6.1. Üldine informatsioon

Paralleeljõudude keskus
Vaatleme kahte paralleelset, ühesuunalist jõudu, mis rakendatakse kehale punktides A 1 ja A 2 (joonis 6.1). Sellel jõudude süsteemil on resultant, mille toimeliin läbib teatud punkti KOOS... Punkti asend KOOS võib leida Varignoni teoreemi abil:

Kui pöörata jõud ümber punktide A 1 ja A 2 ühes suunas ja sama nurga all, siis saame uue paralleelsalsi süsteemi samade moodulitega. Pealegi läbib nende resultant ka punkti KOOS... Seda punkti nimetatakse paralleeljõudude keskpunktiks.
Vaatleme paralleelsete ja võrdselt suunatud jõudude süsteemi, mis rakendatakse punktides jäigale kehale. Sellel süsteemil on tulemus.
Kui süsteemi iga jõudu pöörata ümber nende rakenduspunktide samas suunas ja sama nurga all, siis saadakse uued võrdselt suunatud paralleeljõudude süsteemid samade moodulite ja rakenduspunktidega. Selliste süsteemide resultant sisaldab sama moodulit R aga iga kord erinev suund. Jõudude kokku panemine F 1 ja F 2 leiame, et nende resultant R 1, mis läbib alati punkti KOOS 1, mille positsiooni määrab võrdsus. Lisades veel R 1 ja F 3, leiame nende resultandi, mis läbib alati punkti KOOS 2 lamades sirgjoonel A 3 KOOS 2. Olles viinud jõudude liitmise protsessi lõpuni, jõuame järeldusele, et kõigi jõudude resultant läbib tõepoolest alati sama punkti KOOS, mille asukoht punktide suhtes jääb muutumatuks.
Punkt KOOS, mida läbib resultantsete paralleeljõudude süsteemi toimejoon nende jõudude mis tahes pöörete korral nende samasuunaliste rakenduspunktide ümber sama nurga all, nimetatakse paralleeljõudude keskpunktiks (joonis 6.2).

Joonis 6.2

Määrake paralleeljõudude keskpunkti koordinaadid. Alates punkti asukohast KOOS keha suhtes on muutumatu, siis selle koordinaadid ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust. Pöörame kõik jõud nende rakendamise ümber nii, et need muutuksid teljega paralleelseks OU ja rakendada Varignoni teoreemi pööratud jõududele. Sest R" on nende jõudude resultant, siis Varignoni teoreemi kohaselt on meil aastast ,, saame

Siit leiame paralleeljõudude keskpunkti koordinaadi zc:

Koordinaatide määramiseks xc Koostame telje ümber mõjuvate jõudude momendi avaldise Oz.

Koordinaatide määramiseks yc pöörake kõiki jõude nii, et need oleksid teljega paralleelsed Oz.

Paralleeljõudude keskpunkti asukohta alguspunkti suhtes (joonis 6.2) saab määrata selle raadiusvektoriga:

6.2. Jäiga keha raskuskese

Raskuskese jäikaks kehaks nimetatakse punkti, mis on selle kehaga alati seotud KOOS, mida läbib antud keha gravitatsioonijõudude resultandi toimejoon, keha mis tahes asendi korral ruumis.
Raskuskeset kasutatakse kehade ja pideva keskkonna tasakaaluasendi stabiilsuse uurimisel gravitatsiooni mõjul ja mõnel muul juhul, nimelt materjalide tugevuses ja konstruktsioonimehaanikas - Vereshchagini reegli kasutamisel.
Keha raskuskeskme määramiseks on kaks võimalust: analüütiline ja eksperimentaalne. Raskuskeskme määramise analüütiline meetod tuleneb otseselt paralleeljõudude keskpunkti mõistest.
Raskuskeskme kui paralleelsete jõudude keskpunkti koordinaadid määratakse valemitega:

kus R- kogu kehamass; pk- kehaosakeste kaal; xk, yk, zk- kehaosakeste koordinaadid.
Homogeense keha puhul on kogu keha ja selle mis tahes osa kaal võrdeline ruumalaga P = Vγ, pk = vk γ, kus γ - mahuühiku kaal, V- keha maht. Väljendite asendamine P, pk raskuskeskme koordinaatide määramise valemitesse ja ühisteguriga tühistades γ , saame:

Punkt KOOS, mille koordinaadid on määratud saadud valemitega, kutsutakse helitugevuse raskuskese.
Kui keha on õhuke homogeenne plaat, määratakse raskuskese järgmiste valemitega:

kus S- kogu plaadi pindala; sk- selle osa pindala; xk, yk- plaadiosade raskuskeskme koordinaadid.
Punkt KOOS sel juhul nimetatakse piirkonna raskuskese.
Tasapinnaliste kujundite raskuskeskme koordinaate määravate avaldiste lugejaid kutsutakse koos väljaku taatilised hetked telgede suhtes juures ja X:

Seejärel saab ala raskuskeskme määrata valemitega:

Kehade puhul, mille pikkus on mitu korda suurem kui ristlõike mõõtmed, määratakse joone raskuskese. Joone raskuskeskme koordinaadid määratakse valemitega:

kus L- joone pikkus; lk- selle osade pikkus; xk, yk, zk- jooneosade raskuskeskme koordinaat.

6.3. Kehade raskuskeskmete koordinaatide määramise meetodid

Saadud valemite põhjal on võimalik välja pakkuda praktilisi meetodeid kehade raskuskeskmete määramiseks.
1. Sümmeetria... Kui kehal on sümmeetriakese, siis raskuskese asub sümmeetriakeskmes.
Kui kehal on sümmeetriatasand. Näiteks XOU tasapind, siis raskuskese asub sellel tasapinnal.
2. Poolitamine... Lihtsa kujuga kehadest koosnevate kehade puhul kasutatakse poolitamise meetodit. Keha on jagatud osadeks, mille raskuskese leitakse sümmeetriameetodil. Kogu keha raskuskese määratakse ruumala (pindala) raskuskeskme valemitega.

Näide... Määrake plaadi raskuskese, mis on näidatud alloleval joonisel (joonis 6.3). Plaati saab mitmel viisil jagada ristkülikuteks ning määrata iga ristküliku raskuskeskme koordinaadid ja nende pindala.

Joonis 6.3

Vastus: xc= 17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Lisand... See meetod on jagamismeetodi erijuhtum. Seda kasutatakse siis, kui kehal on lõiked, lõiked jne, kui on teada ilma lõiketa keha raskuskeskme koordinaadid.

Näide... Määrake väljalõike raadiusega ringikujulise plaadi raskuskese r = 0,6 R(joon. 6.4).

Joonis 6.4

Ümarplaadil on sümmeetriakese. Asetage päritolu plaadi keskele. Plaadi pindala ilma lõiketa, lõikepindala. Sälkplaadi pindala; ...
Sälkplaadil on sümmeetriatelg О1 x, seega, yc=0.

4. Integratsioon... Kui keha ei saa jagada lõplikuks arvuks osadeks, mille raskuskeskmete asukohad on teada, jagatakse keha suvalisteks väikesteks ruumaladeks, mille jaotusmeetodit kasutav valem on järgmine: .
Seejärel lähevad nad üle piirini, suunates elementaarmahud nulli, s.t. tõmmates mahud punktideks. Summad asendatakse kogu keha ruumalale laiendatud integraalidega, seejärel võetakse ruumala raskuskeskme koordinaatide määramise valemid kujul:

Valemid ala raskuskeskme koordinaatide määramiseks:

Plaatide tasakaalu uurimisel, ehitusmehaanikas Mohri integraali arvutamisel tuleb määrata ala raskuskeskme koordinaadid.

Näide... Määrake raadiusega ringikujulise kaare raskuskese R kesknurgaga AOB= 2α (joonis 6.5).

Riis. 6.5

Ringkaar on telje suhtes sümmeetriline Oh, seega asub kaare raskuskese teljel Oh, ys = 0.
Joone raskuskeskme valemi järgi:

6.Eksperimentaalne meetod... Keerulise konfiguratsiooniga heterogeensete kehade raskuskeskmeid saab määrata eksperimentaalselt: riputamise ja kaalumise meetodil. Esimene võimalus on see, et keha riputatakse erinevates kohtades köie küljes. Trossi suund, millel keha on riputatud, annab raskusjõu suuna. Nende suundade lõikepunkt määrab keha raskuskeskme.
Kaalumismeetod seisneb selles, et kõigepealt määratakse keha, näiteks auto, kaal. Seejärel määrab tasakaal sõiduki tagatelje surve toele. Olles koostanud tasakaaluvõrrandi mis tahes punkti, näiteks esirataste telje suhtes, saate arvutada kauguse sellest teljest auto raskuskeskmeni (joonis 6.6).

Joonis 6.6

Mõnikord on ülesannete lahendamisel vaja korraga rakendada erinevaid meetodeid raskuskeskme koordinaatide määramiseks.

6.4. Mõnede kõige lihtsamate geomeetriliste kujundite raskuskeskmed

Sageli esineva kujuga kehade (kolmnurk, ringkaar, sektor, segment) raskuskeskmete määramiseks on mugav kasutada võrdlusandmeid (tabel 6.1).

Tabel 6.1

Mõne homogeense keha raskuskeskme koordinaadid

№	Figuuri nimi	Joonistamine
	Ringi kaar: ühtlase ringjoone kaare raskuskese asub sümmeetriateljel (koordinaat uc=0). R on ringi raadius.
	Homogeenne ringsektor uc=0). kus α on pool kesknurgast; R on ringi raadius.
	Segment: raskuskese asub sümmeetriateljel (koordinaat uc=0). kus α on pool kesknurgast; R on ringi raadius.
	Poolring:
	Kolmnurk: homogeense kolmnurga raskuskese on selle mediaanide ristumiskohas. kus x1, y1, x2, y2, x3, y3- kolmnurga tippude koordinaadid
	Koonus: homogeense ringikujulise koonuse raskuskese asub selle kõrgusel ja on koonuse põhjast 1/4 kõrgusest kaugusel.

Oskus püsida tasakaalus ilma pingutamata on väga oluline tõhusa meditatsiooni, jooga, qigongi ja ka kõhutantsu jaoks. See on nende tegevuste uustulnukate esimene nõue ja üks põhjusi, miks ilma juhendajata on raske esimesi samme teha. Küsimus, mis viitab sellele, et inimene ei tea oma raskuskeset, võib tunduda mõnevõrra erinev. Näiteks qigongis küsib inimene, kuidas olla lõdvestunud ja samal ajal sooritada liigutusi seistes, algaja idamaine tantsija ei mõista, kuidas eraldada ja koordineerida torso ala- ja ülaosa liigutusi ning ka mõlemal juhul. inimesed venivad üle ja kaotavad sageli stabiilsuse. Nende liigutused on ebakindlad, kohmakad.

Seetõttu on oluline mõista, kuidas oma raskuskese ise üles leida, selleks on vaja nii vaimset tööd kui ka osavust, kuid aja jooksul liigub oskus instinktiivsele tasemele.

Mida peate tegema, et mitte lihaseid pingutada ja samal ajal mitte kasutada väliseid tugesid. Vastus on ilmne, peate nihutama tuge sissepoole. Täpsemalt, tuginege tavapärasele siseteljele. Kus see telg jookseb? Raskuskeskme mõiste on tinglik, kuid sellest hoolimata kasutatakse seda füüsikas. Seal on tavaks määratleda see resultantsete gravitatsioonijõudude rakenduspunktina. Resultantne gravitatsioonijõud on kõigi gravitatsioonijõudude summa, võttes arvesse nende toime suunda.

Raske veel? Palun ole kannatlik.

See tähendab, et me otsime oma kehas punkti, mis võimaldab meil mitte kukkuda, ilma teadlikult maise külgetõmbe vastu võitlemata. See tähendab, et maa raskusjõud tuleb suunata nii, et see koonduks ülejäänud mõjuvate jõududega kuhugi meie keha keskmesse.

See jõudude suund loob tingimusliku telje meie keha keskmes, vertikaalne pind on raskuskeskme vertikaal. See kehaosa, mille me vastu maad toetame, on meie tugiala (toetume jalgadega vastu maad) Kohas, kus see vertikaal toetub vastu pinda, millel me seisame, st me toetume vastu maad, see on raskuskeskme punkt tugiala sees. Kui vertikaal sellest kohast nihkuda, kaotame tasakaalu ja kukume. Mida suurem on tugipind ise, seda lihtsam on meil püsida selle keskpunkti lähedal ja seetõttu astume kõik ebastabiilsel pinnal seistes instinktiivselt laia sammu. See tähendab, et tugiala pole mitte ainult jalad ise, vaid ka nendevaheline ruum.

Samuti on oluline teada, et tugiala laius mõjutab rohkem kui pikkus. Inimese puhul tähendab see seda, et meil on rohkem võimalusi kukkuda külili kui selili ja veelgi enam ettepoole. Seetõttu on meil joostes raskem tasakaalu hoida, sama võib öelda kontsade kohta. Kuid laiades, stabiilsetes kingades on seevastu lihtsam vastu seista, isegi lihtsam kui täiesti paljajalu. Alguses mainitud tegevused hõlmavad aga väga pehmeid, kergeid jalanõusid või üldse mitte. Seetõttu ei saa me end kingadega aidata.

Seetõttu on väga oluline leida oma jalal vertikaalse joone keskpunkt. Tavaliselt ei asu see jalalaba keskel, nagu mõned automaatselt eeldavad, vaid kannale lähemal, kuskil poolel teel jalalaba keskpunktist kannani.
Kuid see pole veel kõik.

Lisaks raskuskeskme vertikaaljoonele on olemas ka horisontaalne, samuti eraldi jäsemete jaoks.
Naiste ja meeste horisontaaljoon jookseb veidi erinevalt.

Ees, naistel, jookseb see madalamal ja meestel kõrgemal. Meestel jääb see kuskil 4-5 sõrme nabast allapoole ja naistel umbes 10. Tagapool jookseb naisliin peaaegu prügimäelt ja isasliin on sellest umbes viis sõrme kõrgemal. Samuti on mediteerimise ajal stabiilsuse tagamiseks oluline pöörata tähelepanu põlve raskuskeskme loodijoonele. See asub veidi luu kohal (säär), kuid kaks või kolm sõrme kõhrest allpool.

Meditatsiooni ajal, nagu ka kõhutantsu ajal, ei ole väga hea jalgu laiali ajada, maksimaalne laius vastab tavaliselt õlgade laiusele.

Seetõttu peate end pisut aitama põlvedega, püüdes vertikaaltelge võimalikult sirgeks ehitada. Seisa peegli ees, otsi üles kõik sinu peal kirjeldatud punktid. Asetage jalad õlgade laiusele. Lõdvestage oma jalgade ja keha lihaseid. Seejärel sirutage selg ilma keha pingutamata, lõdvestage jalgu, painutades kergelt põlvi. Kujutage ette kolme vertikaalset joont, igaüks vastavas punktis torso tagaosas, torso esiosas ja põlvede ümber. Proovige asetada punktid nii, et torso esitelg oleks umbes poolel teel tagatelje ja põlvetelje vahel. Sel juhul ei tohiks põlved olla painutatud nii, et need läheksid üle varvaste, need peaksid olema ainult kergelt painutatud ja hästi lõdvestunud. Eelistatavalt raskuskeskmest kõrgemal tugiala sees, mille leidsime jalal. Sel juhul saab käed vabalt asetada mööda jumalaid või panna peopesad puusadele.

Kuidas saate teada, et olete oma raskuskeskme leidnud?

Tunned kerget õõtsumist, kuid samas tead kindlasti, et sa ei kuku.

Teema on suhteliselt kergesti omandatav, kuid materjalide tugevuse kursuse õppimisel äärmiselt oluline. Põhitähelepanu tuleks siin pöörata nii lamedate kui geomeetriliste kujundite ning standardsete valtsprofiilide probleemide lahendamisele.

Küsimused enesekontrolliks

1. Mis on paralleeljõudude keskpunkt?

Paralleeljõudude keskpunkt on punkt, mille kaudu antud punktides rakendatud paralleeljõudude resultantsüsteemi joon läbib nende jõudude mis tahes suunamuutust ruumis.

2. Kuidas leida paralleeljõudude keskpunkti koordinaate?

Paralleeljõudude keskpunkti koordinaatide määramiseks kasutame Varignoni teoreemi.

Telje kohta x

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk ja y C = Σy kFk / Σ Fk .

Telje kohta y

M y (R) = ΣM y (F k), - x C R = Σx kFk ja x C = Σx kFk / Σ Fk .

Koordinaadi määramiseks z C , pöörake kõiki jõude 90°, et need muutuksid teljega paralleelseks y (Joonis 1.5, b). Siis

M z (R) = ΣM z (F k), - z C R = Σz kFk ja z C = Σz kFk / Σ Fk .

Seetõttu võtab paralleeljõudude keskpunkti raadiusvektori määramise valem kuju

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. Mis on keha raskuskese?

Raskuskese - punkt, mis on alati seotud jäiga kehaga, mille kaudu selle keha osakestele mõjuvate gravitatsioonijõudude resultant läbib keha mis tahes asendis ruumis. Sümmeetriakeskmega homogeense keha (ring, pall, kuup jne) korral asub raskuskese keha sümmeetriakeskmes. Jäiga keha raskuskeskme asukoht langeb kokku selle massikeskme asukohaga.

4. Kuidas leida ristküliku, kolmnurga, ringi raskuskese?

Kolmnurga raskuskeskme leidmiseks tuleb joonistada kolmnurk – kujund, mis koosneb kolmest kolmes punktis üksteisega ühendatud joonelõigust. Enne kujundi raskuskeskme leidmist peate joonlaua abil mõõtma kolmnurga ühe külje pikkust. Asetage külje keskele märk, seejärel ühendage vastastipp ja lõigu keskosa joonega, mida nimetatakse mediaaniks. Korrake sama algoritmi kolmnurga teise küljega ja seejärel kolmandaga. Teie töö tulemuseks on kolm mediaani, mis lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kui on vaja määrata homogeense struktuuriga ringikujulise ketta raskuskese, siis tuleb kõigepealt leida ringi läbimõõtude lõikepunkt. Temast saab selle keha raskuskese. Arvestades selliseid kujundeid nagu pall, rõngas ja ühtlane ristkülikukujuline rööptahukas, võime kindlalt väita, et rõnga raskuskese asub kujundi keskel, kuid väljaspool selle punkte on kuuli raskuskese. sfääri geomeetriline keskpunkt ja viimasel juhul raskuskese ristkülikukujulise rööptahuka ristumisdiagonaalid.

5. Kuidas leida tasapinnalise liitlõike raskuskeskme koordinaate?

Jagamise meetod: kui lameda kujundi saab jagada lõplikuks arvuks sellisteks osadeks, millest igaühe raskuskeskme asukoht on teada, siis määratakse kogu kujundi raskuskeskme koordinaadid valemitega:

X C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

kus x k, y k - joonise osade raskuskeskmete koordinaadid;

s k - nende alad;

S = s k - kogu joonise pindala.

6. Raskuskese

1. Millisel juhul piisab raskuskeskme määramiseks arvutamise teel ühe koordinaadi määramisest?

Esimesel juhul piisab raskuskeskme määramiseks ühe koordinaadi määramisest.Keha jagatakse lõplikuks arvuks osadeks, millest igaühe jaoks määratakse raskuskeskme asukoht. C ja piirkond S on teada. Näiteks keha projektsioon tasapinnale xOy (Joonis 1.) võib kujutada kahe tasapinnalise alaga figuurina S 1 ja S 2 (S = S 1 + S 2 ). Nende kujundite raskuskeskmed asuvad punktides C 1 (x 1, y 1) ja C 2 (x 2, y 2) ... Siis on keha raskuskeskme koordinaadid

Kuna kujundite keskpunktid asuvad ordinaatteljel (x = 0), leiame ainult koordinaadi Vuntsid.

2 Kuidas võetakse joonisel 4 oleva augu pindala arvesse joonise raskuskeskme määramise valemis?

Negatiivse massi meetod

See meetod seisneb selles, et vabade õõnsustega keha loetakse tahkeks ja vabade õõnsuste massi negatiivseks. Keha raskuskeskme koordinaatide määramise valemite vorm sel juhul ei muutu.

Seega tuleks vabade õõnsustega keha raskuskeskme määramisel kasutada jaotamise meetodit, kuid õõnsuste massi tuleks lugeda negatiivseks.

on idee paralleeljõudude keskpunkti ja selle omaduste kohta;

tea tasapinnaliste kujundite raskuskeskme koordinaatide määramise valemid;

suutma määrata lihtsate geomeetriliste kujundite ja standardsete valtsprofiilide tasapinnaliste kujundite raskuskeskme koordinaadid.

KINEMAATIKA JA DÜNAAMIKA ELEMENDID
Olles uurinud punkti kinemaatikat, pöörake tähelepanu asjaolule, et punkti sirgjoonelist liikumist, nii ebaühtlast kui ühtlast, iseloomustab alati normaalse (tsentripetaalse) kiirenduse olemasolu. Keha translatsioonilise liikumise korral (mida iseloomustab selle mis tahes punkti liikumine) on rakendatavad kõik punkti kinemaatika valemid. Ümber fikseeritud telje pöörleva keha nurkväärtuste määramise valemitel on täielik semantiline analoogia translatsiooniliselt liikuva keha vastavate lineaarväärtuste määramise valemitega.

Teema 1.7. Punktide kinemaatika
Teemat uurides pöörake tähelepanu kinemaatika põhimõistetele: kiirendus, kiirus, teekond, kaugus.

Küsimused enesekontrolliks

1. Mis on puhkuse ja liikumise mõistete suhtelisus?

Mehaaniline liikumine on keha või selle osade liikumise muutumine ruumis teiste kehade suhtes aja jooksul. Visatud kivi lend, ratta pöörlemine on näited mehaanilisest liikumisest.

2. Määratlege kinemaatika põhimõisteid: trajektoor, kaugus, teekond, kiirus, kiirendus, aeg.

Kiirus on punkti liikumise kinemaatiline mõõt, mis iseloomustab kiirust, millega selle asukoht ruumis muutub. Kiirus on vektorsuurus, see tähendab, et seda ei iseloomusta mitte ainult moodul (skalaarkomponent), vaid ka suund ruumis.

Nagu füüsikast teada, saab ühtlase liikumise korral kiirust määrata ajaühikus läbitud tee pikkuse järgi: v = s / t = const (eeldatakse, et tee alguspunkt ja aeg langevad kokku). Sirgjoonelisel liikumisel on kiirus nii absoluutväärtuses kui ka suunas konstantne ning selle vektor langeb kokku trajektooriga.

Süsteemi kiiruse mõõtühik SI määratakse pikkuse / aja suhtega, st m / s.

Kiirendus on ajapunkti kiiruse muutumise kinemaatiline mõõt. Teisisõnu, kiirendus on kiiruse muutumise kiirus.
Nagu kiirus, on ka kiirendus vektorsuurus, see tähendab, et seda ei iseloomusta mitte ainult moodul, vaid ka suund ruumis.

Sirgjoonelisel liikumisel langeb kiirusvektor alati kokku trajektooriga ja seetõttu ühtib ka kiiruse muutumise vektor trajektooriga.

Füüsika kursusest on teada, et kiirendus on kiiruse muutumine ajaühikus. Kui lühikese aja jooksul Δt muutus punkti kiirus Δv võrra, siis keskmine kiirendus sellel ajavahemikul oli: a cf = Δv / Δt.

Keskmine kiirendus ei näita kiiruse muutuse tegelikku suurust igal ajahetkel. Sel juhul on ilmne, et mida lühem on vaadeldav ajavahemik, mille jooksul kiiruse muutus toimus, seda lähemal on kiirenduse väärtus tõelisele (hetkelisele) väärtusele.
Siit tuleneb definitsioon: tõeline (hetk)kiirendus on piir, milleni keskmine kiirendus kipub, kui Δt kipub olema null:

a = lim a cp kui t → 0 või lim Δv / Δt = dv / dt.

Arvestades, et v = ds / dt, saame: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

Tõeline kiirendus sirgjoonelisel liikumisel on võrdne kiiruse esimese tuletise või koordinaadi teise tuletisega (kaugus nihke alguspunktist) aja suhtes. Kiirenduse ühik on meeter jagatud teise ruuduga (m / s 2).

Trajektoor- joon ruumis, mida mööda materiaalne punkt liigub.
Tee on trajektoori pikkus. Läbitud tee l võrdub keha mingi aja t jooksul läbitud trajektoori kaarepikkusega. Tee on skalaar.

Kaugus määrab punkti asukoha oma trajektooril ja seda mõõdetakse teatud lähtepunktist. Kaugus on algebraline suurus, kuna olenevalt punkti asukohast lähtepunkti suhtes ja kaugustelje aktsepteeritud suunast võib see olla nii positiivne kui ka negatiivne. Erinevalt kaugusest on punkti läbitud teekond alati positiivne arv. Tee kattub kauguse absoluutväärtusega ainult siis, kui punkti liikumine algab lähtepunktist ja järgib rada ühes suunas.

Üldjuhul punkti liikumisel on tee võrdne punktis teatud aja jooksul läbitud vahemaade absoluutväärtuste summaga:

3. Kuidas saab punkti liikumisseadust täpsustada?

1. Loomulik viis punkti liikumise defineerimiseks.

Liikumise määramise loomuliku meetodiga eeldatakse punkti liikumise parameetrite määramist liikuvas tugisüsteemis, mille alguspunkt ühtib liikuva punktiga, ning trajektoori puutuja, normaal- ja binormaalne. punkt igas asendis toimib telgedena. Punkti liikumise seaduse loomulikuks määramiseks peate:

1) tunneb liikumistrajektoori;

2) seada selle kõvera alguspunkt;

3) kehtestada positiivne liikumissuund;

4) anda punkti piki seda kõverat liikumise seadus, s.o. väljendada kaugust lähtepunktist kõvera punkti asukohani antud ajahetkel ∪OM = S (t) .

2. Punkti liikumise määramise vektorviis

Sel juhul määratakse punkti asukoht tasapinnal või ruumis vektorfunktsiooniga. See vektor joonistatakse lähtepunktiks valitud fikseeritud punktist, selle ots määrab liikuva punkti asukoha.

3.Koordineeritud viis punkti liikumise täpsustamiseks

Valitud koordinaatsüsteemis seatakse liikuva punkti koordinaadid aja funktsioonina. Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis on järgmised võrrandid:

4. Kuidas suunatakse punkti tegeliku kiiruse vektorit kõverjoonelise liikumise ajal?

Punkti ebaühtlase liikumise korral muutub selle kiiruse moodul ajas.
Kujutage ette punkti, mille liikumine on loomulikul viisil antud võrrandiga s = f (t).

Kui lühikese ajaintervalli Δt jooksul on punkt läbinud tee Δs, on selle keskmine kiirus võrdne:

vav = Δs / Δt.

Keskmine kiirus ei anna aimu tegelikust kiirusest igal ajahetkel (tegelikku kiirust nimetatakse muidu hetkeliseks). Ilmselgelt, mida lühem on ajavahemik, mille jooksul keskmine kiirus määratakse, seda lähemal on selle väärtus hetkekiirusele.

Tegelik (hetk)kiirus on piir, milleni keskmine kiirus kaldub, kuna Δt kipub olema null:

v = lim v cf kui t → 0 või v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

Seega on tegeliku kiiruse arvväärtus v = ds / dt.
Punkti mis tahes liikumise tegelik (hetkeline) kiirus on võrdne koordinaadi esimese tuletise (st kaugusega liikumise alguspunktist) aja suhtes.

Kui Δt kaldub nulli, kipub Δs ka nulli ja nagu me juba teada saime, on kiirusvektor tangentsiaalne (st see langeb kokku tõelise kiirusvektoriga v). Siit järeldub, et tingimusliku kiirusvektori v p piir, mis on võrdne punktinihke vektori ja lõpmata väikese ajaintervalli suhte piiriga, on võrdne punkti tõelise kiirusvektoriga.

5. Kuidas on suunatud punkti tangentsiaalne ja normaalkiirendus?

Kiirendusvektori suund langeb kokku kiiruse muutumise suunaga Δ = - 0

Tangentsiaalne kiirendus antud punktis on suunatud tangentsiaalselt punkti trajektoorile; kui liikumine on kiirendatud, siis tangentsiaalse kiirenduse vektori suund langeb kokku kiirusvektori suunaga; kui liikumine on aeglane, siis on tangentsiaalse kiirenduse vektori suund vastupidine kiirusvektori suunale.

6. Millise liikumise teeb punkt, kui tangentsiaalne kiirendus on null ja normaalkiirendus ajas ei muutu?

Ühtlane kõverjooneline liikumine mida iseloomustab asjaolu, et kiiruse arvväärtus on konstantne ( v= konst), muutub kiirus ainult suunas. Sel juhul on tangentsiaalne kiirendus null, kuna v= konst(joonis b),

ja tavaline kiirendus ei ole null, kuna r on lõplik väärtus.

7. Kuidas näevad välja kinemaatilised graafikud ühtlase ja võrdselt muutuva liikumisega?

Ühtlase liikumise korral läbib keha võrdsete ajavahemike jooksul võrdseid teid. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kinemaatiliseks kirjeldamiseks koordinaatide telg HÄRG mugavalt paigutatud piki liikumisjoont. Keha asend ühtlase liikumise ajal määratakse ühe koordinaadi määramisega x... Nihkevektor ja kiirusvektor on alati suunatud paralleelselt koordinaatteljega HÄRG... Seetõttu saab nihke ja kiiruse sirgjoonelisel liikumisel projitseerida teljele HÄRG ja käsitleda nende projektsioone kui algebralisi suurusi.

Ühtlase liikumise korral muutub tee vastavalt lineaarsele suhtele. Koordinaatides. Graafik on kaldus joon.

Teema õppimise tulemusena peab üliõpilane:

on idee ruumi, aja, trajektoori kohta; keskmine ja tegelik kiirus;

tea punkti liikumise täpsustamise viisid; punkti liikumise parameetrid mööda etteantud trajektoori.

Eespool saadud üldvalemite põhjal on võimalik näidata konkreetseid meetodeid kehade raskuskeskmete koordinaatide määramiseks.

1. Sümmeetria. Kui homogeensel kehal on tasapind, telg või sümmeetriakese (joonis 7), siis asub selle raskuskese vastavalt sümmeetriatasandil, sümmeetriateljel või sümmeetriakeskmes.

Joonis 7

2. Poolitamine. Keha on jagatud lõplikuks arvuks osadeks (joonis 8), millest igaühe jaoks on teada raskuskeskme asukoht ja pindala.

Joonis 8

3.Negatiivse ala meetod. Jaotamismeetodi erijuhtum (joonis 9). See kehtib väljalõigetega kehade kohta, kui on teada ilma väljalõiketa keha raskuskeskmed ja väljalõike osa. Väljalõikega plaadi kujul olev korpus on kombinatsioon kindlast plaadist (ilma väljalõiketa), mille pindala on S 1 ja lõigatud osa S 2.

Joonis 9

4.Rühmitamise meetod. See on hea täiendus kahele viimasele meetodile. Pärast joonise jagamist selle koostisosadeks võib olla mugav mõnda neist uuesti kombineerida, et lihtsustada lahendust, võttes arvesse selle rühma sümmeetriat.

Mõnede homogeensete kehade raskuskeskmed.

1) Ringjoone kaare raskuskese. Mõelge kaarele AB raadius R kesknurgaga. Sümmeetria tõttu asub selle kaare raskuskese teljel Ox(joon. 10).

Joonis 10

Leiame valemi abil koordinaadid. Selleks valige kaarel AB element MM' pikkus, mille asukoha määrab nurk. Koordineerida X element MM' tahe . Nende väärtuste asendamine X ja d l ja pidades silmas, et integraali tuleb laiendada kogu kaare pikkusele, saame:

kus L- kaare pikkus AB võrdne.

Seega leiame lõpuks, et ringi kaare raskuskese asub selle sümmeetriateljel keskpunktist kaugel. O võrdne

kus nurka mõõdetakse radiaanides.

2) Kolmnurga pindala raskuskese. Vaatleme tasapinnas asuvat kolmnurka Oxy, mille tippude koordinaadid on teada: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Kolmnurga purustamine kitsasteks ribadeks paralleelselt küljega A 1 A 2, jõuame järeldusele, et kolmnurga raskuskese peaks kuuluma mediaani A 3 M 3 (joon. 11).

Joonis 11

Kolmnurga purustamine küljega paralleelseteks ribadeks A 2 A 3, võite veenduda, et see peaks asuma mediaanil A 1 Müks . Sellel viisil, kolmnurga raskuskese asub selle mediaanide ristumiskohas, mis teatavasti eraldab igast mediaanist kolmandiku, lugedes vastavast küljest.

Eelkõige mediaani jaoks A 1 M 1 saame, võttes arvesse, et punkti koordinaadid M 1 on tippude koordinaatide aritmeetiline keskmine A 2 ja A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Seega on kolmnurga raskuskeskme koordinaadid selle tippude koordinaatide aritmeetiline keskmine:

x c = (1/3) Σ x i ; y c = (1/3) Σ y i.

3) Ringikujulise sektori ala raskuskese. Vaatleme raadiusega ringi sektorit R kesknurgaga 2α, mis paikneb sümmeetriliselt telje suhtes Ox(joon. 12).

See on ilmne y c = 0 ja kauguse ringi keskpunktist, millest see sektor on lõigatud, saab määrata järgmise valemiga:

Joonis 12

Lihtsaim viis selle integraali arvutamiseks on jagada integratsioonipiirkond nurgaga elementaarseteks sektoriteks dφ. Kuni lõpmatult väikese esimese järguni saab sellise sektori asendada kolmnurgaga, mille alus on võrdne R× dφ ja kõrgus R... Sellise kolmnurga pindala dF=(1/2)R 2 ∙dφ ja selle raskuskese on 2/3 kaugusel R tipust; seetõttu paneme punkti (5) sisse x = (2/3)R∙ cosφ. Asendamine (5) F= α R 2, saame:

Viimase valemi abil arvutame välja eelkõige kauguse raskuskeskmest poolring.

Asendades α = π / 2 väärtusega (2), saame: x c = (4R) / (3π) ≅ 0,4 R .

Näide 1. Määrame homogeense keha raskuskese, mis on näidatud joonisel fig. kolmteist.

Joonis 13

Keha on homogeenne, koosneb kahest sümmeetrilise kujuga osast. Nende raskuskeskmete koordinaadid:

Nende mahud:

Seetõttu keha raskuskeskme koordinaadid

Näide 2. Leidke täisnurga all painutatud plaadi raskuskese. Mõõdud - joonisel (joon. 14).

Joonis 14

Raskuskeskme koordinaadid:

Ruudud:

Riis. 6.5.

Näide 3. Ruudulehest cm lõigatakse välja nelinurkne auk (joon. 15). Leidke lehe raskuskese.

Joonis 15

Selle ülesande puhul on mugavam jagada keha kaheks osaks: suur ruut ja ruudukujuline auk. Negatiivseks tuleks lugeda ainult augu pindala. Seejärel lehe raskuskeskme koordinaadid auguga:

koordineerida kuna kehal on sümmeetriatelg (diagonaal).

Näide 4. Traatklamber (joonis 16) koosneb kolmest võrdse pikkusega osast l.

Joonis 16

Sektsioonide raskuskeskmete koordinaadid:

Seetõttu on kogu klambri raskuskeskme koordinaadid:

Näide 5. Määrata sõrestiku raskuskeskme asukoht, mille kõik vardad on ühesuguse joontihedusega (joon. 17).

Tuletame meelde, et füüsikas on keha tihedus ρ ja selle erikaal g seotud seosega: γ = ρ g, kus g- gravitatsiooni kiirendus. Sellise homogeense keha massi leidmiseks peate tiheduse korrutama selle mahuga.

Joonis 17

Mõiste "lineaarne" või "lineaarne" tihedus tähendab, et sõrestikuvarda massi määramiseks tuleb joontihedus korrutada selle varda pikkusega.

Probleemi lahendamiseks võite kasutada jagamismeetodit. Esitades antud sõrestiku 6 üksiku varda summana, saame:

kus L i pikkus i-th puntras varras ja x i, y i- selle raskuskeskme koordinaadid.

Seda probleemi saab lihtsustada, rühmitades 5 viimast sõrestiku liiget. On hästi näha, et need moodustavad neljanda varda keskel asuva sümmeetriakeskmega figuuri, kus asub selle varraste rühma raskuskese.

Seega saab antud sõrestikku kujutada ainult kahe varraste rühma kombinatsioonina.

Esimene rühm koosneb selle jaoks esimesest varvast L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Teine varraste rühm koosneb selle jaoks viiest vardast L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Farmi raskuskeskme koordinaadid leitakse valemiga:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 m.

Pange tähele, et keskel KOOS asub ühendaval sirgel KOOS 1 ja KOOS 2 ja jagab segmendi KOOS 1 KOOS 2 seoses: KOOS 1 KOOS/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Enesekontrolli küsimused

Mida nimetatakse paralleeljõudude keskpunktiks?

Kuidas määratakse paralleeljõudude keskpunkti koordinaadid?

Kuidas määrata paralleeljõudude keskpunkti, mille resultant on null?

Milline omadus on paralleeljõudude keskpunktil?

Milliseid valemeid kasutatakse paralleeljõudude keskpunkti koordinaatide arvutamiseks?

Mida nimetatakse keha raskuskeskmeks?

Miks võib keha punktile mõjuvaid Maa gravitatsioonijõude võtta paralleeljõudude süsteemina?

Kirjutage üles ebahomogeensete ja homogeensete kehade raskuskeskme asukoha määramise valem, lamedate lõigete raskuskeskme asukoha määramise valem?

Kirjutage üles valem lihtsate geomeetriliste kujundite raskuskeskme asukoha määramiseks: ristkülik, kolmnurk, trapets ja poolring?

Mida nimetatakse ruudu staatiliseks momendiks?

Too näide kehast, mille raskuskese asub väljaspool keha.

Kuidas kasutatakse sümmeetria omadusi kehade raskuskeskmete määramisel?

Mis on negatiivsete kaalude meetodi olemus?

Kus on ringkaare raskuskese?

Kuidas leida graafiliselt kolmnurga raskuskese?

Kirjutage üles ringikujulise sektori raskuskeskme valem.

Kasutades kolmnurga ja ringikujulise sektori raskuskeskmete valemeid, tuletage sarnane valem ringikujulise lõigu jaoks.

Milliste valemitega arvutatakse homogeensete kehade, tasapinnaliste kujundite ja sirgete raskuskeskmete koordinaadid?

Mida nimetatakse lameda kujundi pindala staatiliseks momendiks telje suhtes, kuidas seda arvutatakse ja milline on selle mõõde?

Kuidas määrata ala raskuskeskme asukohta, kui on teada selle üksikute osade raskuskeskmete asukoht?

Milliseid abiteoreeme kasutatakse raskuskeskme asukoha määramiseks?

7. klassi õpik

§ 25.3. Kuidas leida keha raskuskese?

Tuletame meelde, et raskuskese on raskusjõu rakenduspunkt. Mõelgem, kuidas eksperimentaalselt leida tasapinnalise keha raskuskeskme asukoht - ütleme, et kartongist välja lõigatud suvaline kujund (vt laboritöö nr 12).

Riputame papist figuuri tihvti või naelaga, et see saaks vabalt pöörlema ​​ümber punkti O läbiva horisontaaltelje (joonis 25.4, a). Siis võib seda figuuri pidada toetuspunktiga O kangiks.

Riis. 25.4. Kuidas eksperimentaalselt leida tasase figuuri raskuskese

Kui kujund on tasakaalus, tasakaalustavad talle mõjuvad jõud üksteist. See on raskusjõud F t, mida rakendatakse joonise T raskuskeskmele, ja elastsusjõud F juht, mida rakendatakse punktis O (see jõud rakendub tihvti või naela küljelt).

Need kaks jõudu tasakaalustavad üksteist ainult tingimusel, et nende jõudude rakenduspunktid (punktid T ja O) asuvad samal vertikaalil (vt joonis 25.4, a). Vastasel juhul pöörab raskusjõud kujundit ümber punkti O (joonis 25.4, b).

Seega, kui kujund on tasakaalus, asetseb raskuskese riputuspunktiga O samal vertikaalsel joonel. See võimaldab meil määrata kujundi raskuskeskme asukoha. Tõmbame rippumispunkti läbiva loodijoone abil vertikaalse joone (sinine joon joonisel 25.4, c). Keha raskuskese asub tõmmatud joonel. Kordame seda katset vedrustuspunkti erineva asukohaga. Selle tulemusena saame teise joone, millel asub keha raskuskese (roheline joon joonisel 25.4, d). Järelikult on nende joonte ristumiskohas keha soovitud raskuskese (punane punkt D joonisel 25.4, d).