6.1. Informazione Generale

Centro di forze parallele
Considera due forze parallele unidirezionali e applicate al corpo nei punti UN 1 e UN 2 (Figura 6.1). Questo sistema di forze ha una risultante, la cui linea d'azione passa per un certo punto CON... Posizione del punto CON può essere trovato usando il teorema di Varignon:

Se giri le forze attorno ai punti UN 1 e UN 2 in una direzione e con lo stesso angolo, quindi otteniamo un nuovo sistema di sals parallelo con gli stessi moduli. Inoltre, anche la loro risultante passerà attraverso il punto CON... Questo punto è chiamato centro delle forze parallele.
Si consideri un sistema di forze parallele ed egualmente dirette applicate a un corpo rigido in punti. Questo sistema ha una risultante.
Se ciascuna forza del sistema viene ruotata attorno ai punti della loro applicazione nella stessa direzione e dello stesso angolo, si otterranno nuovi sistemi di forze parallele egualmente dirette con gli stessi moduli e punti di applicazione. Il risultante di tali sistemi avrà lo stesso modulo R ma ogni volta una direzione diversa. Mettere insieme le forze F 1 e F 2 troviamo che la loro risultante R 1 che passerà sempre per il punto CON 1, la cui posizione è determinata dall'uguaglianza. Aggiungendo ulteriormente R 1 e F 3, troviamo la loro risultante, che passerà sempre per il punto CON 2 sdraiato su una linea retta UN 3 CON 2. Avendo portato a termine il processo di addizione delle forze, giungiamo alla conclusione che la risultante di tutte le forze passerà effettivamente sempre per lo stesso punto CON, la cui posizione rispetto ai punti rimarrà invariata.
Punto CON, attraverso la quale la linea d'azione del sistema risultante di forze parallele passa a qualsiasi rotazione di queste forze attorno ai punti della loro applicazione nella stessa direzione allo stesso angolo è chiamata centro delle forze parallele (Fig. 6.2).

Figura 6.2

Determina le coordinate del centro delle forze parallele. Dalla posizione del punto CON rispetto al corpo è invariato, quindi le sue coordinate non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate. Giriamo tutte le forze attorno alla loro applicazione in modo che diventino parallele all'asse UO e applica il teorema di Varignon alle forze ruotate. Perché R "è la risultante di queste forze, quindi, secondo il teorema di Varignon, abbiamo da ,, noi abbiamo

Da qui troviamo la coordinata del centro delle forze parallele zc:

Per determinare le coordinate xc Componiamo l'espressione del momento delle forze attorno all'asse Oz.

Per determinare le coordinate yc ruotare tutte le forze in modo che diventino parallele all'asse Oz.

La posizione del centro delle forze parallele rispetto all'origine (Fig. 6.2) può essere determinata dal suo vettore raggio:

6.2. Baricentro di un corpo rigido

Centro di gravità un corpo rigido è chiamato punto invariabilmente associato a questo corpo CON, attraverso la quale passa la linea d'azione della risultante delle forze gravitazionali di un dato corpo, per qualsiasi posizione del corpo nello spazio.
Il centro di gravità viene utilizzato nello studio della stabilità delle posizioni di equilibrio dei corpi e dei mezzi continui sotto l'azione della gravità e in alcuni altri casi, vale a dire, nella forza dei materiali e nella meccanica strutturale, quando si utilizza la regola di Vereshchagin.
Esistono due modi per determinare il baricentro di un corpo: analitico e sperimentale. Il metodo analitico per la determinazione del baricentro deriva direttamente dal concetto di centro di forze parallele.
Le coordinate del baricentro, come centro delle forze parallele, sono determinate dalle formule:

dove R- tutto il peso corporeo; pk- peso delle particelle corporee; xk, yk, zk- coordinate delle particelle corporee.
Per un corpo omogeneo, il peso dell'intero corpo e di qualsiasi sua parte è proporzionale al volume P = Vγ, pk = vk γ, dove γ - peso di un'unità di volume, V- volume corporeo. Espressioni sostitutive P, pk nelle formule per determinare le coordinate del baricentro e, annullando per fattore comune γ , noi abbiamo:

Punto CON, le cui coordinate sono determinate dalle formule ottenute il baricentro del volume.
Se il corpo è una sottile piastra omogenea, il baricentro è determinato dalle formule:

dove S- l'area dell'intero piatto; sk- l'area da parte sua; xk, yk- coordinate del baricentro delle parti in lamiera.
Punto CON in questo caso viene chiamato baricentro della zona.
Si chiamano con i numeratori delle espressioni che determinano le coordinate del baricentro delle figure piane momenti tatici della piazza rispetto agli assi in e X:

Quindi il baricentro dell'area può essere determinato dalle formule:

Per i corpi la cui lunghezza è molte volte le dimensioni della sezione trasversale, viene determinato il baricentro della linea. Le coordinate del baricentro della linea sono determinate dalle formule:

dove l- lunghezza della linea; lc- la lunghezza delle sue parti; xk, yk, zk- coordinata del baricentro delle parti di linea.

6.3. Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi

Sulla base delle formule ottenute, è possibile proporre metodi pratici per la determinazione dei baricentro dei corpi.
1. Simmetria... Se il corpo ha un centro di simmetria, allora il centro di gravità è al centro di simmetria.
Se il corpo ha un piano di simmetria. Ad esempio, il piano XOU, quindi il centro di gravità si trova in questo piano.
2. Scissione... Per i corpi costituiti da corpi di forma semplice, viene utilizzato il metodo di scissione. Il corpo è diviso in parti, il cui centro di gravità si trova con il metodo della simmetria. Il baricentro dell'intero corpo è determinato dalle formule per il baricentro del volume (area).

Esempio... Determinare il baricentro della piastra mostrato nella figura seguente (Figura 6.3). La piastra può essere divisa in rettangoli in vari modi e si possono determinare le coordinate del baricentro di ciascun rettangolo e la loro area.

Figura 6.3

Risposta: XC= 17,0 cm; yC= 18,0 cm.

3. Aggiunta... Questo metodo è un caso speciale del metodo di divisione. Viene utilizzato quando il corpo ha tagli, tagli, ecc., se sono note le coordinate del baricentro del corpo senza taglio.

Esempio... Determinare il baricentro di una piastra circolare con un raggio di ritaglio R = 0,6 R(fig. 6.4).

Fig 6.4

La piastra rotonda ha un centro di simmetria. Posiziona l'origine al centro del piatto. L'area del piatto senza taglio, l'area del taglio. Area della piastra dentellata; ...
La piastra dentellata ha un asse di simmetria О1 x, quindi, yc=0.

4. Integrazione... Se il corpo non può essere diviso in un numero finito di parti, di cui sono note le posizioni dei baricentro, il corpo viene diviso in piccoli volumi arbitrari, per i quali la formula che utilizza il metodo di partizione assume la forma: .
Quindi passano al limite, dirigendo a zero i volumi elementari, cioè tirando i volumi in punti. Le somme vengono sostituite da integrali estesi all'intero volume del corpo, quindi le formule per determinare le coordinate del baricentro del volume assumono la forma:

Formule per determinare le coordinate del baricentro di un'area:

Le coordinate del baricentro dell'area devono essere determinate studiando l'equilibrio delle piastre, quando si calcola l'integrale di Mohr in meccanica strutturale.

Esempio... Determina il baricentro di un arco di cerchio di raggio R con angolo centrale AOB= 2α (Fig. 6.5).

Riso. 6.5

L'arco di cerchio è simmetrico all'asse Oh, quindi, il baricentro dell'arco giace sull'asse Oh, ys = 0.
Secondo la formula per il baricentro della linea:

6.Metodo sperimentale... I centri di gravità di corpi eterogenei di configurazione complessa possono essere determinati sperimentalmente: con il metodo della sospensione e della pesatura. Il primo modo è che il corpo sia sospeso su una corda in vari punti. La direzione della fune su cui è sospeso il corpo darà la direzione della forza di gravità. Il punto di intersezione di queste direzioni definisce il baricentro del corpo.
Il metodo di pesatura consiste nel determinare prima il peso di un corpo, come un'auto. Quindi il bilanciamento determina la pressione dell'asse posteriore dell'auto sul supporto. Dopo aver compilato l'equazione di equilibrio rispetto a qualsiasi punto, ad esempio l'asse delle ruote anteriori, è possibile calcolare la distanza da questo asse al baricentro dell'auto (Fig. 6.6).

Figura 6.6

A volte, quando si risolvono i problemi, è necessario applicare contemporaneamente metodi diversi per determinare le coordinate del baricentro.

6.4. I centri di gravità di alcune delle forme geometriche più semplici

Per determinare i centri di gravità di corpi di forma frequente (triangolo, arco circolare, settore, segmento), è conveniente utilizzare i dati di riferimento (Tabella 6.1).

Tabella 6.1

Coordinate del baricentro di alcuni corpi omogenei

№	Nome della figura	Disegno
	Arco di cerchio: il baricentro di un arco di circonferenza uniforme è sull'asse di simmetria (coordinata uc=0). Rè il raggio del cerchio.
	Settore circolare omogeneo uc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Segmento: il baricentro si trova sull'asse di simmetria (coordinata uc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Semicerchio:
	Triangolo: il baricentro di un triangolo omogeneo è all'intersezione delle sue mediane. dove x1, y1, x2, y2, x3, y3- coordinate dei vertici del triangolo
	Cono: il baricentro di un cono circolare omogeneo giace alla sua altezza ed è ad una distanza di 1/4 dell'altezza dalla base del cono.

La capacità di rimanere in equilibrio senza fare alcuno sforzo è molto importante per la meditazione efficace, lo yoga, il qigong e anche per la danza del ventre. Questo è il primo requisito che devono affrontare i neofiti di queste attività e uno dei motivi per cui è difficile muovere i primi passi senza un istruttore. Una domanda che suggerisce che una persona non conosce il proprio centro di gravità può sembrare in qualche modo diversa. Nel qigong, ad esempio, una persona chiederà come essere rilassati e allo stesso tempo eseguire movimenti in piedi, un ballerino orientale principiante non capirà come separare e coordinare i movimenti della parte inferiore e superiore del busto, e anche in entrambi i casi le persone si estenderanno eccessivamente e spesso perderanno stabilità. I loro movimenti saranno incerti, goffi.

Pertanto, è importante capire come trovare da soli il proprio centro di gravità, ciò richiede sia lavoro mentale che destrezza, ma nel tempo l'abilità si sposta a un livello istintivo.

Cosa devi fare per non affaticare i muscoli e allo stesso tempo non utilizzare supporti esterni. La risposta è ovvia, è necessario spostare il supporto verso l'interno. Più precisamente, affidati a un asse interno convenzionale. Dove corre questo asse? Il concetto di centro di gravità è condizionale, ma è comunque usato in fisica. Lì è consuetudine definirlo come il punto di applicazione delle forze di gravità risultanti. La forza di gravità risultante è l'aggregato di tutte le forze di gravità, tenendo conto della direzione della loro azione.

Difficile ancora? Per favore sii paziente.

Cioè, stiamo cercando un punto del nostro corpo che ci permetta di non cadere, senza lottare consapevolmente con l'attrazione terrena. Ciò significa che la forza di gravità della terra deve essere diretta in modo che converga con il resto delle forze agenti da qualche parte nel centro del nostro corpo.

Questa direzione delle forze crea un asse condizionale proprio nel centro del nostro corpo, la superficie verticale è la verticale del baricentro. Quella parte del corpo che appoggiamo al suolo è la nostra area di appoggio (ci appoggiamo al suolo con i piedi) Nel punto in cui questa verticale poggia contro la superficie su cui stiamo, cioè ci appoggiamo al suolo, questo è il punto del baricentro all'interno dell'area di supporto. Se la verticale viene spostata da questo punto, perderemo l'equilibrio e cadremo. Più ampia è l'area di appoggio stessa, più facile è per noi stare vicino al suo centro, e quindi istintivamente faremo tutti un ampio passo stando in piedi su una superficie instabile. Cioè, l'area di supporto non è solo i piedi stessi, ma anche lo spazio tra di loro.

È anche importante sapere che la larghezza dell'area di supporto influisce più della lunghezza. Nel caso di una persona, questo significa che abbiamo più possibilità di cadere dalla nostra parte che dalla schiena, e ancor di più in avanti. Pertanto, durante la corsa, è più difficile per noi mantenere l'equilibrio, lo stesso si può dire dei talloni. Ma con scarpe larghe e stabili, al contrario, è più facile resistere, anche più facile che a piedi completamente nudi. Tuttavia, le attività menzionate all'inizio prevedono scarpe molto morbide e leggere o nessuna scarpa. Pertanto, non saremo in grado di aiutarci con le scarpe.

Pertanto, è molto importante trovare il punto centrale della linea verticale sul tuo piede. Di solito non si trova al centro del piede, come alcuni presumono automaticamente, ma più vicino al tallone, da qualche parte a metà strada dal centro del piede al tallone.
Ma non è tutto.

Oltre alla linea verticale del baricentro, ce n'è anche una orizzontale, oltre a una separata per gli arti.
La linea orizzontale per donne e uomini è leggermente diversa.

Davanti, nelle donne, corre più in basso e negli uomini più in alto. Negli uomini, va da qualche parte 4-5 dita sotto l'ombelico e nelle donne, circa 10. Dietro, la linea femminile corre quasi nella discarica e la linea maschile è circa cinque dita più alta di essa. È anche importante prestare attenzione al filo a piombo del baricentro del ginocchio per la stabilità durante la meditazione. Si trova leggermente sopra l'osso (parte inferiore della gamba), ma due o tre dita sotto la cartilagine.

Durante la meditazione, come durante la danza del ventre, non è molto bene allargare i piedi, la larghezza massima corrisponde solitamente alla larghezza delle spalle.

Pertanto, è necessario aiutare un po' te stesso con le ginocchia cercando di costruire l'asse verticale il più dritto possibile. Mettiti di fronte allo specchio, trova tutti i punti descritti su di te. Metti i piedi alla larghezza delle spalle. Rilassa i muscoli delle gambe e del corpo. Quindi, raddrizza la schiena senza sforzare il corpo, rilassa le gambe piegando leggermente le ginocchia. Immagina tre linee verticali, ciascuna in un punto corrispondente nella parte posteriore del busto, nella parte anteriore del busto e attorno alle ginocchia. Cerca di posizionare i punti in modo che l'asse anteriore del busto sia circa a metà strada tra l'asse posteriore e l'asse del ginocchio. In questo caso, le ginocchia non dovrebbero essere piegate in modo da superare le dita dei piedi, dovrebbero essere solo leggermente piegate e ben rilassate. Preferibilmente sopra il baricentro all'interno dell'area di appoggio che abbiamo trovato sul piede. In questo caso, le mani possono essere posizionate liberamente lungo gli dei o mettere i palmi delle mani sui fianchi.

Come saprai di aver trovato il tuo baricentro?

Sentirai un leggero ondeggiare, ma allo stesso tempo saprai sicuramente che non cadrai.

L'argomento è relativamente facile da imparare, ma estremamente importante quando si studia il corso sulla forza dei materiali. L'attenzione principale qui dovrebbe essere rivolta alla risoluzione di problemi sia con forme piatte che geometriche e con profili laminati standard.

Domande per l'autocontrollo

1. Qual è il centro delle forze parallele?

Il centro delle forze parallele è un punto attraverso il quale la linea del sistema risultante di forze parallele applicate in determinati punti passa attraverso qualsiasi cambiamento nella direzione di queste forze nello spazio.

2. Come trovare le coordinate del centro delle forze parallele?

Per determinare le coordinate del centro delle forze parallele utilizziamo il teorema di Varignon.

A proposito di asse X

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk e y C = Σy kFk / Σ Fk .

A proposito di asse y

M y (R) = Σ M y (F k), - x C R = Σx kFk e x C = Σx kFk / Σ Fk .

Per determinare la coordinata z C , ruotare tutte le forze di 90° in modo che diventino parallele all'asse y (Figura 1.5, b). Poi

M z (R) = ΣM z (F k), - z C R = Σz kFk e z C = Σz kFk / Σ Fk .

Pertanto, assume la forma la formula per determinare il vettore raggio del centro delle forze parallele

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. Qual è il baricentro del corpo?

Centro di gravità - un punto invariabilmente associato ad un corpo rigido attraverso il quale passa la risultante delle forze di gravità agenti sulle particelle di tale corpo in qualsiasi posizione del corpo nello spazio. Per un corpo omogeneo con un centro di simmetria (cerchio, palla, cubo, ecc.), il baricentro è al centro di simmetria del corpo. La posizione del baricentro di un corpo rigido coincide con la posizione del suo baricentro.

4. Come trovare il baricentro di un rettangolo, triangolo, cerchio?

Per trovare il centro di gravità di un triangolo, devi disegnare un triangolo: una figura composta da tre segmenti di linea collegati tra loro in tre punti. Prima di trovare il baricentro della forma, devi usare un righello per misurare la lunghezza di un lato del triangolo. Metti un segno al centro del lato, quindi collega il vertice opposto e il centro del segmento con una linea chiamata mediana. Ripeti lo stesso algoritmo con il secondo lato del triangolo e poi con il terzo. Il risultato del tuo lavoro saranno tre mediane, che si intersecano in un punto, che sarà il baricentro del triangolo. Se è necessario determinare il baricentro di un disco circolare di una struttura omogenea, trova prima il punto di intersezione dei diametri del cerchio. Sarà il centro di gravità di questo corpo. Considerando figure come una palla, un cerchio e un parallelepipedo rettangolare uniforme, possiamo dire con sicurezza che il baricentro del cerchio sarà al centro della figura, ma al di fuori dei suoi punti, il baricentro della palla è il centro geometrico della sfera e, in quest'ultimo caso, il baricentro è l'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo rettangolare.

5. Come trovare le coordinate del baricentro di una sezione composita planare?

Metodo di divisione: se una figura piatta può essere divisa in un numero finito di tali parti, per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro, le coordinate del baricentro dell'intera figura sono determinate dalle formule:

X C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

dove x k, y k - coordinate dei centri di gravità di parti della figura;

s k - le loro aree;

S = s k - area dell'intera figura.

6. Centro di gravità

1. In quale caso è sufficiente determinare una coordinata mediante calcolo per determinare il baricentro?

Nel primo caso, per determinare il baricentro, basta determinare una coordinata.Il corpo è diviso in un numero finito di parti, per ognuna delle quali la posizione del baricentro C e zona S sono conosciuti. Ad esempio, la proiezione del corpo sull'aereo xOy (Figura 1.) può essere rappresentato come due figure piatte con aree S 1 e S 2 (S = S 1 + S 2 ). I centri di gravità di queste figure sono in punti C 1 (x 1, y 1) e C 2 (x 2, y 2) ... Quindi sono le coordinate del baricentro del corpo

Poiché i centri delle figure giacciono sull'asse delle ordinate (x = 0), troviamo solo la coordinata Baffi.

2 Come viene presa in considerazione l'area del foro nella figura 4 nella formula per determinare il baricentro della figura?

Metodo della massa negativa

Questo metodo consiste nel fatto che un corpo con cavità libere è considerato solido e la massa delle cavità libere è considerata negativa. La forma delle formule per determinare le coordinate del baricentro del corpo non cambia in questo caso.

Pertanto, quando si determina il baricentro di un corpo con cavità libere, dovrebbe essere utilizzato il metodo di partizione, ma la massa delle cavità dovrebbe essere considerata negativa.

avere un'idea circa il centro delle forze parallele e le sue proprietà;

sapere formule per determinare le coordinate del baricentro di figure piane;

essere in grado di determinare le coordinate del baricentro di figure piatte di figure geometriche semplici e profili laminati standard.

ELEMENTI DI CINEMATICA E DINAMICA
Dopo aver studiato la cinematica di un punto, prestare attenzione al fatto che il movimento rettilineo di un punto, sia irregolare che uniforme, è sempre caratterizzato dalla presenza di un'accelerazione normale (centripeta). Al moto traslatorio del corpo (caratterizzato dal moto di uno qualsiasi dei suoi punti) sono applicabili tutte le formule della cinematica di un punto. Le formule per determinare i valori angolari di un corpo rotante attorno ad un asse fisso hanno un'analogia semantica completa con le formule per determinare i corrispondenti valori lineari di un corpo in movimento traslatorio.

Argomento 1.7. Cinematica dei punti
Quando si studia l'argomento, prestare attenzione ai concetti di base della cinematica: accelerazione, velocità, percorso, distanza.

Domande per l'autocontrollo

1. Qual è la relatività dei concetti di quiete e moto?

Il movimento meccanico è un cambiamento nel movimento di un corpo, o (le sue parti) nello spazio rispetto ad altri corpi nel tempo. Il volo di un sasso lanciato, la rotazione di una ruota sono esempi di movimento meccanico.

2. Dare una definizione dei concetti base della cinematica: traiettoria, distanza, traiettoria, velocità, accelerazione, tempo.

La velocità è una misura cinematica del movimento di un punto, che caratterizza la velocità con cui cambia la sua posizione nello spazio. La velocità è una grandezza vettoriale, cioè è caratterizzata non solo dal modulo (componente scalare), ma anche dalla direzione nello spazio.

Come è noto dalla fisica, con moto uniforme, la velocità può essere determinata dalla lunghezza del percorso percorso nell'unità di tempo: v = s / t = const (si presume che l'origine del percorso e il tempo coincidano). Nel moto rettilineo la velocità è costante sia in valore assoluto che in direzione e il suo vettore coincide con la traiettoria.

Unità di velocità del sistema SIè determinato dal rapporto lunghezza/tempo, ovvero m/s.

L'accelerazione è una misura cinematica della variazione della velocità di un punto nel tempo. In altre parole, l'accelerazione è il tasso di variazione della velocità.
Come la velocità, l'accelerazione è una quantità vettoriale, cioè è caratterizzata non solo dal modulo, ma anche dalla direzione nello spazio.

Nel moto rettilineo, il vettore di velocità coincide sempre con la traiettoria, e quindi anche il vettore della variazione di velocità coincide con la traiettoria.

È noto dal corso di fisica che l'accelerazione è la variazione di velocità per unità di tempo. Se per un breve periodo di tempo Δt la velocità del punto cambiava di Δv, l'accelerazione media in questo periodo di tempo era: a cf = Δv / Δt.

L'accelerazione media non fornisce un'indicazione della vera entità della variazione di velocità in un dato momento. In questo caso, è ovvio che più breve è il periodo di tempo considerato, durante il quale si è verificata la variazione di velocità, più il valore dell'accelerazione sarà vicino a quello vero (istantaneo).
Da qui la definizione: l'accelerazione vera (istantanea) è il limite a cui tende l'accelerazione media quando Δt tende a zero:

a = lim a cp as t → 0 o lim Δv / Δt = dv / dt.

Considerando che v = ds / dt, otteniamo: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

L'accelerazione vera nel moto rettilineo è uguale alla derivata prima della velocità o alla derivata seconda della coordinata (distanza dall'origine dello spostamento) rispetto al tempo. L'unità di accelerazione è un metro diviso per un secondo quadrato (m / s 2).

Traiettoria- una linea nello spazio lungo la quale si muove un punto materiale.
Sentieroè la lunghezza della traiettoria. Il percorso percorso l è uguale alla lunghezza d'arco della traiettoria percorsa dal corpo in un certo tempo t. Il percorso è uno scalare.

Distanza determina la posizione di un punto sulla sua traiettoria e viene misurato da una certa origine. La distanza è una grandezza algebrica, poiché a seconda della posizione del punto rispetto all'origine e della direzione accettata dell'asse della distanza, può essere sia positiva che negativa. A differenza della distanza, il percorso percorso da un punto è sempre un numero positivo. Il percorso coincide con il valore assoluto della distanza solo se il movimento del punto parte dall'origine e segue il percorso in una direzione.

Nel caso generale del movimento di un punto, il percorso è uguale alla somma dei valori assoluti delle distanze percorse dal punto in un determinato periodo di tempo:

3. In quali modi si può specificare la legge del moto di un punto?

1. Il modo naturale per definire il movimento di un punto.

Con il metodo naturale di specificazione del movimento, si assume di determinare i parametri del movimento di un punto in un sistema di riferimento mobile, la cui origine coincide con il punto mobile, e la tangente, normale e binormale alla traiettoria di il punto in ciascuna delle sue posizioni funge da assi. Per impostare la legge del moto di un punto in modo naturale, è necessario:

1) conoscere la traiettoria del movimento;

2) impostare l'origine su questa curva;

3) stabilire una direzione positiva del movimento;

4) dare la legge del moto di un punto lungo questa curva, cioè esprimere la distanza dall'origine alla posizione di un punto sulla curva in un dato momento ∪OM = S (t) .

2. Modo vettoriale per specificare il movimento del punto

In questo caso, la posizione di un punto su un piano o nello spazio è determinata da una funzione vettoriale. Questo vettore viene tracciato da un punto fisso selezionato come origine, la sua estremità definisce la posizione del punto in movimento.

3.Coordinate modo di specificare il movimento del punto

Nel sistema di coordinate selezionato, le coordinate del punto in movimento vengono impostate in funzione del tempo. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolare, queste saranno le equazioni:

4. Come è diretto il vettore della velocità reale del punto durante il moto curvilineo?

Con un movimento irregolare di un punto, il modulo della sua velocità cambia nel tempo.
Immagina un punto il cui moto è dato in modo naturale dall'equazione s = f (t).

Se in un breve intervallo di tempo Δt un punto ha superato il percorso Δs, la sua velocità media è pari a:

vav = Δs / Δt.

La velocità media non dà un'idea della vera velocità in un dato momento (la vera velocità è altrimenti chiamata istantanea). Ovviamente, più breve è l'intervallo di tempo su cui viene determinata la velocità media, più il suo valore sarà vicino alla velocità istantanea.

La velocità vera (istantanea) è il limite a cui tende la velocità media poiché Δt tende a zero:

v = lim v cf come t → 0 oppure v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

Pertanto, il valore numerico della velocità reale è v = ds / dt.
La velocità vera (istantanea) per qualsiasi movimento di un punto è uguale alla derivata prima della coordinata (cioè la distanza dall'origine del movimento) rispetto al tempo.

Quando Δt tende a zero, anche Δs tende a zero e, come abbiamo già scoperto, il vettore velocità sarà tangenziale (cioè coincide con il vero vettore velocità v). Ne consegue che il limite del vettore di velocità condizionale v p, che è uguale al limite del rapporto del vettore di spostamento del punto con un intervallo di tempo infinitamente piccolo, è uguale al vero vettore di velocità del punto.

5. Come sono dirette le accelerazioni tangenziali e normali di un punto?

La direzione del vettore di accelerazione coincide con la direzione della variazione di velocità Δ = - 0

L'accelerazione tangenziale in un dato punto è diretta tangenzialmente alla traiettoria del punto; se il moto è accelerato, la direzione del vettore di accelerazione tangenziale coincide con la direzione del vettore di velocità; se il moto è lento, allora la direzione del vettore di accelerazione tangenziale è opposta alla direzione del vettore di velocità.

6. Che moto fa un punto se l'accelerazione tangenziale è zero e l'accelerazione normale non cambia nel tempo?

Movimento curvilineo uniforme caratterizzato dal fatto che il valore numerico della velocità è costante ( v= cost), la velocità cambia solo nella direzione. In questo caso, l'accelerazione tangenziale è zero, poiché v= cost(fig.b),

e l'accelerazione normale non è zero, poiché R è il valore finale.

7. Che aspetto hanno i grafici cinematici con movimento uniforme e ugualmente variabile?

Con un movimento uniforme, il corpo attraversa percorsi uguali per intervalli di tempo uguali. Per la descrizione cinematica del moto rettilineo uniforme, l'asse delle coordinate BUE comodamente posizionato lungo la linea di movimento. La posizione del corpo durante il movimento uniforme è determinata specificando una coordinata X... Il vettore spostamento e il vettore velocità sono sempre diretti parallelamente all'asse delle coordinate BUE... Pertanto, lo spostamento e la velocità in moto rettilineo possono essere proiettati sull'asse BUE e considera le loro proiezioni come grandezze algebriche.

Con un movimento uniforme, il percorso cambia secondo una relazione lineare. In coordinate. Il grafico è una linea obliqua.

A seguito dello studio dell'argomento, lo studente deve:

avere un'idea su spazio, tempo, traiettoria; velocità media e reale;

sapere modi per specificare il movimento di un punto; parametri di movimento del punto lungo una data traiettoria.

Sulla base delle formule generali sopra ottenute, è possibile indicare metodi specifici per determinare le coordinate dei baricentro dei corpi.

1. Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria (Fig. 7), il suo centro di gravità si trova, rispettivamente, nel piano di simmetria, nell'asse di simmetria o nel centro di simmetria.

Fig. 7

2. Scissione. Il corpo è suddiviso in un numero finito di parti (Fig. 8), per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro e l'area.

Fig. 8

3.Metodo dell'area negativa. Un caso speciale del metodo di partizionamento (Fig. 9). Si applica ai corpi con intagli se sono noti i baricentro del corpo senza l'intaglio e la parte intagliata. Il corpo a forma di piatto con un ritaglio è una combinazione di un piatto solido (senza un ritaglio) con un'area S 1 e un'area della parte ritagliata S 2.

Fig. 9

4.Metodo di raggruppamento.È un buon complemento agli ultimi due metodi. Dopo aver diviso la figura nei suoi elementi costitutivi, può essere conveniente ricombinarne alcuni per semplificare poi la soluzione tenendo conto della simmetria di questo gruppo.

Centri di gravità di alcuni corpi omogenei.

1) Il baricentro dell'arco di cerchio. Considera un arco AB raggio R con angolo centrale. In virtù della simmetria, il baricentro di questo arco giace sull'asse Bue(fig. 10).

Fig. 10

Troviamo la coordinata usando la formula. Per fare ciò, seleziona sull'arco AB elemento MM' lunghezza, la cui posizione è determinata dall'angolo. Coordinata X elemento MM' volere . Sostituendo questi valori X e d l e tenendo presente che l'integrale deve essere esteso all'intera lunghezza dell'arco, si ottiene:

dove l- lunghezza dell'arco AB uguale a.

Quindi, troviamo finalmente che il baricentro dell'arco di cerchio giace sul suo asse di simmetria ad una distanza dal centro o uguale a

dove l'angolo è misurato in radianti.

2) Centro di gravità dell'area del triangolo. Considera un triangolo che giace nel piano Ossi, di cui si conoscono le coordinate dei vertici: un io(x io,si io), (io= 1,2,3). Spezzare il triangolo in strisce sottili parallele al lato UN 1 UN 2, giungiamo alla conclusione che il baricentro del triangolo dovrebbe appartenere alla mediana UN 3 m 3 (fig. 11).

Fig. 11

Spezzare il triangolo in strisce parallele al lato UN 2 UN 3, puoi assicurarti che si trovi sulla mediana UN 1 m uno . In questo modo, il baricentro di un triangolo si trova all'intersezione delle sue mediane, che, come sapete, separa un terzo da ciascuna mediana, contando dal lato corrispondente.

In particolare per la mediana UN 1 m 1 otteniamo, tenendo conto che le coordinate del punto m 1 è la media aritmetica delle coordinate dei vertici UN 2 e UN 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Pertanto, le coordinate del baricentro del triangolo sono la media aritmetica delle coordinate dei suoi vertici:

X C = (1/3) Σ x io ; y C = (1/3) Σ si io.

3) Il baricentro dell'area del settore circolare. Considera un settore di una circonferenza di raggio R con un angolo centrale 2α, posto simmetricamente rispetto all'asse Bue(fig. 12).

È ovvio che y C = 0, e la distanza dal centro del cerchio da cui questo settore è tagliato al suo baricentro può essere determinata dalla formula:

Fig. 12

Il modo più semplice per calcolare questo integrale è dividere la regione di integrazione in settori elementari con un angolo Dφ. Fino al primo ordine infinitesimale, tale settore può essere sostituito da un triangolo di base uguale a R× Dφ e altezza R... L'area di un tale triangolo dF=(1/2)R 2 ∙Dφ, e il suo centro di gravità è a una distanza di 2/3 R dal vertice; quindi, in (5) mettiamo X = (2/3)R∙ cosφ. Sostituendo in (5) F= α R 2, otteniamo:

Utilizzando l'ultima formula, calcoliamo, in particolare, la distanza dal baricentro semicerchio.

Sostituendo α = π / 2 nella (2), otteniamo: X C = (4R) / (3π) ≅ 0,4 R .

Esempio 1. Determiniamo il baricentro del corpo omogeneo mostrato in Fig. tredici.

Fig. 13

Il corpo è omogeneo, costituito da due parti di forma simmetrica. Le coordinate dei loro centri di gravità:

I loro volumi:

Pertanto, le coordinate del baricentro del corpo

Esempio 2. Trova il baricentro della piastra piegata ad angolo retto. Dimensioni - nel disegno (Fig. 14).

Fig. 14

Coordinate del centro di gravità:

Piazze:

Riso. 6.5.

Esempio 3. Da un foglio quadrato si ricava un foro quadrato di cm (Fig. 15). Trova il baricentro della foglia.

Fig. 15

In questo compito, è più conveniente dividere il corpo in due parti: un grande quadrato e un foro quadrato. Solo l'area del foro è da considerarsi negativa. Quindi le coordinate del baricentro del foglio con il foro:

coordinata poiché il corpo ha un asse di simmetria (diagonale).

Esempio 4. Il punto metallico (fig. 16) è costituito da tre sezioni di uguale lunghezza l.

Fig. 16

Coordinate dei baricentro delle sezioni:

Pertanto, le coordinate del baricentro dell'intera staffa:

Esempio 5. Determinare la posizione del baricentro del traliccio, le cui aste hanno tutte la stessa densità lineare (Fig. 17).

Ricordiamo che in fisica la densità di un corpo ρ e il suo peso specifico g sono legati dalla relazione: γ = ρ G, dove G- accelerazione di gravità. Per trovare la massa di un corpo così omogeneo, devi moltiplicare la densità per il suo volume.

Fig. 17

Il termine densità "lineare" o "lineare" significa che per determinare la massa di una truss bar, la densità lineare deve essere moltiplicata per la lunghezza di questa barra.

Per risolvere il problema, puoi utilizzare il metodo di divisione. Rappresentando un dato traliccio come somma di 6 singole aste, otteniamo:

dove L io lunghezza io-esimo truss rod, e x io, si io- coordinate del suo baricentro.

Questo problema può essere semplificato raggruppando gli ultimi 5 membri del traliccio. È facile vedere che formano una figura con un centro di simmetria situato nel mezzo della quarta asta, dove si trova il baricentro di questo gruppo di aste.

Pertanto, una data travatura reticolare può essere rappresentata da una combinazione di soli due gruppi di barre.

Il primo gruppo è costituito dalla prima canna, per questo l 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 M. Il secondo gruppo di aste è composto da cinque aste, per questo l 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Le coordinate del baricentro della fattoria si trovano con la formula:

X C = (l 1 ∙X 1 +l 2 ∙X 2)/(l 1 + l 2) = (4 ∙ 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 m;

y C = (l 1 ∙y 1 +l 2 ∙y 2)/(l 1 + l 2) = (4 ∙ 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 m.

Si noti che il centro CON giace sulla linea retta di collegamento CON 1 e CON 2 e divide il segmento CON 1 CON 2 in relazione a: CON 1 CON/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = l 2 /l 1 = 2,5/0,5.

Domande di autotest

Qual è il centro delle forze parallele?

Come si determinano le coordinate del centro delle forze parallele?

Come determinare il centro delle forze parallele, la cui risultante è zero?

Quale proprietà ha il centro delle forze parallele?

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate del centro delle forze parallele?

Quello che viene chiamato il centro di gravità del corpo?

Perché le forze di gravità sulla Terra, agenti su un punto del corpo, possono essere considerate come un sistema di forze parallele?

Annotare la formula per determinare la posizione del baricentro di corpi disomogenei e omogenei, la formula per determinare la posizione del baricentro di sezioni piane?

Scrivi una formula per determinare la posizione del baricentro di semplici forme geometriche: rettangolo, triangolo, trapezio e semicerchio?

Come si chiama il momento statico del quadrato?

Fai un esempio di un corpo il cui baricentro è esterno al corpo.

Come vengono utilizzate le proprietà di simmetria per determinare i centri di gravità dei corpi?

Qual è l'essenza del metodo dei pesi negativi?

Dov'è il baricentro dell'arco di cerchio?

Come puoi trovare graficamente il baricentro di un triangolo?

Scrivi la formula per il baricentro del settore circolare.

Usando le formule per i centri di gravità di un triangolo e di un settore circolare, ricava una formula simile per un segmento circolare.

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate dei centri di gravità di corpi omogenei, figure piane e linee?

Quello che viene chiamato il momento statico dell'area di una figura piatta rispetto all'asse, come viene calcolato e che dimensione ha?

Come determinare la posizione del baricentro di un'area se è nota la posizione dei baricentro delle sue singole parti?

Quali teoremi ausiliari vengono utilizzati per determinare la posizione del baricentro?

Libro di testo di classe 7

§ 25.3. Come trovare il baricentro del corpo?

Ricordiamo che il baricentro è il punto di applicazione della forza di gravità. Consideriamo come trovare sperimentalmente la posizione del baricentro di un corpo piatto, ad esempio una forma arbitraria ritagliata nel cartone (vedi lavoro di laboratorio n. 12).

Sospendiamo la figura di cartone con uno spillo o un chiodo in modo che possa ruotare liberamente attorno all'asse orizzontale passante per il punto O (Fig. 25.4, a). Allora questa figura può essere considerata come una leva con fulcro O.

Riso. 25.4. Come trovare sperimentalmente il baricentro di una figura piatta

Quando una figura è in equilibrio, le forze che agiscono su di essa si equilibrano a vicenda. Questa è la forza di gravità F t, applicata al baricentro della figura T, e la forza elastica F di controllo, applicata al punto O (questa forza viene applicata dal lato di uno spillo o di un chiodo).

Queste due forze si equilibrano a vicenda solo a condizione che i punti di applicazione di queste forze (punti T e O) si trovino sulla stessa verticale (vedi Fig. 25.4, a). Altrimenti, la forza di gravità farà ruotare la figura attorno al punto O (Fig. 25.4, b).

Quindi, quando la figura è in equilibrio, il baricentro giace sulla stessa linea verticale con il punto di sospensione O. Questo ci permette di determinare la posizione del baricentro della figura. Tracciamo una linea verticale con l'aiuto di un filo a piombo passante per il punto di sospensione (linea blu in Fig. 25.4, c). Il baricentro del corpo giace sulla linea tracciata. Ripetiamo questo esperimento con una diversa posizione del punto di sospensione. Di conseguenza, otteniamo la seconda linea su cui giace il baricentro del corpo (linea verde in Fig. 25.4, d). Di conseguenza, all'intersezione di queste linee si trova il baricentro desiderato del corpo (punto rosso D in Fig. 25.4, d).