Moskva Riiklik Ülikool

majandus, statistika ja arvutiteadus

Majandus- ja õigusteaduskond

TEST

Distsipliin: AHD

Esitatud

Õpilasrühm VF-3

Timonina T.S.

Matemaatika modelleerimine

Üks formaliseeritud märkide modelleerimise tüüpe on matemaatiline modelleerimine, mis viiakse läbi matemaatika ja loogika keeles. Et uurida mis tahes klassi nähtusi välismaailm selle matemaatiline mudel on üles ehitatud, s.t. selle nähtuste klassi ligikaudne kirjeldus, mida väljendatakse matemaatilise sümboolika abil.

Matemaatilise modelleerimise protsessi võib jagada nelja põhietappi:

Ietapp: Mudeli põhiobjekte ühendavate seaduste formuleerimine, s.o. salvestamine matemaatiliste terminite kujul sõnastas kvalitatiivseid ideid mudelobjektide vaheliste seoste kohta.

IIetapp: Matemaatiliste probleemide uurimine, milleni matemaatilised mudelid viivad. Põhiküsimus on otsese probleemi lahendus, s.o. mudeli analüüsi tulemusena väljundandmete (teoreetiliste tagajärgede) saamine nende edasiseks võrdlemiseks uuritavate nähtuste vaatlustulemustega.

IIIetapp: Aktsepteeritud hüpoteetilise mudeli kohandamine praktika kriteeriumi järgi, s.o. küsimuse selgitamine, kas vaatlustulemused on vaatluse täpsuse piires kooskõlas mudeli teoreetiliste tagajärgedega. Kui mudel oli täielikult defineeritud – kõik selle parameetrid olid antud –, siis vaatlustest tulenevate teoreetiliste tagajärgede kõrvalekallete määramine annab lahendused otsesele probleemile koos hilisema kõrvalekallete hindamisega. Kui kõrvalekalded ületavad vaatluste täpsust, ei saa mudelit aktsepteerida. Sageli jäävad mudeli ehitamisel mõned selle omadused määratlemata. Praktika kriteeriumi rakendamine hindamisel matemaatiline mudel võimaldab teha järelduse uuritava (hüpoteetilise) mudeli aluseks olevate sätete õigsuse kohta.

IVetapp: Mudeli hilisem analüüs seoses uuritud nähtuste andmete kogumise ja mudeli moderniseerimisega. Arvutite tulekuga võttis võimust matemaatilise modelleerimise meetod juhtiv koht teiste uurimismeetodite hulgas. See meetod mängib kaasaegses majandusteaduses eriti olulist rolli. Mis tahes majandusnähtuse uurimine ja prognoosimine matemaatilise modelleerimise meetodil võimaldab meil kavandada uusi tehnilisi vahendeid, ennustada teatud tegurite mõju sellele nähtusele ning planeerida neid nähtusi ka ebastabiilse majandusolukorra juures.

Majandusanalüüsi olemus

Analüüs (dekomponeerimine, lahkamine, analüüs) on loogiline tehnika, uurimismeetod, mille olemus seisneb selles, et uuritav on mõtteliselt jagatud koostiselemendid, millest igaüht vaadeldakse seejärel eraldi kui osa lahatud tervikust, et ühendada analüüsi käigus tuvastatud elemendid teise loogilise tehnika – sünteesi – abil uute teadmistega rikastatud tervikuks.

Under majandusanalüüs mõista rakendusteaduslikku distsipliini, mis on eriteadmiste süsteem, mis võimaldab hinnata turumajanduse konkreetse subjekti tegevuse tõhusust.

Majandusanalüüsi teooria võimaldab ratsionaalselt põhjendada, prognoosida juhtimisobjekti arengut lähitulevikus ning hinnata juhtimisotsuse tegemise otstarbekust.

Majandusanalüüsi peamised suunad:

Analüüsitava objekti toimivust iseloomustavate näitajate süsteemi sõnastamine;

Uuritava nähtuse kvalitatiivne analüüs (tulemus);

Selle nähtuse kvantitatiivne analüüs (tulemus):

Juhtimisotsuste väljatöötamiseks ja vastuvõtmiseks on oluline, et see on vahend majandustegevuse efektiivsuse tõstmise reservide väljaselgitamise põhiprobleemi lahendamiseks tootmisressursside kasutamise parandamisel, kulude vähendamisel, kasumlikkuse suurendamisel ja kasumi suurendamisel, s.o. suunatud lõppeesmärgile juhtimisotsuse elluviimiseks.

Majandusanalüüsi teooria arendajad rõhutavad seda iseloomulik iseärasused:

1. Dialektiline lähenemine õppimisele majandusprotsessid, mida iseloomustavad: kvantiteedi üleminek kvaliteediks, uue kvaliteedi tekkimine, eituse eitamine, vastandite võitlus, vana närbumine ja uue tekkimine.

2. Majandusnähtuste tinglikkus põhjuslikud seosed ja vastastikune sõltuvus.

3. Näitajate seoste ja vastastikuste sõltuvuste tuvastamine ja mõõtmine põhineb teadmistel tootmise ja kaupade ringluse objektiivsete arengumustrite kohta.

Majandusanalüüs on ennekõike faktoriaalne, see tähendab, et see määrab majanduslike tegurite kogumi mõju ettevõtte tulemuslikkuse näitajale.

Erinevate tegurite mõju ettevõtte või ettevõtte toimimise majandusnäitajale tehakse stohhastilise analüüsi abil.

Deterministlikud ja stohhastilised analüüsid annavad omakorda:

Põhjus-tagajärg või tõenäosuslike seoste tuvastamine tegurite ja tulemusnäitajate vahel;

Ettevõtte toimimist mõjutavate tegurite majanduslike mustrite tuvastamine ja nende väljendamine matemaatiliste sõltuvuste abil;

Võimalus koostada mudeleid (peamiselt matemaatilisi) faktorisüsteemide mõjust tulemusnäitajatele ja kasutada neid mõju uurimiseks. lõpptulemus tehtud juhtimisotsus .

Praktikas kasutatakse erinevaid majandusanalüüsi liike. Analüüsid on eriti olulised juhtimisotsuste tegemisel: operatiivne, jooksev, pikaajaline (ajaperioodide kaupa); osaline ja kompleksne (mahu järgi); reservide väljaselgitamiseks, kvaliteedi parandamiseks jne (vastavalt ette nähtud); ennustav analüüs. Prognoosid võimaldavad majanduslikult põhjendada strateegilisi, operatiivseid (funktsionaalseid) või taktikalisi juhtimisotsuseid .

Ajalooliselt on välja kujunenud kaks meetodite ja tehnikate rühma: traditsiooniline ja matemaatiline. Vaatleme üksikasjalikumalt matemaatiliste meetodite rakendamist majandusanalüüs.

Matemaatilised meetodid majandusanalüüsis

Matemaatiliste meetodite kasutamine juhtimisvaldkonnas - kõige olulisem suund juhtimissüsteemide täiustamine. Matemaatilised meetodid kiirendavad majandusanalüüsi, aitavad kaasa tegurite mõju äritulemustele täielikumale arvestamisele ja suurendavad arvutuste täpsust. Matemaatiliste meetodite rakendamine nõuab:

* süstemaatiline lähenemine antud objekti uurimisele, võttes arvesse seoseid ja suhteid teiste objektidega (ettevõtted, firmad);

* matemaatiliste mudelite väljatöötamine, mis kajastavad organisatsiooni töötajate süsteemse tegevuse kvantitatiivseid näitajaid, keerukates süsteemides, näiteks ettevõtetes, toimuvaid protsesse;

* süsteemi täiustused teabe tugi ettevõtte juhtimine elektroonilise arvutitehnoloogia abil.

Majandusanalüüsi ülesannete lahendamine matemaatiliste meetodite abil on võimalik, kui need on sõnastatud matemaatiliselt, s.t. tegelikke majandussuhteid ja sõltuvusi väljendatakse matemaatilise analüüsi abil. See nõuab matemaatiliste mudelite väljatöötamist.

Juhtimispraktikas kasutavad nad majandusprobleemide lahendamiseks erinevaid meetodeid. Joonisel 1 on toodud peamised majandusanalüüsis kasutatavad matemaatilised meetodid.

Valitud klassifitseerimiskriteeriumid on üsna meelevaldsed. Näiteks võrgustiku planeerimisel ja juhtimisel kasutatakse erinevaid matemaatilisi meetodeid ning paljud autorid panevad mõiste “operatsioonide uurimine” tähendusse erinevat sisu.

Elementaarmatemaatika meetodid kasutatakse traditsioonilistes majandusarvutustes ressursivajaduse põhjendamisel, plaanide, projektide jms väljatöötamisel.

Klassikalised matemaatilise analüüsi meetodid kasutatakse iseseisvalt (diferentseerimine ja integreerimine) ja muude meetodite raames (matemaatiline statistika, matemaatiline programmeerimine).

Statistilised meetodid - massiliselt korduvate nähtuste uurimise peamine vahend. Neid kasutatakse siis, kui analüüsitavate näitajate muutusi on võimalik esitada juhusliku protsessina. Kui analüüsitavate tunnuste vaheline seos ei ole deterministlik, vaid stohhastiline, muutuvad statistilised ja tõenäosuslikud meetodid praktiliselt ainus tööriist uurimine. Majandusanalüüsis on tuntuimad meetodid mitmik- ja paariskorrelatsioonanalüüs.

Samaaegselt õppida statistilised agregaadid Kasutatakse jaotusseadust, variatsioonirida ja valimimeetodit. Mitmemõõtmeliste statistiliste populatsioonide puhul kasutatakse korrelatsioone, regressioone, dispersiooni, kovariatsiooni, spektri-, komponent- ja faktoritüüpe.

Majanduslikud meetodid põhinevad kolme teadmiste valdkonna sünteesil: majandus, matemaatika ja statistika. Ökonomeetria aluseks on majandusmudel, s.o. majandusnähtuse või protsesside skemaatiline kujutamine, nende kajastamine iseloomulikud tunnused kasutades teaduslikku abstraktsiooni. Kõige tavalisem majandusanalüüsi meetod on "sisend-väljund". Meetod esindab maatriks- (bilansi) mudeleid, mis on ehitatud malelaua mustri järgi ja illustreerivad selgelt kulude ja tootmistulemuste vahelist seost.

Matemaatilised programmeerimismeetodid - peamised vahendid tootmise ja majandustegevuse optimeerimise probleemide lahendamiseks. Meetodid on sisuliselt planeerimisarvutuste vahendid ning võimaldavad hinnata planeeritud ülesannete intensiivsust, tulemuste nappust ning määrata piiravaid toorainetüüpe ja seadmegruppe.

Operatsiooniuuringute all mõistab suunatud tegevuste (operatsioonide) meetodite väljatöötamist, lahenduste kvantitatiivset hindamist ja parima valikut. Operatsiooniuuringute eesmärk on süsteemi struktuursete omavahel seotud elementide kombinatsioon, mis annab kõige paremini parima majandusnäitaja.

Mänguteooria operatsioonide uurimise haruna on see matemaatiliste mudelite teooria optimaalsete otsuste tegemiseks ebakindluse või mitme erinevate huvidega osapoole konflikti tingimustes.

Matemaatilise statistika meetodid

Riis. 1. Majandusanalüüsis kasutatavate peamiste matemaatiliste meetodite klassifikatsioon.

Tõenäosusteoorial põhinev järjekorrateooria uurib matemaatilisi meetodeid järjekorraprotsesside kvantifitseerimiseks. Kõikide järjekordadega seotud probleemide tunnuseks on uuritavate nähtuste juhuslikkus. Teeninduspäringute arv ja nende saabumise vahelised ajaintervallid on oma olemuselt juhuslikud, kuid kokkuvõttes alluvad neile statistilised seadused, mille kvantitatiivne uurimine on järjekorrateooria teema.

Majandusküberneetika analüüsib majandusnähtusi ja protsesse kui keerulisi süsteeme kontrolliseaduste ja neis toimuva info liikumise seisukohalt. Selles valdkonnas on kõige enam arenenud modelleerimis- ja süsteemianalüüsi meetodid.

Matemaatiliste meetodite rakendamine majandusanalüüsis põhineb majandusprotsesside majanduslik-matemaatilise modelleerimise metoodikal ning teaduslikult põhjendatud meetodite ja analüüsiprobleemide klassifikatsioonil. Kõik majanduslikud ja matemaatilised meetodid (probleemid) jagunevad kahte rühma: optimeerimine otsused etteantud kriteeriumi alusel ja mitte optimeerimine(optimaalsuse kriteeriumita lahendused).

Täpse lahenduse saamise alusel jagunevad kõik matemaatilised meetodid täpne(kriteeriumiga või ilma, saadakse unikaalne lahendus) ja Sulge(stohhastilise teabe põhjal).

Optimaalsete täpsete meetodite hulka kuuluvad optimaalsete protsesside teooria meetodid, mõned matemaatilise programmeerimise meetodid ja operatsioonide uurimise meetodid, optimeerimise ligikaudsed meetodid hõlmavad mõningaid matemaatilise programmeerimise, operatsioonide uurimise, majandusküberneetika ja heuristika meetodeid.

Optimeerimiseta täpsed meetodid hõlmavad elementaarmatemaatika meetodeid ja klassikalisi matemaatilise analüüsi meetodeid, majanduslikud meetodid, optimeerimata lähendustele – statistiliste testide meetod ja muud matemaatilise statistika meetodid.

Eriti sageli kasutatakse matemaatilisi mudeleid järjekorra ja varude haldamise kohta. Näiteks järjekorra teooria põhineb teadlaste A.N. väljatöötatud teoorial. Kolmogorov ja A.L. Khanchini järjekorra teooria.

Järjekorra teooria

See teooria võimaldab teil uurida süsteeme, mis on loodud teenima tohutut juhuslike nõuete voogu. Nii nõuete tekkimise hetked kui ka nende hooldamisele kuluv aeg võivad olla juhuslikud. Teoreetiliste meetodite eesmärk on leida mõistlik teeninduskorraldus, mis tagab selle kindlaksmääratud kvaliteedi, määrata kindlaks optimaalsed (aktsepteeritud kriteeriumi seisukohalt) tööteenistuse standardid, mille vajadus tekib planeerimatult ja ebaregulaarselt.

Matemaatilise modelleerimise meetodil on võimalik määrata näiteks optimaalne arv automaatselt töötavaid masinaid, mida saab hooldada üks töötaja või töötajate meeskond jne.

Tüüpiline näide järjekorrateooria objektidest on automaatsed telefonikeskjaamad - PBX-id. PBX võtab juhuslikult vastu "päringuid" - abonentide kõnesid ja "teenus" seisneb abonentide ühendamises teiste abonentidega, suhtluse pidamises vestluse ajal jne. Teooria matemaatiliselt sõnastatud probleemid taanduvad tavaliselt õppimisele eritüüp juhuslikud protsessid.

Sissetuleva kõne voo ja teenuse kestuse etteantud tõenäosuslike karakteristikute põhjal ning teenindussüsteemi ülesehitust arvestades määrab teooria vastavad teenuse kvaliteedi karakteristikud (tõrke tõenäosus, keskmine ooteaeg kõne alguseni. teenindus jne).

Arvukate tehnilise ja majandusliku sisu probleemide matemaatilised mudelid on samuti lineaarsed programmeerimisprobleemid. Lineaarne programmeerimine on distsipliin, mis on pühendatud lineaarsete funktsioonide ekstreemumite probleemide lahendamise teooriale ja meetoditele lineaarsete võrduste ja võrratuste süsteemidega määratletud hulgadel.

Ettevõtte planeerimise probleem

Homogeensete toodete tootmiseks on vaja kulutada erinevaid tootmistegureid - toorainet, töö, masinapark, kütus, transport jne. Tavaliselt on mitmeid tõestatud tehnoloogilisi tootmismeetodeid ja nende meetodite puhul on tootmistegurite kulud toodete valmistamise ajaühiku kohta erinevad.

Tarbitavate tootmistegurite hulk ja toodetavate toodete hulk sõltub sellest, kui kaua ettevõte üht või teist tehnoloogilist meetodit kasutades töötab.

Ülesandeks on ettevõtte tööaja ratsionaalne jaotamine, kasutades erinevaid tehnoloogilisi meetodeid, s.t. nii, et iga tootmisteguri antud piiratud kuludega toodetakse maksimaalne arv tooteid.

Operatiivuuringutes matemaatilise modelleerimise meetodile tuginedes lahendatakse ka palju olulisi spetsiifilisi lahendusmeetodeid nõudvaid probleeme. Need sisaldavad:

· Toote töökindluse probleem.

· Seadmete väljavahetamise ülesanne.

· Ajastamise teooria (nn teooria ajakava koostamine).

· Ressursside jaotamise probleem.

· Hinnakujundusprobleem.

· Võrgu planeerimise teooria.

Toote töökindluse probleem

Toodete usaldusväärsuse määrab näitajate kogum. Iga tootetüübi jaoks on soovitused usaldusväärsuse näitajate valimiseks.

Kahes võimalikus olekus – töökorras ja rikkis olevate toodete hindamiseks kasutatakse järgmisi indikaatoreid: keskmine tööaeg enne tõrke ilmnemist (aeg esimese rikkeni), rikete vaheline aeg, rikete määr, tõrkevoolu parameeter, rikke taastamise keskmine aeg. tööseisund, tõrkevaba töö tõenäosus aja t jooksul, töövõimetegur.

Probleem ressursside eraldamisega

Tootmisjuhtimise protsessis on ressursside jaotamise küsimus üks peamisi. Selle probleemi lahendamiseks kasutatakse operatiivuuringutes lineaarse statistilise mudeli konstrueerimist.

Hinnakujunduse probleem

Ettevõtte jaoks mängib olulist rolli toodete hinnakujundus. Ettevõtte kasum sõltub sellest, kuidas hinnakujundust tehakse. Lisaks on praegustes turumajanduse tingimustes hinnast saanud oluline konkurentsitegur.

Võrgu planeerimise teooria

Võrgu planeerimine ja juhtimine on planeerimissüsteem suurte majanduskomplekside arendamise juhtimiseks, projekteerimiseks ja tehnoloogiliseks ettevalmistamiseks uut tüüpi kaupade tootmiseks, ehitamiseks ja rekonstrueerimiseks, kapitaalremont põhivara võrguskeemide kasutamise kaudu.

Võrgu planeerimise ja haldamise olemus on hallatava objekti matemaatilise mudeli koostamine võrguskeemi või arvuti mälus paikneva mudeli kujul, mis kajastab teatud tööde kogumi suhet ja kestust. Võrgudiagrammi kasutatakse pärast selle optimeerimist rakendusmatemaatika ja arvutitehnoloogia abil töö operatiivjuhtimiseks.

Majandusprobleemide lahendamine matemaatilise modelleerimise meetodil võimaldab tõhusalt juhtida nii üksikisikut tootmisprotsessid majandusolukordade prognoosimise ja planeerimise ning sellest lähtuvate juhtimisotsuste tegemise, aga ka kogu majanduse kui terviku tasandil. Järelikult on matemaatiline modelleerimine kui meetod tihedalt seotud juhtimisotsuste tegemise teooriaga.

Majandusliku ja matemaatilise modelleerimise etapid

Modelleerimisprotsessi peamisi etappe on juba eespool käsitletud. Erinevates teadmiste harudes, sealhulgas majanduses, omandavad nad oma spetsiifilised omadused. Analüüsime majandusliku ja matemaatilise modelleerimise ühe tsükli etappide järjestust ja sisu.

1. Majandusprobleemi avaldus ja selle kvalitatiivne analüüs. Peamine on siin selgelt sõnastada probleemi olemus, tehtud eeldused ja küsimused, millele vastuseid on vaja. See etapp hõlmab modelleeritava objekti kõige olulisemate tunnuste ja omaduste kindlakstegemist ning vähemtähtsatest omadustest abstraheerimist; objekti struktuuri ja selle elemente ühendavate põhisõltuvuste uurimine; objekti käitumist ja arengut selgitavate hüpoteeside sõnastamine.

2. Matemaatilise mudeli konstrueerimine. See on majandusprobleemi vormistamise etapp, väljendades seda konkreetsete matemaatiliste sõltuvuste ja seoste kujul (funktsioonid, võrrandid, ebavõrdsused jne). Tavaliselt määratakse esmalt matemaatilise mudeli põhikujundus (tüüp) ja seejärel täpsustatakse selle disaini üksikasjad (konkreetne muutujate ja parameetrite loend, ühenduste vorm). Seega on mudeli ehitamine omakorda jagatud mitmeks etapiks.

On vale arvata, et mida rohkem fakte mudel arvesse võtab, seda paremini see “töötab” ja annab paremaid tulemusi. Sama võib öelda ka selliste mudeli keerukuse tunnuste kohta nagu kasutatavad matemaatiliste sõltuvuste vormid (lineaarne ja mittelineaarne), võttes arvesse juhuslikkuse ja määramatuse tegureid jne. Mudeli liigne keerukus ja kohmakus raskendavad uurimisprotsessi. Arvestada tuleb mitte ainult reaalsete info- ja matemaatilise toe võimalustega, vaid võrrelda ka modelleerimise kulusid sellest tuleneva efektiga (mudeli keerukuse kasvades võib kulude kasv ületada efekti kasvu) .

Üks neist olulised omadused matemaatilised mudelid - potentsiaalne võimalus nende kasutamine erinevate probleemide lahendamiseks. Seetõttu pole isegi uue majandusprobleemiga silmitsi seistes vaja mudelit “leiutada”; Esiteks peate proovima selle probleemi lahendamiseks rakendada juba tuntud mudeleid.

Mudeli koostamise käigus võrreldakse kahte teaduslike teadmiste süsteemi - majanduslikku ja matemaatilist. Loomulik on püüda saada mudel, mis kuulub hästi uuritud matemaatikaprobleemide klassi. Sageli saab seda teha mudeli esialgseid eeldusi mõnevõrra lihtsustades, moonutamata modelleeritava objekti olulisi omadusi. Võimalik on aga ka olukord, kus majandusprobleemi formaliseerimine viib senitundmatu matemaatilise struktuurini. Majandusteaduse ja -praktika vajadused 20. sajandi keskpaigas. aitas kaasa matemaatilise programmeerimise, mänguteooria, funktsionaalse analüüsi ja arvutusmatemaatika arendamisele. Tõenäoliselt saab tulevikus majandusteaduse areng oluliseks tõukejõuks uute matemaatikaharude loomisel.

3. Mudeli matemaatiline analüüs. Selle etapi eesmärk on selgitada mudeli üldisi omadusi. Siin kasutatakse puhtmatemaatilisi uurimismeetodeid. Kõige olulisem on lahenduste olemasolu tõestamine formuleeritud mudelis (eksistentsiteoreem). Kui suudetakse tõestada, et matemaatilisel ülesandel pole lahendust, siis ei ole mudeli algversiooniga edasist tööd vaja; kohandada tuleks kas majandusprobleemi sõnastust või selle matemaatilise vormistamise meetodeid. Mudeli analüütilise uurimise käigus selgitatakse välja küsimused, näiteks kas on unikaalne lahendus, milliseid muutujaid (tundmatuid) saab lahendusse kaasata, millised on nendevahelised seosed, mil määral ja sõltuvalt milliseid algtingimusi nad muudavad, millised on nende muutumise suundumused jne. Mudeli analüütilise uuringu eeliseks on võrreldes empiirilise (numbrilise) uuringuga see, et saadud järeldused jäävad kehtima mudeli välis- ja siseparameetrite erinevate konkreetsete väärtuste puhul.

Mudeli üldiste omaduste tundmine on nii oluline, sageli just selliste omaduste tõestamiseks idealiseerivad teadlased teadlikult esialgset mudelit. Ja ometi on keerukate majandusobjektide mudeleid analüütiliselt väga raske uurida. Juhtudel, kui analüütilised meetodid ei suuda kindlaks teha mudeli üldisi omadusi ja mudeli lihtsustused viivad vastuvõetamatute tulemusteni, minnakse üle numbriliste uurimismeetodite juurde.

4. Taustinfo koostamine. Modelleerimine seab infosüsteemile karmid nõudmised. Samas piiravad reaalsed info hankimise võimalused praktiliseks kasutamiseks mõeldud mudelite valikut. Sel juhul ei võeta arvesse mitte ainult teabe (teatud aja jooksul) ettevalmistamise põhimõttelist võimalust, vaid ka vastavate teabemassiivide koostamise kulusid. Need kulud ei tohiks ületada kasutamise mõju Lisainformatsioon.

Teabe ettevalmistamise protsessis kasutatakse laialdaselt tõenäosusteooria, teoreetilise ja matemaatilise statistika meetodeid. Süsteemimajanduslikus ja matemaatilises modelleerimises on mõne mudeli puhul kasutatav alginformatsioon teiste mudelite toimimise tulemus.

5. Numbriline lahendus. See etapp hõlmab ülesande numbrilise lahendamise algoritmide väljatöötamist, arvutiprogrammide koostamist ja otsearvutusi. Selle etapi raskused on tingitud ennekõike majandusprobleemide suurest mõõtmest ja vajadusest töödelda märkimisväärses koguses teavet.

Tavaliselt on majandus-matemaatilist mudelit kasutavad arvutused olemuselt mitme muutujaga. Tänu kaasaegsete arvutite suurele kiirusele on võimalik läbi viia arvukalt “mudeli” eksperimente, uurides mudeli “käitumist” erinevatel muutustel teatud tingimustes. Numbriliste meetoditega läbiviidud uuringud võivad oluliselt täiendada analüütiliste uuringute tulemusi ning paljude mudelite puhul on see ainuvõimalik. Numbriliste meetoditega lahendatavate majandusprobleemide klass on palju laiem kui analüütilise uurimistöö jaoks kättesaadavate probleemide klass.

6. Numbriliste tulemuste analüüs ja nende rakendamine. Sellel viimane etapp tsüklis tekib küsimus modelleerimistulemuste õigsuse ja täielikkuse kohta, viimaste praktilise rakendatavuse astme kohta.

Matemaatilised kontrollimeetodid võivad tuvastada valesid mudelikonstruktsioone ja seeläbi kitsendada potentsiaalselt õigete mudelite klassi. Mudeli kaudu saadud teoreetiliste järelduste ja numbriliste tulemuste mitteformaalne analüüs, nende võrdlemine olemasolevate teadmiste ja tegelikkuse faktidega võimaldab avastada ka puudujääke majandusprobleemi sõnastuses, konstrueeritud matemaatilises mudelis ning selle informatsioonis ja matemaatilises toes.

Viited

Õpetamine

Vajad abi teema uurimisel?

Meie spetsialistid nõustavad või pakuvad juhendamisteenust teid huvitavatel teemadel.
Esitage oma taotlus märkides teema kohe ära, et saada teada konsultatsiooni saamise võimalusest.

Erinevate majandusnähtuste uurimiseks kasutavad majandusteadlased nende lihtsustatud formaalseid kirjeldusi, nn majandusmudelid. Majandusmudelite konstrueerimisel elimineeritakse olulised tegurid ja jäetakse kõrvale detailid, mis pole probleemi lahendamiseks hädavajalikud.

Majandusmudelid võivad sisaldada järgmisi mudeleid:

• majanduskasv
• tarbija valik
• tasakaal finants- ja kaubaturgudel ning paljudel teistel.

Mudel— komponentide ja funktsioonide loogiline või matemaatiline kirjeldus, mis kajastab modelleeritava objekti või protsessi olulisi omadusi.

Mudelit kasutatakse tavapärase kujutisena, mis on loodud objekti või protsessi uurimise lihtsustamiseks.

Mudelite olemus võib olla erinev. Mudelid jagunevad: reaalsed, sümboolsed, sõnalised ja tabelikirjeldused jne.

Majanduslik ja matemaatiline mudel

Äriprotsesside juhtimisel kõrgeim väärtus on esiteks majanduslikud ja matemaatilised mudelid, mis on sageli kombineeritud mudelsüsteemideks.

Majanduslik ja matemaatiline mudel(EMM) - majandusobjekti või protsessi matemaatiline kirjeldus nende uurimise ja juhtimise eesmärgil. See matemaatiline tähistus majanduslik probleem lahendatakse.

Peamised mudelitüübid

• Ekstrapolatsiooni mudelid
• Faktorökonomeetrilised mudelid
• Optimeerimismudelid
• Tasakaalumudelid, Inter-Industry Balance (IOB) mudel
• Eksperthinnangud
• Pange tähele, et mänguteooria
• Võrgumudelid
• Järjekorrasüsteemide mudelid

Majandusanalüüsis kasutatavad majandus- ja matemaatilised mudelid ja meetodid

Praegu kasutatakse organisatsioonide majandustegevuse analüüsimisel üha enam matemaatilisi uurimismeetodeid. See aitab parandada majandusanalüüsi, süvendada seda ja suurendada selle tõhusust.

Matemaatiliste meetodite kasutamise tulemusena saavutatakse terviklikum uuring üksikute tegurite mõjust organisatsioonide tegevuse üldistele majandusnäitajatele, väheneb analüüsiks kuluv aeg, suureneb majandusarvutuste täpsus ja mitmemõõtmeline. lahendatakse analüütilisi probleeme, mida traditsiooniliste meetoditega täita ei saa. Majandusanalüüsis majanduslike ja matemaatiliste meetodite kasutamise protsessis viiakse läbi majandus- ja matemaatiliste mudelite konstrueerimine ja uurimine, mis kirjeldavad üksikute tegurite mõju organisatsioonide tegevuse üldistele majandusnäitajatele.

Üksikute tegurite mõju analüüsimisel kasutatakse nelja peamist tüüpi majanduslikke ja matemaatilisi mudeleid:

• lisandmudelid;
• korduvad mudelid;
• mitu mudelit;
• segamudelid.

Lisandid mudelid saab defineerida üksikute näitajate algebralise summana. Tuleb meeles pidada, et selliseid mudeleid saab iseloomustada järgmise valemi abil:

Lisandmudeli näiteks oleks turustatavate toodete tasakaal.

Multiplikatiivsed mudelid võib määratleda kui üksikute tegurite korrutist.

Oluline on märkida, et sellise mudeli üheks näiteks võiks olla kahefaktoriline mudel, mis väljendab suhet toodangu mahu, kasutatud seadmete arvu ja toodangu vahel seadmeühiku kohta:

P = K V,

• P— tootmismaht;
• TO— seadmete arv;
• IN— tootmisvõimsus seadmeühiku kohta.

Mitu mudelit— ϶ᴛᴏ üksikute tegurite korrelatsioon. Väärib märkimist, et neid iseloomustab järgmine valem:

OP = x/y

Siin OP on üldine majandusnäitaja, mida mõjutavad üksikud tegurid x Ja y. Mitme mudeli näide on valem, mis väljendab suhet käibevara käibe kestuse päevades, nende varade antud perioodi keskmise väärtuse ja ühepäevase müügimahu vahel:

P = OA/OP,

• P- käibe kestus;
• OA— käibevara keskmine väärtus;
• OP— ühepäevane müügimaht.

Lõpuks segamudelid— ϶ᴛᴏ juba käsitletud mudelitüüpide kombinatsioon. Näiteks saab sellise mudeliga kirjeldada varade tootluse näitajat, mille taset mõjutavad kolm tegurit: puhaskasum (NP), põhivara väärtus (VA), käibevara väärtus (CA):

Ra = PE / VA + OA,

Üldistatud kujul saab segamudelit esitada järgmise valemiga:

Seega tuleks kõigepealt koostada majanduslik ja matemaatiline mudel, mis kirjeldab üksikute tegurite mõju organisatsiooni tegevuse üldistele majanduslikele näitajatele. Oluline on teada, et seda kasutatakse laialdaselt majandustegevuse analüüsimisel mitmefaktorilised multiplikatiivsed mudelid, kuna need võimaldavad uurida paljude tegurite mõju üldistele näitajatele ja seeläbi saavutada analüüsi suurem sügavus ja täpsus.

Pärast seda peate valima selle mudeli lahendamise meetodi. Traditsioonilised meetodid: ahela asendusmeetodid, absoluutsete ja suhteliste erinevuste meetodid, tasakaalu meetod, indeksmeetod, samuti korrelatsiooni-regressiooni, klastri, dispersioonanalüüsi jne meetodid. Lisaks nendele meetoditele ja meetoditele saab kasutada ka spetsiifiliselt matemaatilisi meetodeid ja meetodeid majandusanalüüsis .

Majandusanalüüsi terviklik meetod

Oluline on märkida, et üks neist meetoditest (meetoditest) on lahutamatu. Väärib märkimist, et seda kasutatakse üksikute tegurite mõju määramiseks, kasutades multiplikatiivseid, mitmekordseid ja segatud (mitmelisanduvaid) mudeleid.

Integraalmeetodi kasutamisel on võimalik saada üksikute tegurite mõju arvutamiseks põhjendatumaid tulemusi kui ahelaasenduste meetodit ja selle variante kasutades. Ahelasenduste meetodil ja selle variantidel, aga ka indeksmeetodil on olulised puudused: 1) tegurite mõju arvutuste tulemused sõltuvad aktsepteeritud järjestusest üksikute tegurite põhiväärtuste asendamisel tegelike väärtustega; 2) viimase teguri mõju summale liidetakse tegurite koosmõjust tingitud üldnäitaja täiendav tõus lagunematu jäägi näol. Integraalmeetodi kasutamisel jagatakse kasv kõigi tegurite vahel võrdselt.

Integraalmeetod loob üldise lähenemisviisi erinevat tüüpi mudelite lahendamiseks, olenemata antud mudelis sisalduvate elementide arvust, samuti sõltumata nende elementide vahelise seose vormist.

Faktoormajandusliku analüüsi integraalmeetod põhineb osatuletisena määratletud funktsiooni juurdekasvude liitmisel, mis on korrutatud argumendi juurdekasvuga lõpmata väikeste intervallide lõikes.

Integraalmeetodi rakendamisel on äärmiselt oluline järgida mitmeid tingimusi. Esiteks peab olema täidetud funktsiooni pideva diferentseeritavuse tingimus, kus argumendiks võetakse mis tahes majandusnäitaja. Teiseks funktsioon alg- ja lõpp-punktid algperiood peab muutuma sirgjooneliselt G e. Lõpuks, kolmandaks, tegurite suurusjärkude muutumismäärade suhe peab olema püsiv

d y / d x = konst

Integraalmeetodi kasutamisel arvutus kindel integraal antud integrandi funktsiooni ja etteantud integreerimisintervalli jaoks teostatakse vastavalt olemasolevale standardprogrammile kasutades kaasaegsed vahendid arvutitehnoloogia.

Kui lahendame multiplikatiivse mudeli, siis üksikute tegurite mõju arvutamiseks üldisele majandusnäitajale saame kasutada järgmisi valemeid:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x*Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Mitme mudeli lahendamisel tegurite mõju arvutamiseks kasutame järgmisi valemeid:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Integraalmeetodil lahendatakse kahte peamist tüüpi probleeme: staatiline ja dünaamiline. Esimese tüübi puhul puudub teave analüüsitavate tegurite muutuste kohta antud perioodi jooksul. Sellisteks ülesanneteks on näiteks äriplaanide elluviimise analüüs või majandusnäitajate muutuste analüüs võrreldes eelmise perioodiga. Dünaamiline ülesannete tüüp ilmneb teabe olemasolul analüüsitavate tegurite muutuste kohta antud perioodi jooksul. Seda tüüpi probleem hõlmab arvutusi, mis on seotud majandusnäitajate aegridade uurimisega.

Need on faktormajandusliku analüüsi integraalmeetodi olulisemad tunnused.

Logaritmi meetod

Lisaks sellele meetodile kasutatakse analüüsis ka logaritmi meetodit (meetodit). Väärib märkimist, et seda kasutatakse faktoranalüüsi läbiviimisel, kui lahendatakse multiplikatiivsed mudelid. Vaadeldava meetodi olemus seisneb sisuliselt selles, et selle kasutamisel jaotub tegurite ühismõju suurus logaritmiliselt proportsionaalselt viimaste vahel, st see väärtus jaotatakse tegurite vahel proportsionaalselt iga üksiku teguri mõju üldistava näitaja summale. Integraalmeetodi puhul jaotatakse nimetatud väärtus tegurite vahel võrdselt. Seetõttu muudab logaritmimeetod tegurite mõju arvutused integraalmeetodiga võrreldes mõistlikumaks.

Logaritmiseerimise protsessis ei kasutata majandusnäitajate kasvu absoluutväärtusi, nagu integraalmeetodi puhul, vaid suhtelisi, st nende näitajate muutuste indekseid. Näiteks on üldine majandusnäitaja määratletud kolme teguri – tegurite – korrutisena f = x y z.

Leiame kõigi nende tegurite mõju üldisele majandusnäitajale. Seega saab esimese teguri mõju määrata järgmise valemiga:

Δf x = Δf log(x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Milline oli järgmise teguri mõju? Selle mõju leidmiseks kasutame järgmist valemit:

Δf y = Δf log(y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Lõpuks rakendame kolmanda teguri mõju arvutamiseks valemit:

Δf z = Δf log(z 1 / z 0)/ log (f 1 / f 0)

Kõigest eelnevast lähtudes jõuame järeldusele, et üldistava näitaja muutuse kogusumma jaguneb üksiktegurite vahel vastavalt üksikute faktoriindeksite logaritmide ja üldistava näitaja logaritmi vahekordadele.

Vaadeldava meetodi rakendamisel võib kasutada mis tahes tüüpi logaritme - nii naturaalseid kui ka kümnendkohti.

Diferentsiaalarvutuse meetod

Faktoranalüüsi läbiviimisel kasutatakse ka diferentsiaalarvutuse meetodit. Viimane eeldab seda üldine muutus funktsioon ehk üldnäitaja jaguneb eraldi terminiteks, millest igaühe väärtus arvutatakse teatud osatuletise ja muutuja juurdekasvu korrutisena, millega see tuletis määratakse. On asjakohane märkida, et määrame üksikute tegurite mõju üldnäitajale, kasutades näitena kahe muutuja funktsiooni.

Funktsioon määratud Z = f(x,y). Kui see funktsioon on diferentseeritav, saab selle muutust väljendada järgmise valemiga:

Selgitame valemi üksikuid elemente:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- funktsiooni muutuse suurus;

Δx = (x 1 - x 0)— muutuse suurus ühes teguris;

Δ y = (y 1 - y 0)-muu teguri muutuse ulatus;

- lõpmata väike kogus, mis on kõrgemat järku kui

Selles näites üksikute tegurite mõju x Ja y funktsiooni muutmiseks Z(üldnäitaja) arvutatakse järgmiselt:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Mõlema teguri mõju summa on põhiline, lineaarne diferentseeruva funktsiooni juurdekasvu antud teguri juurdekasvu suhtes, st üldistava näitaja osa.

Aktsiakapitali meetod

Aditiivsete, aga ka mitmiklisatavate mudelite lahendamise osas kasutatakse võrdsusmeetodit ka üksikute tegurite mõju arvutamiseks üldnäitaja muutustele. Selle olemus seisneb sisuliselt selles, et kõigepealt määratakse iga teguri osakaal nende muutuste kogusummas. Seejärel korrutatakse see osa koondnäitaja kogumuutusega.

Lähtume eeldusest, et määrame kolme teguri mõju - A,b Ja Koosüldiseks näitajaks y. Seejärel saab teguri jaoks määrata selle osakaalu ja korrutada selle üldistava indikaatori muutuse kogusummaga järgmise valemi abil:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Teguri b puhul on vaadeldav valem järgmine:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Lõpuks on meil teguri c jaoks:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

See on faktoranalüüsi jaoks kasutatava kapitaliosaluse meetodi olemus.

Lineaarne programmeerimismeetod

Vaata lisaks: Lineaarne programmeerimismeetod

Pange tähele, et järjekorra teooria

Vaata lisaks: Pange tähele, et järjekorra teooria

Pange tähele, et mänguteooria

Kasutatakse ka mänguteooriat. Nii nagu järjekorrateooria, on ka mänguteooria rakendusmatemaatika üks harudest. Pange tähele, et mänguteooria uurib mängusituatsioonides võimalikke optimaalseid lahendusi. See hõlmab olukordi, mis on seotud optimaalsete juhtimisotsuste valikuga, kõige sobivamate valikute valikuga suheteks teiste organisatsioonidega jne.

Selliste probleemide lahendamiseks mänguteoorias saab kasutada algebralisi meetodeid, mis põhinevad lineaarsete võrrandite ja võrratuste süsteemil, iteratiivseid meetodeid, aga ka meetodeid selle ülesande taandamiseks konkreetseks diferentsiaalvõrrandi süsteemiks.

Oluline on märkida, et üheks organisatsioonide majandustegevuse analüüsimisel kasutatavaks majanduslikuks ja matemaatiliseks meetodiks on nn tundlikkusanalüüs. Materjal avaldati aadressil http://site
See meetod kasutatakse sageli investeerimisprojektide analüüsimisel, aga ka selleks, et ennustada antud organisatsiooni käsutusse jääva kasumi suurust.

Organisatsiooni tegevuse optimaalseks planeerimiseks ja prognoosimiseks on äärmiselt oluline analüüsitud majandusnäitajatega ette näha need muutused, mis võivad tulevikus tekkida.

Näiteks tuleks ette ennustada muutusi nende tegurite väärtustes, mis mõjutavad kasumi suurust: ostetud kaupade ostuhindade tase. materiaalsed ressursid, antud organisatsiooni toodete müügihindade tase, muutused klientide nõudluses nende toodete järele.

Tundlikkusanalüüs seisneb üldistava tulevikuväärtuse määramises majandusnäitaja tingimusel, et ühe või mitme seda näitajat mõjutava teguri väärtus muutub.

Näiteks määravad nad kindlaks, kui palju kasum tulevikus muutub, sõltuvalt ühiku kohta müüdud toodete koguse muutumisest. Nii analüüsime tundlikkust netokasum muutusele ühes seda mõjutavas teguris ehk sisse sel juhul müügimahu tegur.
Tasub teada, et ülejäänud kasumi suurust mõjutavad tegurid jäävad muutumatuks. Kasumi suurust on võimalik määrata ka siis, kui edaspidi muutub mitme teguri mõju üheaegselt. Seega võimaldab tundlikkusanalüüs määrata üldise majandusnäitaja reaktsiooni tugevust seda näitajat mõjutavate üksikute tegurite muutustele.

Maatriksmeetod

Koos ülaltoodud majanduslike ja matemaatiliste meetoditega kasutatakse neid ka majandustegevuse analüüsimisel. maatriksmeetodid. Need meetodid põhinevad lineaar- ja vektormaatriksalgebral.

Võrgu planeerimise meetod

Vaata lisaks: Võrgu planeerimise meetod

Ekstrapolatsiooni analüüs

Lisaks käsitletud meetoditele kasutatakse ka ekstrapolatsioonianalüüsi. Väärib märkimist, et see sisaldab analüüsitava süsteemi oleku muutuste arvestamist ja ekstrapoleerimist, st süsteemi olemasolevate omaduste laiendamist tulevasteks perioodideks. Seda tüüpi analüüsi läbiviimise protsessis saab eristada järgmisi põhietappe: esmane töötlemine ja olemasolevate andmete esialgse seeria teisendamine; empiiriliste funktsioonide tüübi valimine; nende funktsioonide põhiparameetrite määramine; ekstrapoleerimine; tehtud analüüsi usaldusväärsuse määra kindlaksmääramine.

Majandusanalüüsis kasutatakse ka põhikomponendi meetodit. Väärib märkimist, et neid kasutatakse võrdlev analüüs individuaalne komponendid st organisatsiooni tegevuse analüüsi parameetrid. Peamised komponendid on kõige olulisemad omadused komponentide lineaarsed kombinatsioonid, st analüüsi parameetrid, millel on kõige olulisemad dispersiooniväärtused, nimelt suurimad absoluutsed kõrvalekalded keskmistest väärtustest.

Kasutustingimused:
Intellektuaalsed õigused materjalile – Majanduse matemaatilised meetodid kuuluvad selle autorile. See juhend/raamat on postitatud üksnes informatiivsel eesmärgil, ilma et see oleks seotud kaubandusliku ringlusega. Kogu teave (sh "Majanduslikud ja matemaatilised meetodid ja analüüsimudelid") on kogutud aadressilt avatud allikad või lisavad kasutajad tasuta.
Postitatud teabe täielikuks kasutamiseks soovitab saidi projektihaldus tungivalt osta raamatu/juhendi Majanduse matemaatilised meetodid mis tahes veebipoest.

Sildiplokk: Matemaatilised meetodid majanduses, 2015. Majanduslikud ja matemaatilised analüüsimeetodid ja mudelid.

(C) Õigusaktide hoidla veebisait 2011–2016

Raudteeministeerium Venemaa Föderatsioon

Uurali Riiklik Transpordiülikool

Tšeljabinski Raudteeinstituut

KURSUSETÖÖ

kursus: “Majanduslik ja matemaatiline modelleerimine”

Teema: “Matemaatilised mudelid majanduses”

Lõpetatud:

Šifr:

Aadress:

Kontrollitud:

Tšeljabinsk 200_ g.

Sissejuhatus

Aruannete koostamine ja salvestamine

Probleemi lahendamine arvutis

Kirjandus

Sissejuhatus

Simulatsioon sisse teaduslikud uuringud hakati kasutama iidsetel aegadel ja haaras järk-järgult uusi teaduslikke teadmisi: tehniline projekteerimine, ehitus ja arhitektuur, astronoomia, füüsika, keemia, bioloogia ja lõpuks sotsiaalteadused. Suur edu ja tunnustust peaaegu kõigis tööstusharudes kaasaegne teadus viinud kahekümnenda sajandi modelleerimismeetodi juurde. Modelleerimismetoodika aga pikka aega eraldi teaduste poolt iseseisvalt välja töötatud. Puudus ühtne mõistete süsteem, ühtne terminoloogia. Alles järk-järgult hakati mõistma modellinduse rolli universaalne meetod teaduslikud teadmised.

Mõistet "mudel" kasutatakse laialdaselt erinevaid valdkondi inimtegevus ja sellel on palju semantilisi tähendusi. Vaatleme ainult selliseid "mudeleid", mis on teadmiste hankimise vahendid.

Mudel on materiaalne või vaimselt väljamõeldud objekt, mis uurimise käigus asendab algse objekti nii, et selle vahetu uurimine annab esialgse objekti kohta uusi teadmisi.

Modelleerimine tähendab mudelite konstrueerimise, uurimise ja rakendamise protsessi. See on tihedalt seotud selliste kategooriatega nagu abstraktsioon, analoogia, hüpotees jne. Modelleerimisprotsess hõlmab tingimata abstraktsioonide konstrueerimist, analoogia põhjal järeldusi ja teaduslike hüpoteeside konstrueerimist.

peamine omadus modelleerimine seisneb selles, et see on asendusobjekte kasutav kaudse tunnetuse meetod. Mudel toimib omamoodi tunnetusvahendina, mille uurija paneb enda ja objekti vahele ning mille abil uurib teda huvitavat objekti. Just see modelleerimismeetodi omadus määrab abstraktsioonide, analoogiate, hüpoteeside ja muude tunnetuskategooriate ja meetodite kasutamise konkreetsed vormid.

Modelleerimismeetodi kasutamise vajaduse määrab asjaolu, et paljusid objekte (või nende objektidega seotud probleeme) on kas võimatu otseselt uurida või nõuab see uurimine palju aega ja raha.

Modelleerimine on tsükliline protsess. See tähendab, et esimesele neljaastmelisele tsüklile võib järgneda teine, kolmas jne. Samal ajal laiendatakse ja täpsustatakse teadmisi uuritava objekti kohta ning järk-järgult täiustatakse esialgset mudelit. Pärast esimest modelleerimistsüklit avastatud puudused, mis tulenevad objekti vähesest tundmisest ja mudeli koostamise vigadest, saab järgmistes tsüklites parandada. Modelleerimismetoodika hõlmab seega suurepäraseid võimalusi eneseareng.

Majandussüsteemide matemaatilise modelleerimise eesmärk on kasutada matemaatilisi meetodeid, et kõige tõhusamalt lahendada majandusvaldkonnas tekkivaid probleeme, kasutades reeglina kaasaegset arvutitehnoloogiat.

Majandusprobleemide lahendamise protsess toimub mitmes etapis:

Probleemi sisuline (majanduslik) sõnastus. Kõigepealt peate ülesandest aru saama ja selle selgelt sõnastama. Samal ajal määratakse ka objektid, mis on seotud lahendatava probleemiga, samuti olukord, mis vajab selle lahendamise tulemusena realiseerimist. See on probleemi mõtestatud sõnastamise etapp. Probleemi kvantitatiivseks kirjeldamiseks ja arvutitehnoloogia kasutamiseks selle lahendamisel on vaja läbi viia sellega seotud objektide ja olukordade kvalitatiivne ja kvantitatiivne analüüs. Sel juhul jagatakse keerulised objektid osadeks (elementideks), nende elementide seosteks, nende omadusteks, omaduste kvantitatiivseteks ja kvalitatiivseteks väärtusteks, kvantitatiivseteks ja loogilisteks seosteks nende vahel, mis on väljendatud võrrandite, ebavõrdsuste jms kujul. on kindlaks määratud. See on probleemi süsteemianalüüsi etapp, mille tulemusena esitatakse objekt süsteemi kujul.

Järgmine etapp on ülesande matemaatiline formuleerimine, mille käigus konstrueeritakse objekti matemaatiline mudel ja määratakse meetodid (algoritmid) ülesande lahenduse saamiseks. See on ülesande süsteemi sünteesi (matemaatilise formuleerimise) etapp. Tuleb märkida, et selles etapis võib selguda, et eelnevalt läbiviidud süsteemianalüüs on viinud elementide, omaduste ja seoste kogumini, mille jaoks pole probleemi lahendamiseks vastuvõetavat meetodit, mistõttu tuleb naasta süsteemianalüüsi etapp. Üldjuhul on majanduspraktikas lahendatavad ülesanded standarditud, süsteemianalüüs viiakse läbi tuntud matemaatilise mudeli ja selle lahendamise algoritmi alusel, probleem on vaid sobiva meetodi valikus.

Järgmine samm on arvutis probleemi lahendamise programmi väljatöötamine. Keeruliste objektide puhul, mis koosnevad suurest hulgast ja suure hulga omadustega elementidest, võib osutuda vajalikuks koostada andmebaas ja sellega töötamise tööriistad, arvutusteks vajalike andmete hankimise meetodid. Standardülesannete puhul ei toimu arendus, vaid sobiva rakenduspaketi ja andmebaasihaldussüsteemi valik.

Viimases etapis kasutatakse mudelit ja saadakse tulemused.

Seega hõlmab probleemi lahendamine järgmisi samme:

2. Süsteemi analüüs.

3. Süsteemi süntees (ülesande matemaatiline sõnastus)

4. Tarkvara arendamine või valik.

5. Probleemi lahendamine.

Operatsioonide uurimismeetodite järjekindel kasutamine ja nende rakendamine kaasaegsel info- ja arvutustehnoloogial võimaldab ületada subjektiivsuse ja kõrvaldada nn tahtlikud otsused, mis ei põhine objektiivsete asjaolude rangel ja täpsel arvestamisel, vaid juhuslikel emotsioonidel ja juhtide isiklikul huvil. erinevatel tasanditel, kes pealegi ei saa neid tahtlikke otsuseid kooskõlastada.

Süsteemianalüüs võimaldab võtta arvesse ja kasutada juhtimises kogu hallatava objekti kohta olemasolevat informatsiooni, koordineerida objektiivse, mitte subjektiivse efektiivsuse kriteeriumi seisukohalt tehtud otsuseid. Arvutuste säästmine juhtimisel on sama, mis tulistamisel sihtimisel. Arvuti aga mitte ainult ei võimalda kogu infot arvesse võtta, vaid vabastab haldaja mittevajalikust infost ning läheb inimesest mööda minnes mööda kogu vajalikust infost, esitades talle vaid kõige üldistavama info, kvintessentsi. Süsteemne lähenemine majandusteaduses on see üksinda, ilma arvutit kasutamata, uurimismeetodina efektiivne, samas ei muuda varem avastatud majandusseadusi, vaid õpetab neid kõige paremini kasutama.

Protsesside keerukus majanduses nõuab otsustajalt kõrget kvalifikatsiooni ja suurepärane kogemus. See aga ei garanteeri vigu, matemaatiline modelleerimine võimaldab anda püstitatud küsimusele kiire vastuse või teha reaalsel objektil võimatuid või suuri kulutusi ja aega nõudvaid eksperimentaalseid uuringuid.

Matemaatiline modelleerimine võimaldab teha optimaalse, st parima otsuse. See võib õigest veidi erineda tehtud otsus ilma matemaatilist modelleerimist kasutamata (umbes 3%). Kuid suurte tootmismahtude korral võib selline "väike" viga põhjustada suuri kahjusid.

Matemaatilise mudeli analüüsimiseks ja optimaalse otsuse langetamiseks kasutatavad matemaatilised meetodid on väga keerulised ja nende rakendamine ilma arvutit kasutamata on keeruline. Programmide osana Excel Ja Mathcad Olemas on vahendid, mis võimaldavad teha matemaatilist analüüsi ja leida optimaalse lahenduse.

Osa nr 1 "Matemaatilise mudeli uurimine"

Probleemi sõnastamine.

Ettevõttel on võimalus toota 4 tüüpi tooteid. Iga tooteliigi ühiku tootmiseks on vaja kulutada teatud hulk tööjõu-, finants- ja tooraineressursse. Iga ressurssi on saadaval piiratud kogus. Tootmisühiku müük toob kasumit. Parameetrite väärtused on toodud tabelis 1. Lisatingimus: toodete nr 2 ja nr 4 tootmise finantskulud ei tohiks ületada 50 rubla. (iga tüüpi).

Põhineb matemaatilisel modelleerimisel vahenditega Excel teha kindlaks, milliseid tooteid ja millistes kogustes on soovitatav toota suurima kasumi saamise seisukohalt, analüüsida tulemusi, vastata küsimustele, teha järeldusi.

Tabel 1.

Matemaatilise mudeli koostamine

Objektiivne funktsioon (TF).

Eesmärkfunktsioon näitab, mis mõttes peaks probleemi lahendus olema parim (optimaalne). Meie ülesandes TF:

Kasum → max.

Kasumi väärtuse saab määrata järgmise valemiga:

Kasum = arv 1 ∙ pr 1 + arv 2 ∙ pr 2 + arv 3 ∙ pr 3 + arv 4 ∙ pr 4, Kus loe 1,…, loe 4 –

iga toodetud tooteliigi kogused;

pr 1,…, pr 4 - iga tooteliigi ühiku müügist saadud kasum. Väärtuste asendamine pr 1,…, pr 4 ( tabelist 1) saame:

TF: 1,7 ∙ arv 1 + 2,3 ∙ arv 2 + 2 ∙ arv 3 + 5 ∙ arv 4 → max (1)

Piirangud (OGR).

Piirangud loovad muutujate vahel sõltuvused. Meie probleemis seatakse piirangud ressursside kasutamisele, mille kogused on piiratud. Kõigi toodete valmistamiseks vajaliku tooraine koguse saab arvutada järgmise valemi abil:

Tooraine = 1 ∙ kogusest 1 + 2 ∙ kogusest 2 + 3 ∙ kogusest 3 + 4 ∙ kogusest 4, Kus alates 1,…, alates 4 –

tooraine kogused, mis on vajalikud iga tooteliigi ühiku tootmiseks. Kasutatava tooraine koguhulk ei tohi ületada olemasolevat ressurssi. Asendades tabelist 1 toodud väärtused, saame esimese piirangu - tooraine jaoks:

1,8 ∙ arv 1 + 1,4 ∙ arv 2 + 1 ∙ arv 3 + 0,15 ∙ arv 4 ≤ 800 (2)

Paneme samamoodi kirja finants- ja tööjõukulude piirangud:

0,63 ∙ arv 1 + 0,1 ∙ arv 2 + 1 ∙ arv 3 + 1,7 ∙ arv 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ arv 1 + 2,3 ∙ arv 2 + 1,6 ∙ arv 3 + 1,8 ∙ arv 4 ≤ 1000 (4)

Piirtingimused (GRU).

Piirtingimused näitavad piire, mille piires võivad soovitud muutujad muutuda. Meie probleemis on need finantskulud toodete nr 2 ja nr 4 tootmiseks vastavalt tingimusele:

0,1 ∙ arv 2 ≤ 50 hõõruda; 1,7 ∙ arv 4 ≤ 50 hõõruda. ( 5)

Teisest küljest peame juurutama, et toodangu kogus peab olema nullist suurem või sellega võrdne. See on meie jaoks ilmselge, kuid arvuti jaoks vajalik tingimus:

loendama 1 ≥ 0; loendama 2 ≥ 0; loendama 3 ≥ 0; loe 4 ≥ 0. ( 6)

Kuna kõik otsitud muutujad ( loe 1,…, loe 4) sisalduvad vahekorras 1-7 esimese astmega ja nendega tehakse ainult konstantsete koefitsientide liitmise ja korrutamise toimingud, siis on mudel lineaarne.

Probleemi lahendamine arvutis.

Lülitage arvuti sisse. Enne võrku sisenemist määrake kasutajanimi ZA, parooliga A. Laadige programm alla Excel. Salvestage fail nime all Lidovitski Kulik. X ls. kaustas Ek/k 31 (2). Looge päis: vasakul on kuupäev, keskel faili nimi, paremal on lehe nimi.

Loome ja vormindame päise ja lähteandmete tabeli (tabel 1). Andmed sisestame tabelisse vastavalt ülesande variandile.

Koostame ja vormindame arvutamiseks tabeli. Sisestage algväärtused lahtritesse "Kogus". Valime need oodatud tulemuse lähedal. Meil puudub eelinfo ja seetõttu valime need võrdseks 1-ga. Nii on sisestatud valemeid lihtne kontrollida.

Reale “Tööjõusisendid” sisestame valemi (4) tingimused - toodete koguse korrutis toodanguühiku tootmiseks vajaliku tööjõusisendi hulgaga:

tootele nr 1 (=C15*C8);

tooted nr 2 (=D15*D8);

tooted nr 3 (=E15*E8);

tooted nr 4 (=F15*F8).

Veerus “TOTAL” leiame nende lahtrite sisu summa, kasutades automaatse summa nuppu Σ. Veerust “Järeljäänud” leiame erinevuse tabeli 1 lahtrite “Ressursi-tööjõukulud” ja “Tööjõukulu KOKKU” (=G8-G17) sisu vahel. Samamoodi täitke “Finants” (=G9). -G18) ja "Toorained" (=G10- G19).

Lahtris "Kasum" arvutame kasumi valemi (1) vasaku külje abil. Sel juhul kasutame funktsiooni =SUMPRODUCT (C15: F15; C11: F11).

Määrame lahtrid, mis sisaldavad kogukasumit, finants-, tööjõu- ja toorainekulusid ning tootekoguseid, vastavalt nimetusi: “Kasum”, “Finants”, “Tööjõud”, “Tooraine”, “Pr1”, “Pr2 ”, “Pr3” , “Pr4”. Excel lisab need nimed aruannetesse.

Dialoogiboksi avamine Lahenduse leidmine meeskonnad Teenus – lahenduse otsimine…

Sihtfunktsiooni eesmärk.

Asetage kursor aknasse Määra sihtlahter ja klõpsates lahtril "Kasum", sisestage selle aadress. Tutvustame sihtfunktsiooni suunda: Maksimaalne väärtus.

Sisestage aknasse vajalike muutujate aadressid, mis sisaldavad tootekoguseid 1-4 Rakkude muutmine .

Piirangute sisestamine.

Klõpsake nuppu Lisama. Ilmub dialoogiboks Piirangute lisamine. Asetage kursor aknasse Lahtri viide ja sisestage sinna lahtri "Tööjõukulud" aadress. Avage tingimuste loend ja valige<=, в поле Piirang Sisestage lahtri "Ressurss-tööjõud" aadress. Klõpsake nuppu Lisama. Uude aknasse Piirangute lisamine Samamoodi kehtestame finantspiirangu. Klõpsake nuppu Lisama, kehtestame toorainele piirangud. Kliki Okei. piirangud on kehtestatud. Aken ilmub uuesti ekraanile Lahenduse leidmine, põllul Piirangud kuvatakse kehtestatud piirangute loend.

Piirtingimuste sisestamine.

GRU sisestamine ei erine piirangute sisestamisest. Aknas Piirangute lisamine põllul Lahtri viide Sisestage hiirega lahtri "Fin2" aadress. Märgi valimine<=. В поле Piirang kirjuta üles 50. Klõpsake Lisama. Sisestage hiirega lahtri "Fin4" aadress. Märgi valimine<=. В поле Piirang kirjuta üles 50. Klõpsake Okei. lähme tagasi akna juurde Lahenduse leidmine. Põllul Piirangud nähtav on sisestatud OGR ja GRU täielik nimekiri (joonis 1).

Pilt 1.

Parameetrite sisestamine.

Klõpsake nuppu Valikud. Ilmub aken Lahenduse otsingu valikud. Põllul Lineaarne mudel märkige ruut. Ülejäänud parameetrid jätame muutmata. Kliki Okei(Joonis 2).

Joonis 2.

Lahendus.

Aknas Lahenduse leidmine klõpsake nuppu Käivitage. Ekraanile ilmub aken Lahenduse otsingu tulemused. See ütleb: "Lahendus on leitud. Kõik piirangud ja optimaalsuse tingimused on täidetud."

Aruannete koostamine ja salvestamine

Ülesande küsimustele vastamiseks vajame aruandeid. Põllul Aruande tüüp Kasutage hiirt, et valida kõik tüübid: "Results", "Stabiilsus" ja "Limits".

Pange väljale punkt Salvestage leitud lahendus ja klõpsake edasi Okei. (joonis 3). Excel genereerib nõutud aruanded ja paigutab need eraldi lehtedele. Avaneb algne arvutusleht. Veerus "Kogus" - iga tootetüübi leitud väärtused.

Joonis 3.

Koostame kokkuvõtliku aruande. Kopeerime ja asetame saadud aruanded ühele paberilehele. Redigeerime neid nii, et kõik oleks ühel lehel.

Lahendustulemused esitame graafiliselt. Koostame diagrammid “Toodangukogus” ja “Ressursi jaotus”.

Diagrammi „Tootekogus” koostamiseks avage diagrammiviisard ja esimene samm on valida tavalise histogrammi mahuline versioon. Teine samm lähteandmete aknas on andmevahemiku valimine = Lidovitsky! 14 dollarit: 15 dollarit. Kolmas samm diagrammi parameetrites on graafiku nimetuse määramine “Tootekogus”. Neljas samm on diagrammi paigutamine olemasolevale lehele. Nupu vajutamisega Valmis Lõpetame diagrammi koostamise.

"Ressursi jaotuse" diagrammi koostamiseks avage diagrammiviisard ja esimene samm on valida kolmemõõtmeline histogramm. Teine samm lähteandmete aknas on vahemiku valimine: Lidovitsky! 17 dollarit: 19 dollarit; Lidovitski! $14 C$: $14 F$. Kolmas samm diagrammi parameetrites on diagrammi nime määramine “Ressursi eraldamine”. Neljas samm on diagrammi paigutamine olemasolevale lehele. Nupu vajutamisega Valmis Lõpetame diagrammi koostamise (joonis 4).

Joonis 4.

Need diagrammid illustreerivad parimat tootevalikut suurima kasumi saamise ja sellele vastava ressursside jaotuse seisukohalt.

Paberile trükime lehe lähteandmete tabelitega, diagrammide ja arvutustulemustega ning lehe koondaruandega.

Leitud lahenduse analüüs. Vastused küsimustele

Tulemuste aruande kohaselt.

Maksimaalne kasum, mida on võimalik saada, kui kõik ülesande tingimused on täidetud, on 1292,95 rubla.

Selleks on vaja toota maksimaalne võimalik kogus tooteid nr 2 - 172,75 ja nr 4 - 29,41 ühikut, mille finantskulud ei ületa 50 rubla. iga tüübi kohta ning tooted nr 1 - 188,9 ja nr 3 - 213,72. Sel juhul kulutatakse täielikult ära ressursid tööjõukuludeks, finantseerimiseks ja tooraineks.

Jätkusuutlikkuse aruande kohaselt.

Ühe sisendandmete muutmine ei too kaasa leitud lahenduse teistsugust struktuuri, s.t. teisele maksimaalse kasumi saamiseks vajalikule tootevalikule, kui: kasum toote nr 1 ühiku müügist ei suurene rohkem kui 1,45 ja väheneb mitte rohkem kui 0,35. Seega:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

kasum toote nr 2 ühiku müügist ei suurene rohkem kui 0,56 ja väheneb mitte rohkem kui 1,61. Seega:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

kasum toote nr 3 ühiku müügist ei suurene rohkem kui 0,56 ja väheneb mitte rohkem kui 0,39. Seega:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

kasum toote nr 4 ühiku müügist võib väheneda mitte rohkem kui 2,81, s.o. 56,2% võrra ja kasvab piiramatult. Seega: kasum 4 > 2,19 = (5 - 2,81) tooraine ressurssi saab suurendada 380,54 võrra, s.o. 47,57% võrra ja vähendati 210,46, s.o. 26,31% võrra. Seega: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Vastavalt piirmäärade aruandele:

Ühte tüüpi toodangu kogus võib varieeruda 0-st kuni leitud optimaalse väärtuseni; see ei too kaasa maksimaalse kasumi saamiseks vajaliku tootevaliku muutumist. Samal ajal, kui toodate toodet nr 1, siis on kasum 971,81 rubla, toode nr 2 - 895,63 rubla, toode nr 3 - 865,51 rubla, toode nr 4 - 1145,89 rubla.

järeldused

Matemaatilise mudeli uurimine ja selle edasine analüüs võimaldab teha järgmised järeldused:

Maksimaalse võimaliku kasumi, mis on 1292,95 rubla, kui kõik määratud tingimused ja piirangud on täidetud, saate, kui toodate toodet nr 1 - 188,9 ühikut, toodet nr 2 - 172,75 ühikut, toodet nr 3 - 213,72 ühikut, tooteid Nr 4 - 29,41 ühikut.

Pärast lavastuse avaldamist kulutatakse kõik ressursid täielikult.

Leitud lahenduse struktuur sõltub kõige tugevamalt tootmisühikute nr 1 ja nr 3 müügist, samuti kõigi olemasolevate ressursside vähenemisest või suurenemisest.

Osa nr 2 "Sisend-väljundbilansi majanduslik-matemaatilise mudeli arvutamine

Teoreetilised sätted.

Bilansi meetod- rahaliste, materiaalsete ja tööjõuressursside ning nende vajaduste vastastikuse võrdlemise meetod. Majandussüsteemi tasakaalumudel on võrrandisüsteem, mis vastab ressursi kättesaadavuse ja selle kasutamise sobitamise nõuetele.

Sektoritevaheline tasakaal kajastab toote tootmist ja jaotamist tööstusharude kaupa, sektoritevahelisi tootmissuhteid, materiaalsete ja tööjõuressursside kasutamist, rahvatulu teket ja jaotamist.

Tööstusharudevahelise tasakaalu skeem.

Iga bilansis olev tööstusharu nii tarbib kui toodab. Majandusliku sisuga bilansis on 4 valdkonda (kvadranti):

tööstusharudevaheliste materjalide seoste tabel, siin X ij - tööstusharudevaheliste tootevoogude väärtused, s.o. i tööstuses toodetud ja j tööstuses materjalikuluna nõutud tootmisvahendite maksumus.

Lõpptooted on tooted, mis väljuvad tootmissfäärist tarbimise, akumulatsiooni, ekspordi jne sfääri.

Tinglikult netotoodang Zj on amortisatsiooni Cj ja netotoodangu (Uj + mj) summa.

Peegeldab rahvatulu lõplikku jaotust ja kasutamist. Brutotoodangu veergu ja rida kasutatakse bilansi kontrollimiseks ning majandusliku ja matemaatilise mudeli koostamiseks.

Mis tahes tarbiva tööstusharu materjalikulude kogusumma ja selle tingimuslik netotoodang on võrdne selle tööstusharu kogutoodanguga:

(1)

Iga tööstusharu kogutoodang võrdub selle tooteid tarbivate tööstusharude ja selle tööstusharu lõpptoodete materjalikulude summaga.

(2)

Summeerime kõik võrrandi 1 harud:

Samamoodi võrrandi 2 puhul:

Vasak pool on brutoprodukt, siis võrdsustame paremad pooled:

(3)

Probleemi sõnastamine.

Seal on neljaharuline majandussüsteem. Määrake materjali kogukulude koefitsiendid järgmiste andmete põhjal: otseste materjalikulude koefitsientide maatriks ja kogutoodangu vektor (tabel 2).

Tabel 2.

Bilansimudeli koostamine.

Sisend-väljundbilansi majanduslik-matemaatilise mudeli aluseks on otseste materjalikulude koefitsientide maatriks:

Otseste materjalikulude koefitsient näitab, kui palju on vaja tööstuse i toodet, kui võtta arvesse ainult otsesed kulud tööstuse j tooteühiku tootmiseks.

Arvestades avaldist 4, saab avaldise 2 ümber kirjutada:

(5)

Kogutoodangu vektor.

Lõppprodukti vektor.

Tähistame otseste materjalikulude koefitsientide maatriksit:

Seejärel võrrandisüsteem 5 maatriksi kujul:

(6)

Viimane avaldis on sisend-väljund tasakaalumudel ehk Leontiefi mudel. Mudelit kasutades saate:

Olles määranud kogutoodangu X väärtused, määrake lõpptoodete Y mahud:

(7)

kus E on identiteedimaatriks.

Pärast lõpptoote Y väärtuse määramist määrake kogutoote X väärtus:

(8)

tähistame B-ga väärtust (E-A) - 1, s.o.

,

siis on maatriksi B elemendid .

Iga i valdkonna jaoks:

Need on materjali kogukulude koefitsiendid, mis näitavad, kui palju tööstuse i toodet on vaja toota, et saada tööstuse j lõpptoote ühik, võttes arvesse nende toodete otseseid ja kaudseid kulusid.

Sisend-väljundbilansi majandus-matemaatilise mudeli arvutamiseks, võttes arvesse antud väärtusi:

Materjali otseste kulukoefitsientide maatriksid:

Brutotoodangu vektorid:

Võtame maatriksile A vastava identiteedimaatriksi:

Materjali kogukulude koefitsientide arvutamiseks kasutame valemit:

Kõigi tööstusharude kogutoodangu määramiseks kasutage valemit:

Sektoritevaheliste tootevoogude (maatriks x) väärtuse määramiseks määrame maatriksi x elemendid valemi abil:

,

kus i = 1…n; j = 1…n;

n on ruutmaatriksi A ridade ja veergude arv.

Tinglikult netotoodangu Z vektori määramiseks arvutatakse vektori elemendid järgmise valemi abil:

Probleemi lahendamine arvutis

Laadige programm alla Mathcad .

Loo nime all fail Lidovitskiy- Kulik . mcd. kaustas Ek/k 31 (2).

Eelseadistuste (malli) alusel loome ja vormindame pealkirja.

Sisestage sobivate kommentaaridega ( ORIGIN=1) antud otseste materjalikulude A koefitsientide maatriks ja X brutotoodangu vektor (kõik pealdised ja tähistused sisestatakse ladina kirjas, antud valemid ja kommentaarid peaksid asuma kas arvutatud väärtuste tasemel või üle selle).

Arvutame materjali kogukulude koefitsientide maatriksi B. Selleks arvutame maatriksile A vastava ühikmaatriksi. Selleks kasutame funktsiooni identiteet ( veerud ( A)).

Arvutame maatriksi B järgmise valemi abil:

Määrame kõigi tööstusharude Y kogutoodangu mahu järgmise valemi abil:

Maatriksi määratlemine X sektoritevaheliste tootevoogude väärtused. Selleks määratleme maatriksi elemendid, määrates kommentaarid:

i=1. read (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

Pärast seda leiame maatriksi X .

Arvutame tinglikult puhta produktsiooni vektori Z, määrates selle valemi:

Kuna tasakaalus Z on reavektor, leiame transponeeritud vektori Z T .

Leiame kogusummad:

9.11.1 Tinglikult puhtad tooted:

9.11.2 Lõpptooted:

9.11.3 Brutotoodang:

Lahendustulemused trükime paberile.

Tootmise ja toodete turustamise tööstusharudevaheline tasakaal

Saadud andmete põhjal koostame tootmise ja ressursside jaotamise sektoritevahelise bilansi.

järeldused

Otseste materjalikulude koefitsientide maatriksi ja kogutoodangu vektori alusel määrati materjali kogukulude koefitsiendid ning koostati tootmisharudevaheline tootmis- ja ressursside jaotuse bilanss.

Kindlaksmääratud materiaalsed seosed või sektoritevaheliste tootevoogude väärtused (maatriks X), st. tootvas tööstuses toodetud ja tarbimistööstuses materjalikuluna nõutavate tootmisvahendite maksumus.

Määrasime lõpptoote (Y), s.o. tooted, mis lahkuvad tootvast tööstusest tarbimistööstusesse.

Määrasime tinglikult netotoodangu väärtuse majandusharude kaupa (Zj; Z T).

Määrati lõplik kogutoodangu jaotus (X). Brutotoodangu veergu ja rida kasutades kontrollisime saldot (138+697+282+218) =1335.

Koostatud bilansi põhjal saab teha järgmised järeldused:

mis tahes tarbiva tööstusharu materjalikulud ja selle tinglikult netotoodang on võrdne selle majandusharu kogutoodanguga.

Iga tööstusharu kogutoodang võrdub selle tooteid tarbivate tööstusharude ja selle tööstusharu lõpptoodete materjalikulude summaga.

Kirjandus

1. " Matemaatilised mudelid majandusteaduses." Laboratoorsete ja katsetööde tegemise juhend kirjavahetusõppe majanduserialade üliõpilastele. Žukovski A.A. CHIPS UrGUPS. Tšeljabinsk. 2001.

2. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. jt Majandusprotsesside matemaatiline modelleerimine. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Majanduslikud ja matemaatilised meetodid ja rakendatavad mudelid: Õpik ülikoolidele / Toimetanud V. V. Fedosejeva. - M.: ÜHTSUS, 2001.

4. Otsige Excel 7.0 abil optimaalseid lahendusi. Kuritsky B.Ya. Peterburi: "VNV - Peterburi", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Matemaatika töötuba majandusteadlastele ja inseneridele. Moskva. Finants ja statistika. 2000.

Matemaatilised meetodid majandusteaduses on oluline analüüsivahend. Neid kasutatakse teoreetiliste mudelite koostamisel, mis võimaldavad meil kuvada olemasolevaid seoseid igapäevaelus. Samuti prognoositakse nende meetodite abil üsna täpselt majandusüksuste käitumist ja majandusnäitajate dünaamikat riigis.

Põhjalikumalt peatuksin majandusobjektide näitajate prognoosimisel, mis on otsuste tegemise teooria tööriist. Iga riigi sotsiaal-majandusliku arengu prognoosid põhinevad teatud näitajatel (inflatsiooni dünaamika, sisemajanduse koguprodukt jne). Oodatavate näitajate moodustamisel kasutatakse selliseid rakendusstatistika ja ökonomeetria meetodeid nagu regressioon- ja korrelatsioonanalüüs.

Uurimisvaldkond “Majandusteadus ja matemaatilised meetodid” on selle valdkonna teadlastele alati päris huvitav olnud. Seega tuvastas akadeemik Nemchinov planeerimisel ja prognoosimisel viis matemaatilist:

Matemaatilise modelleerimise meetod;

Vektor-maatriks meetod;

Järjestikuse lähendamise meetod;

Optimaalsete sotsiaalsete hinnangute meetod.

Teine akadeemik Kantorovich jagas matemaatilised meetodid nelja rühma:

Majandusüksuste interaktsiooni mudelid;

Makromajanduslikud mudelid, sealhulgas nõudlusmudelid ja bilansimeetod;

Optimeerimismudelid;

Lineaarne modelleerimine.

Süsteemi kasutatakse tõhusate ja õigete otsuste tegemiseks majandussfääris. Sel juhul kasutatakse peamiselt kaasaegset arvutitehnoloogiat.

Modelleerimisprotsess ise tuleks läbi viia järgmises järjekorras:

1. Probleemi avaldus. Probleem on vaja selgelt sõnastada, määrata lahendatava probleemiga seotud objektid ja selle lahendamise tulemusena realiseerunud olukord. Just selles etapis tehakse kvantitatiivne ja nendega seotud subjektid, objektid ja olukorrad.

2. Probleemi süsteemne analüüs. Kõik objektid tuleb jagada elementideks koos nendevahelise seose määratlusega. Just selles etapis on majandusteaduses kõige parem kasutada matemaatilisi meetodeid, mille abil viiakse läbi uute moodustunud elementide omaduste kvantitatiivne ja kvalitatiivne analüüs ning mille tulemusena tuletatakse teatud võrratused ja võrrandid. Teisisõnu saadakse näitajate süsteem.

3. Süsteemisüntees on ülesande matemaatiline formuleerimine, mille organiseerimise käigus moodustatakse objekti matemaatiline mudel ja määratakse ülesande lahendamise algoritmid. Selles etapis on võimalus, et eelmiste etappide aktsepteeritud mudelid võivad osutuda valedeks ja õige tulemuse saamiseks peate minema ühe või isegi kaks sammu tagasi.

Kui matemaatiline mudel on moodustatud, võite jätkata programmi väljatöötamist probleemi lahendamiseks arvutis. Kui teil on üsna keeruline objekt, mis koosneb suurest hulgast elementidest, peate sellega töötamiseks looma andmebaasi ja saadaolevad tööriistad.

Kui ülesanne on standardvormis, siis kasutatakse majandusteaduses sobivaid matemaatilisi meetodeid ja valmis tarkvaratoodet.

Viimane etapp on moodustatud mudeli otsene kasutamine ja õigete tulemuste saamine.

Majanduse matemaatilisi meetodeid tuleb kasutada kindlas järjestuses ning kaasaegseid info- ja arvutustehnoloogiaid kasutades. Ainult selles järjekorras saab võimalikuks välistada isiklikust huvist ja emotsioonidest lähtuvad subjektiivsed tahteotsused.

MATEMAATILISED MEETODID JA MUDELID MAJANDUSALAS

SISSEJUHATUS

Matemaatika hämmastavalt kõrget efektiivsust loodus- ja tehnikateadustes kinnitab pidevalt kogu praktiline inimtegevus. 20. sajandi ja 21. sajandi alguse kõige ambitsioonikamaid tehnilisi projekte poleks saanud ellu viia kaasaegsel kujul ja kvaliteetselt minimaalse arvu katastroofiliste vigadega ilma võimsaid matemaatilisi vahendeid kasutamata. Majandusteadustes ja majandusteaduses üldiselt on olukord keerulisem. Kuid isegi kõige üldisem vaade probleemile viib arusaamiseni, et tees matemaatika võimalikust kõrgest efektiivsusest majandusteaduses on täiesti loomulik ja loogiline, kuna kogu matemaatika algselt ja paljud selle lõigud tagajärgedes võlgnevad oma tekke ja arengu just nimelt praktiline, majanduslik, majanduslik ühiskonnaelu.

Samas ei tähenda üldsätete kehtivus veel nende tingimusteta prioriteetsust igal konkreetsel juhul ja igal meetodil mis tahes teadmiste valdkonnas on oma rakendusala, mõnikord väga piiratud. Seetõttu ei tohiks liialdada, veel vähem absolutiseerida matemaatiliste meetodite ja matemaatika rolli üldiselt, mis põhjustab õpilaste negatiivset suhtumist ainesse: on olemas suur hulk majandusstruktuure, mida juhitakse intuitiivsel tasandil ilma igasuguse matemaatiliste mudelite ja meetodite kasutamine ning annavad täiesti vastuvõetavaid tulemusi. Sellised struktuurid hõlmavad üksikuid väikeettevõtteid. Matemaatika kasutamine seda tüüpi organisatsioonides taandub elementaarseteks aritmeetilisteks arvutusteks raamatupidamisülesannete raames, mis loob ja tugevdab illusiooni võimalusest hallata edukalt mis tahes majandussüsteeme ilma tõsist matemaatikat kasutamata.

See seisukoht on aga liiga lihtsustatud.

Matemaatiline mudel objekt on selle homomorfne esitus võrrandite, võrratuste, loogiliste seoste, graafikute komplektina, konventsionaalse objekti kujutise kujul, mis on loodud selle uurimise lihtsustamiseks, selle kohta uute teadmiste saamiseks, konkreetsetes või võimalikes olukordades tehtud otsuste analüüsimiseks ja hindamiseks. .

Majanduslik ja matemaatiline modelleerimine, olles üks tõhusaid meetodeid keerukate sotsiaalmajanduslike objektide ja protsesside kirjeldamiseks matemaatiliste mudelite kujul, muutub seeläbi majanduse enda osaks, õigemini majanduse, matemaatika ja küberneetika sulamiks.

Kaasas majanduslikud ja matemaatilised meetodid Eristada ja jaotada saab järgmisi teadusharusid:

Majanduslik kübernet KA (majandusteaduse süsteemanalüüs, majandusinformatsiooni teooria ja kontrollisüsteemide teooria);

Matemaatika statistika (dispersioonanalüüs, korrelatsioonianalüüs, regressioonanalüüs, mitmemõõtmeline statistiline analüüs, faktoranalüüs, klasteranalüüs, sagedusanalüüs, indeksiteooria jne);

Matemaatiline ökonoomika ja ökonomeetria (majanduskasvu teooria, tootmisfunktsioonide teooria, majandusharudevahelised tasakaalud, rahvamajanduse arvepidamised, nõudluse ja tarbimise analüüs, regionaalne ja ruumiline analüüs, globaalne modelleerimine jne);

Optimaalsete otsuste tegemise meetodid (matemaatiline programmeerimine, planeerimise ja juhtimise võrgu- ja programmi-sihtmeetodid, järjekorrateooria, varude juhtimise teooria ja meetodid, mänguteooria, otsuste tegemise teooria ja meetodid, sõiduplaanide teooria jne);

Spetsiifilised meetodid ja distsipliinid (vaba konkurentsi mudelid, monopoli mudelid, indikatiivsed planeerimismudelid, ettevõtte teooria mudelid jne);

Eksperimentaalsed meetodid majanduse õppimiseks (majanduskatsete analüüsi ja planeerimise matemaatilised meetodid, simulatsioonimodelleerimine, ärimängud, eksperthinnangute meetodid jne).

Majanduslikud ja matemaatilised mudelid võib klassifitseerida järgmiste põhitunnuste järgi

Üldotstarbeliseks - teoreetilised-analüütilised ja rakenduslikud mudelid ;

Objektide liitmise astme järgi - mikro- ja makromajanduslikud mudelid ;

Konkreetsel eesmärgil - eelarve (ressursside kättesaadavuse ja nende kasutamise järjepidevuse nõue), trendikad (simuleeritud süsteemi arendamine selle põhiparameetrite pikaajalise suundumuse kaudu), optimeerimine, simulatsioon (uuritavate süsteemide või protsesside masinsimuleerimise protsessis) mudelid ;

Vastavalt mudelis kasutatud teabe tüübile - analüütiline ja tuvastatav (põhineb tagantjärele eksperimentaalsel teabel) mudelid ;

Võttes arvesse määramatuse tegurit - deterministlikud ja stohhastilised mudelid ;

Vastavalt matemaatiliste objektide või aparatuuri omadustele - maatriksmudelid, lineaarsed ja mittelineaarsed programmeerimismudelid, korrelatsiooni-regressioonimudelid, järjekorrateooria mudelid, võrgu planeerimise ja juhtimise mudelid, mänguteooria mudelid jne.;

Uuritavate süsteemide lähenemisviisi tüübi järgi - kirjeldavad (kirjeldavad) mudelid (näiteks tasakaal ja trend) ja normatiivsed mudelid (näiteks optimeerimismudelid ja elatustaseme mudelid).

Samuti saame kasutatavate tööriistade põhjal eristada tasakaal, staatiline, dünaamiline, pidev ja muud mudelid.

A priori teabel põhinevad teoreetilised mudelid kajastavad majanduse ja selle komponentide üldisi omadusi, tehes järeldusi formaalsetest eeldustest.

Rakendatud mudelid annavad võimaluse hinnata konkreetsete tehniliste ja majanduslike objektide funktsioneerimisparameetreid ning põhjendada järeldusi juhtimisotsuste tegemiseks.

Makromajanduslikud mudelid kirjeldavad tavaliselt riigi majandust ühtse tervikuna, seovad kokku materiaalsed ja finantsnäitajad: SKT, tarbimine, investeeringud, tööhõive, eelarve, inflatsioon, hinnakujundus jne.

Mikroökonoomilised mudelid kirjeldavad majanduse struktuursete ja funktsionaalsete komponentide koostoimet või nende autonoomset käitumist üleminekuperioodi ebastabiilses või stabiilses turukeskkonnas, oligopolis olevate ettevõtete käitumise strateegiaid optimeerimismeetodite ja mänguteooria abil jne.

Optimeerimismudeleid seostatakse peamiselt mikrotasandiga, makrotasandil on ratsionaalse käitumisvaliku tulemuseks teatud tasakaaluseisund.

Deterministlikud mudelid eeldavad rangeid funktsionaalseid seoseid mudelimuutujate vahel, stohhastilised mudelid aga võimaldavad juhuslikke mõjusid uuritavatele näitajatele ning kasutavad nende kirjeldamiseks tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika vahendeid.

Turumajandusele omased tasakaalumudelid, mis kirjeldavad äriüksuste käitumist nii stabiilses püsiseisundis kui ka mitteturumajanduses, kus mõne parameetri tasakaalustamatust kompenseerivad teised tegurid.

Staatilised mudelid kirjeldavad majandusobjekti seisundit konkreetsel hetkemomendil või ajaperioodil; Dünaamilised mudelid seevastu hõlmavad muutujate omavahelisi seoseid ajas, kirjeldades majanduses toimuvate protsesside jõude ja vastasmõjusid.

Kompleksne kombineeritud majandus-matemaatiline mudel hõlmab näiteks majandusharudevahelise tasakaalu majanduslik-matemaatiline mudel, mis on rakenduslik, makromajanduslik, analüütiline, kirjeldav, deterministlik, bilansiline, maatriksmudel ning eristatakse nii staatilisi kui ka dünaamilisi tööstusharudevahelise tasakaalu mudeleid.

I PEATÜKK. LINEAARNE PROGRAMMEERIMINE

§ 1. Põhimõisted ja määratlused

Matemaatiline programmeerimine on matemaatiline distsipliin, mis käsitleb teooriat ja meetodeid mitmemõõtmeliste äärmuslike probleemide lahendamiseks lineaarsete ja mittelineaarsete piirangutega (võrdsused ja ebavõrdsused) määratletud hulgadel.

Üldiselt on matemaatilise programmeerimise probleem sõnastatud järgmiselt: leida funktsiooni väikseim (või suurim) väärtus piirangute all

kus ja – määratud funktsioonid ja – mõned konstantsed arvud.

Olenevalt funktsiooni omadustest ja matemaatiline programmeerimine on jagatud mitmeks iseseisvaks distsipliiniks. Esiteks on see lineaarne programmeerimine. Ülesannete juurde lineaarne programmeerimine(LP) viitavad matemaatilistele programmeerimisprobleemidele, milles funktsioonid ja

Lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamiseks on universaalsed meetodid, mida saab kasutada mis tahes lineaarse programmeerimise probleemi lahendamiseks.

Vaatleme põhilist lineaarse programmeerimise probleemi.

(1.2)

Süsteemi (1.2) mittenegatiivsete lahenduste hulgast tuleb leida lahendus, milles funktsioon (1.1) võtab minimaalse väärtuse.

kanooniline või lineaarse programmeerimise põhiprobleem(ZLP).

Süsteemi (1.2) lahenduse mittenegatiivsuse tingimused, kui neid ei ole ülesande sõnastuses täpsustatud, kirjutatakse kujul

Funktsioon (1.1) kutsutakse välja sihtfunktsioon(CF) ja tingimused (1.2) – võrdõiguslikkuse piirangud.

Kutsutakse süsteemi (1.2) mis tahes mittenegatiivset lahendust vastuvõetav lahendus või plaanülesandeid.

Nimetatakse süsteemi (1.2) lubatavate lahenduste hulk teostatavate lahenduste valdkond(ODR).

Nimetatakse süsteemi (1.2) lubatav lahendus, mis minimeerib funktsiooni (1.1). optimaalne lahendus või optimaalne plaan ZLP.

Nimetatakse optimaalsele lahendile vastava sihtfunktsiooni (1.1) väärtus optimaalne.

Kui lineaarse programmeerimise ülesandes on vaja leida funktsiooni maksimum, siis selle funktsiooni maksimeerimise saab asendada vastupidise funktsiooni minimeerimisega.

Vaatleme veel üht lineaarse programmeerimise probleemi.

Olgu lineaarfunktsioon antud

ja tundmatu lineaarvõrrandisüsteem

(1.5)

kus , ja on antud konstantsed numbrid.

Süsteemi (1.5) mittenegatiivsete lahenduste hulgast on vaja leida lahendus, mis minimeerib funktsiooni (1.4).

Sõnastatud probleemi nimetatakse standard või sümmeetrilise lineaarse programmeerimise probleem.

Kutsutakse tingimusi (1.5). piirangud-ebavõrdsused.

Standardse lineaarse programmeerimise probleemi viimine kanoonilisele kujule ei ole keeruline, asendades süsteemis (1.5) olevad ebavõrdsused võrratustega, lisades uusi mittenegatiivseid tundmatuid.

§ 2. Lihtsamad lineaarse programmeerimise ülesanded

Ressursside parima kasutamise probleem.

Kolme tüüpi toodete puhul kasutatakse kolme tüüpi toorainet. Ettevõte võib tarbida 32 tonni toorainet, mitte vähem kui 40 tonni toorainet ja mitte rohkem kui 50 tonni toorainet. Tooraine kulumäärad üht või teist tüüpi tooteühiku kohta, samuti tööjõu- ja energiakulud tooteühiku tootmiseks on toodud tabelis.

	Reservid (t)	Tarbimismäär toodanguühiku kohta (t)
Kulud (RUB)

Määrake selliste toodete kogused, mida tuleks toota minimaalse energia- ja tööjõukuluga.

Ülesande matemaatilise mudeli koostamiseks tähistame tüüpide toodete koguseid ja vastavalt ka neid, mida peaks tootma. Seejärel saab vormile kirjutada ülesande eesmärgifunktsiooni ja piirangud

Nagu näeme, taandub ülesande matemaatiline mudel teatud lineaarse funktsiooni minimeerimisele piirangute all. Kirjutatud võrdsuse ja ebavõrdsuse vormis.

Tootmisettevõtte kasumi maksimeerimise probleem.

Kolme tüüpi toodete valmistamisel kasutatakse kolme tüüpi toorainet. Iga tooraineliigi varud on vastavalt 32 tonni, 40 tonni ja 50 tonni. Tooteühiku valmistamiseks vajalike toormaterjalide ühikute arv, samuti iga tooteliigi ühiku müügist saadud kasum on toodud tabelis.

	Reservid (t)	Toodete tüübid
Kasum (RUB)

Selleks on vaja koostada tootmisplaan, milles kõigi toodete müügist saadav kasum oleks maksimaalne.

Tähistagem tüüpide ühikute arvuga tooteid, mida on vaja toota.

Selle ülesande matemaatilisel mudelil on vorm

Seega on vaja leida mittenegatiivsete arvude kogum, mis rahuldab saadud ebavõrdsuse piirangute süsteemi ja annab sihtfunktsiooni maksimaalse väärtuse.

Dieedi probleem.

Tervise ja töövõime säilitamiseks peab inimene päeva jooksul sööma teatud koguses valke, rasvu, süsivesikuid, vitamiine, mikroelemente jne.

Olgu siis kolme tüüpi tooteid ja oluliste toitainete loetelu ja. Tooteühikus sisalduvate toitainete kogus, samuti tooteühikute maksumus on toodud tabelis.

Toitev ained	Päevaraha Vaja 1 inimene	Toodete tüübid
1 tooteühiku maksumus (rub.)

Toit on vajalik korraldada nii, et nõutavad toitainete vajadused oleksid täidetud ja kasutatavate toodete maksumus oleks minimaalne.

Tähistame , ja tüüpi toodete ühikute arvuga.

Selle ülesande matemaatilisel mudelil on vorm