleme tõhusad juhid ja juhime personali optimaalselt." Seda võimalust kasutades avaldan talle ka suurt tänu, seda enam, et kasutan omandatud teadmisi sihtotstarbeliselt =).

Soovitan kõigile, isegi täielikele mannekeenidele. Veelgi enam, teises lõigus õpitud materjal pakub hindamatut abi topeltintegraalide arvutamisel.

Näide 5

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joontega , , .

1) Leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala.
2) Leidke keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

Tähelepanu! Isegi kui soovite lugeda ainult teist punkti, siis kõigepealt Tingimata loe esimest!

Lahendus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruudust.

1) Teeme joonise:

On lihtne näha, et funktsioon määrab parabooli ülemise haru ja funktsioon määrab parabooli alumise haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "lebab küljel".

Soovitud kujund, mille pindala tuleb leida, on varjutatud sinisega.

Kuidas leida figuuri pindala? Seda võib leida “tavalisel” viisil, millest tunnis räägiti Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. Lisaks leitakse joonise pindala pindalade summana:
- segmendil ;
- segmendil.

Sellepärast:

Miks on tavalahendus sel juhul halb? Esiteks saime kaks integraali. Teiseks on integraalid juured ja integraalide juured ei ole kingitus, pealegi võite integratsiooni piiride asendamisel segadusse sattuda. Tegelikult pole integraalid muidugi tapjad, kuid praktikas võib kõik palju kurvem olla, valisin probleemi jaoks lihtsalt “paremad” funktsioonid.

On olemas ratsionaalsem lahendus: see seisneb pöördfunktsioonidele üleminekus ja piki telge integreerimises.

Kuidas jõuda pöördfunktsioonide juurde? Jämedalt öeldes peate väljendama "x" kuni "y". Kõigepealt vaatame parabooli:

Sellest piisab, kuid veendume, et sama funktsiooni saab tuletada alumisest harust:

Sirge joonega on lihtsam:

Nüüd vaadake telge: palun kallutage oma pead perioodiliselt 90 kraadi paremale, kui selgitate (see pole nali!). Vajalik joonis asub segmendil, mida tähistab punane punktiirjoon. Sel juhul asub lõigul sirgjoon parabooli kohal, mis tähendab, et joonise pindala tuleks leida teile juba tuttava valemi abil: . Mis on valemis muutunud? Ainult kiri ja ei midagi enamat.

! Märge: Integreerimise piirid piki telge tuleks määrata rangelt alt üles!

Piirkonna leidmine:

Segmendis seega:

Pange tähele, kuidas ma integreerimise läbi viisin, see on kõige ratsionaalsem viis ja ülesande järgmises lõigus selgub, miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integreerimise õigsuses, leian tuletised:

Saadakse algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integreerimine viidi läbi õigesti.

Vastus:

2) Arvutame selle kujundi ümber telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala.

Joonistan joonise veidi teistsuguse kujundusega:

Niisiis, sinisega varjutatud kujund pöörleb ümber telje. Tulemuseks on "hõljuv liblikas", mis pöörleb ümber oma telje.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks integreerime piki telge. Kõigepealt peame minema pöördfunktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja üksikasjalikult kirjeldatud eelmises lõigus.

Nüüd kallutame pea uuesti paremale ja uurime oma figuuri. Ilmselt tuleks ruumalade erinevusena leida pöörleva keha ruumala.

Pöörame punase ringiga figuuri ümber telje, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistagem seda mahtu .

Pöörame roheliselt ringitatud figuuri ümber telje ja tähistame seda saadud pöörlemiskeha mahuga.

Meie liblika maht võrdub mahtude erinevusega.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame valemit:

Mis vahe on eelmises lõigus toodud valemist? Ainult kirjas.

Kuid integratsiooni eelist, millest ma hiljuti rääkisin, on palju lihtsam leida , selle asemel, et tõsta integrand esmalt 4. astmele.

Vastus:

Samas mitte haige liblikas.

Pange tähele, et kui sama lamedat kujundit pöörata ümber telje, saate loomulikult täiesti erineva pöörlemiskeha, erineva helitugevusega.

Näide 6

Antud lame kujund, mis on piiratud joonte ja teljega.

1) Minge pöördfunktsioonide juurde ja leidke nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala, integreerides muutujaga.
2) Arvutage keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

See on näide, mille saate ise lahendada. Huvilised saavad figuuri pindala leida ka “tavapärasel” viisil, kontrollides sellega punkti 1). Aga kui, kordan, pöörate lamedat kujundit ümber telje, saate täiesti erineva pöördekeha erineva helitugevusega, muide, õige vastuse (ka neile, kellele meeldib probleeme lahendada).

Ülesande kahe pakutud punkti terviklahendus on õppetunni lõpus.

Jah, ja ärge unustage oma pead paremale kallutada, et mõista pöörlemiskehi ja integratsiooni piire!

Mahulisi kehasid saab arvutis genereerida mitmel viisil. Kõige sagedamini kasutatav meetod on aluskehade ühendamine.

Polümeerkomponendiga kolmekomponendilise süsteemi eralduspiirkonna nihe (varjutatud ala võrreldes madala molekulmassiga komponentidest koosneva süsteemiga (piirkond on piiratud punktiirjoonega. P - polümeer, P, P3 - madala molekulmassiga ala vedelikud.| Tingimuslik teisendus.

Ülalkirjeldatud kimbu mahuline keha on loomulikult idealiseeritud skeem.

See mahuline keha koosneb osadest, mida nimetatakse sektsioonideks. Iga sektsioon on ümbritsetud kahe kõrvuti asetseva tasapinna vahele, mis läbivad kõrvuti asetsevaid isokrohvi ja on kärbitud elliptilise koonuse kujuga. Sellistest sektsioonidest koosnev mahuline korpus toimib reservuaari geomeetrilise mudelina. Nimetame seda mahukeha gaasitäite koonuse-ellipsi mudeliks (CG mudel), mis tuleb konstrueerida nii, et see osutuks objekti suhtes mahuliselt isomorfseks, s.t. nii, et näidisosa ja reservuaari vastava osa mahud oleksid samad.

Kui mahuline keha moodustub tasase ala A pöörlemisel ümber telje, mis asub selle tasapinnas, kuid ei ristu seda, on sellel rõnga kuju. Olgu selline rõngas mähitud traadiga, mille pöörded asetsevad rõnga telge läbival tasapinnal; siis on traadikihi praegune funktsioon võrdne φ (1/2π) π &, kus n on pöörete koguarv, ad on asimuutnurk mõõdetuna ümber rõnga telje.

Selle skeemi järgi tonaalselt lahendatud mahukehade mudelid on näidatud joonisel fig. 1.5.4. Kuigi algoritm ei võta arvesse langevaid varje, jääb pildi üldine väljendusvõime küllaltki kõrgeks tänu näo kuuluvuse ühte või teise ortogonaalselt orienteeritud tasandite süsteemi näitamise kindlusele. Kui joonisel on kujutatud kolm ülalmainitud ala erinevad värvid, siis on mõju veelgi suurem. Sellise graafilise lahenduse füüsiline mudel on esitatud joonisel fig. 1.5.5. See põhineb põhimõttel valgustada objekti kolme erineva värvi allikaga, mis asuvad kooskõlas aktsepteeritud risttasapindade süsteemiga.

Olemasoleva tahke keha jaoks määrake atribuudid, määrates lõplike elementide tüübi ja materjali.

Tasakaalu tüübid.

Mahuliste kehade puhul tuleb seda protseduuri teha kolm korda. Raskuskese võib asuda nii keha sees kui ka väljaspool, näiteks paksust homogeensest traadist poolrõngal on raskuskese väljaspool keha.

Harjutused ruumilise sügavuse taseme tuvastamiseks.| Mitme sügavusastmega kompositsiooni arendamise etappide järjestus.| Keerulise ruumistruktuuriga kompositsioonide tonaalne areng.

Kolmemõõtmeliste kehade kujutamisel kasutavad õpilased kõige sagedamini sügavuse näitamise meetodit, luues tumedale taustale heleda silueti. Mõnikord viib see meetod mahulise ruumilise vormi olemuse kohta väärarusaamani. Pilt vastab sel juhul tegeliku vormi tajumise olemusele.

Mahuliste kehade raskuskeskme määramine on seotud tasandi ja sümmeetriatelje mõistetega. Sümmeetriatasand on tasapind, mis jaguneb antud keha kaheks pooleks, mille suurus ja kuju on täiesti identsed. Sel põhjusel asub sümmeetrilise keha raskuskese sümmeetriatasandil.