6.1. Informacje ogólne

Centrum Sił Równoległych
Rozważmy dwie równoległe, jednokierunkowe siły i przyłożone do ciała w punktach A 1 i A 2 (rysunek 6.1). Ten układ sił ma wypadkową, której linia działania przechodzi przez pewien punkt Z... Pozycja punktu Z można znaleźć za pomocą twierdzenia Varignona:

Jeśli obrócisz siły wokół punktów A 1 i A 2 w jednym kierunku i pod tym samym kątem, otrzymujemy nowy system sals równoległych z tymi samymi modułami. Co więcej, ich wypadkowa również przejdzie przez punkt Z... Ten punkt nazywa się środkiem sił równoległych.
Rozważmy układ równoległych i równo ukierunkowanych sił przyłożonych do bryły sztywnej w punktach. Ten system ma wypadkową.
Jeżeli każda siła układu zostanie obrócona wokół punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku i pod tym samym kątem, to uzyska się nowe układy równo ukierunkowanych sił równoległych o tych samych modułach i punktach przyłożenia. Wypadkowa takich systemów będzie miała ten sam moduł r ale za każdym razem w innym kierunku. Łączenie sił F 1 i F 2 stwierdzamy, że ich wypadkowa r 1, który zawsze przejdzie przez punkt Z 1, którego pozycję wyznacza równość. Dodawanie dalej r 1 i F 3, znajdujemy ich wypadkową, która zawsze przejdzie przez punkt Z 2 leżące na linii prostej A 3 Z 2. Po zakończeniu procesu dodawania sił dochodzimy do wniosku, że wypadkowa wszystkich sił rzeczywiście zawsze przejdzie przez ten sam punkt Z, których pozycja w stosunku do punktów pozostanie niezmieniona.
Kropka Z, przez który linia działania wypadkowego układu sił równoległych przechodzi przy dowolnych obrotach tych sił wokół punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku pod tym samym kątem, nazywana jest środkiem sił równoległych (ryc. 6.2).

Rysunek 6.2

Określ współrzędne środka sił równoległych. Od pozycji punktu Z względem ciała jest niezmieniony, to jego współrzędne nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Obróćmy wszystkie siły wokół ich przyłożenia, aby stały się równoległe do osi OU i zastosuj twierdzenie Varignona do sił obróconych. Bo R " jest wypadkową tych sił, to zgodnie z twierdzeniem Varignona mamy odkąd ,, dostajemy

Stąd znajdujemy współrzędną środka sił równoległych zc:

Aby określić współrzędne xc Skomponujmy wyrażenie momentu sił wokół osi Oz.

Aby określić współrzędne yc obróć wszystkie siły, aby stały się równoległe do osi Oz.

Położenie środka sił równoległych względem początku (rys. 6.2) można określić za pomocą wektora promienia:

6.2. Środek ciężkości ciała sztywnego

Środek ciężkości ciało sztywne nazywamy punktem niezmiennie związanym z tym ciałem Z, przez którą przechodzi linia działania wypadkowej sił grawitacyjnych danego ciała, dla dowolnej pozycji ciała w przestrzeni.
Środek ciężkości stosuje się w badaniu stabilności równowagowych położeń ciał i ośrodków ciągłych pod działaniem grawitacji oraz w niektórych innych przypadkach, a mianowicie w wytrzymałości materiałów i mechanice konstrukcyjnej - przy zastosowaniu reguły Vereshchagin'a.
Istnieją dwa sposoby wyznaczania środka ciężkości ciała: analityczny i eksperymentalny. Analityczna metoda wyznaczania środka ciężkości wynika bezpośrednio z koncepcji środka sił równoległych.
Współrzędne środka ciężkości, jako środka sił równoległych, określają wzory:

gdzie r- masa całego ciała; pk- masa cząstek ciała; xk, yk, zk- współrzędne cząstek ciała.
W przypadku ciała jednorodnego waga całego ciała i dowolnej jego części jest proporcjonalna do objętości P = Vγ, pk = vk γ, gdzie γ - waga jednostki objętości, V- objętość ciała. Zastępowanie wyrażeń P, pk we wzory na określenie współrzędnych środka ciężkości i zniesienie przez wspólny czynnik γ , otrzymujemy:

Kropka Z, którego współrzędne są określone przez otrzymane wzory, nazywa się środek ciężkości objętości.
Jeśli ciało jest cienką jednorodną płytą, środek ciężkości określają wzory:

gdzie S- powierzchnia całej płyty; Sk- obszar jego części; xk, yk- współrzędne środka ciężkości części płytowych.
Kropka Z w tym przypadku nazywa się środek ciężkości obszaru.
Liczniki wyrażeń określających współrzędne środka ciężkości figur płaskich nazywamy z momenty taktyczne kwadratu w odniesieniu do osi w oraz x:

Wtedy środek ciężkości obszaru można wyznaczyć ze wzorów:

Dla ciał, których długość jest wielokrotnie większa od wymiarów przekroju, wyznaczany jest środek ciężkości linii. Współrzędne środka ciężkości linii określają wzory:

gdzie L- długość linii; lk- długość jego części; xk, yk, zk- współrzędna środka ciężkości części linii.

6.3. Metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał

Na podstawie uzyskanych wzorów można zaproponować praktyczne metody wyznaczania środków ciężkości ciał.
1. Symetria... Jeśli ciało ma środek symetrii, to środek ciężkości znajduje się w środku symetrii.
Jeśli ciało ma płaszczyznę symetrii. Na przykład płaszczyzna XOU, wtedy środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.
2. Rozdzielać... W przypadku korpusów składających się z korpusów o prostym kształcie stosuje się metodę dzielenia. Ciało podzielone jest na części, których środek ciężkości znajduje się metodą symetrii. Środek ciężkości całego ciała wyznaczają wzory na środek ciężkości objętości (powierzchni).

Przykład... Określ środek ciężkości płyty pokazanej na poniższym rysunku (Rysunek 6.3). Płytkę można podzielić na prostokąty na różne sposoby i określić współrzędne środka ciężkości każdego prostokąta oraz ich powierzchnię.

Rysunek 6.3

Odpowiedź: xC= 17,0 cm; takC= 18,0 cm.

3. Dodatek... Ta metoda jest szczególnym przypadkiem metody dzielenia. Stosuje się go, gdy ciało ma nacięcia, nacięcia itp., jeśli znane są współrzędne środka ciężkości ciała bez nacięcia.

Przykład... Określ środek ciężkości okrągłej płyty z promieniem wycięcia r = 0,6 r(rys. 6.4).

Rys. 6.4

Okrągła płytka ma środek symetrii. Umieść początek na środku płyty. Powierzchnia płyty bez nacięcia, powierzchnia nacięcia. Powierzchnia płyty z karbem; ...
Płyta karbowana ma oś symetrii О1x, W związku z tym, yc=0.

4. Integracja... Jeżeli ciała nie da się podzielić na skończoną liczbę części, których położenie środków ciężkości jest znane, ciało dzieli się na dowolnie małe objętości, dla których formuła przy użyciu metody podziału przyjmuje postać: .
Następnie przechodzą do granicy, kierując podstawowe objętości do zera, tj. ciągnąc tomy na punkty. Sumy zastępuje się całkami rozciągniętymi na całą objętość ciała, a następnie wzory na określenie współrzędnych środka ciężkości objętości przyjmują postać:

Wzory do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości obszaru:

Współrzędne środka ciężkości obszaru należy określić podczas badania równowagi płyt, przy obliczaniu całki Mohra w mechanice konstrukcji.

Przykład... Wyznacz środek ciężkości łuku kołowego o promieniu r z narożnikiem środkowym AOB= 2α (ryc. 6.5).

Ryż. 6,5

Łuk kołowy jest symetryczny do osi Oh, zatem środek ciężkości łuku leży na osi Oh, tak = 0.
Zgodnie ze wzorem na środek ciężkości linii:

6.Metoda eksperymentalna... Środki ciężkości ciał niejednorodnych o złożonej konfiguracji można wyznaczyć eksperymentalnie: metodą zawieszania i ważenia. Pierwszy sposób polega na zawieszeniu ciała na linie w różnych punktach. Kierunek liny, na której zawieszone jest ciało, da kierunek siły grawitacji. Punkt przecięcia tych kierunków wyznacza środek ciężkości ciała.
Metoda ważenia polega na określeniu w pierwszej kolejności masy ciała, np. samochodu. Wtedy równowaga określa nacisk tylnej osi samochodu na podporę. Po skompilowaniu równania równowagi w odniesieniu do dowolnego punktu, na przykład osi przednich kół, można obliczyć odległość od tej osi do środka ciężkości samochodu (ryc. 6.6).

Rysunek 6.6

Czasami przy rozwiązywaniu problemów konieczne jest jednoczesne zastosowanie różnych metod wyznaczania współrzędnych środka ciężkości.

6.4. Środki ciężkości niektórych najprostszych kształtów geometrycznych

Do wyznaczenia środków ciężkości ciał o często spotykanym kształcie (trójkąt, łuk koła, sektor, odcinek) wygodnie jest posłużyć się danymi referencyjnymi (tabela 6.1).

Tabela 6.1

Współrzędne środka ciężkości niektórych ciał jednorodnych

№	Nazwa figury	Rysunek
	Łuk koła: środek ciężkości łuku koła jednorodnego znajduje się na osi symetrii (współrzędna uc=0). r to promień okręgu.
	Jednorodny sektor obiegu zamkniętego uc=0). gdzie α jest połową kąta centralnego; r to promień okręgu.
	Człon: środek ciężkości znajduje się na osi symetrii (współrzędna uc=0). gdzie α jest połową kąta centralnego; r to promień okręgu.
	Półkole:
	Trójkąt: środek ciężkości jednorodnego trójkąta znajduje się na przecięciu jego środkowych. gdzie x1, y1, x2, y2, x3, y3- współrzędne wierzchołków trójkąta
	Stożek: środek ciężkości jednorodnego okrągłego stożka leży na jego wysokości i znajduje się w odległości 1/4 wysokości od podstawy stożka.

Umiejętność utrzymania równowagi bez wysiłku jest bardzo ważna dla efektywnej medytacji, jogi, qigong, a także tańca brzucha. Jest to pierwszy wymóg, przed którym stają nowicjusze w tych zajęciach i jeden z powodów, dla których trudno jest stawiać pierwsze kroki bez instruktora. Pytanie sugerujące, że dana osoba nie zna swojego środka ciężkości, może wyglądać nieco inaczej. W qigong na przykład osoba zapyta, jak się zrelaksować i jednocześnie wykonywać ruchy stojąc, początkująca tancerka orientalna nie będzie rozumiała, jak rozdzielać i koordynować ruchy dolnej i górnej części tułowia, a także w obu przypadkach ludzie będą się nadmiernie rozciągać i często tracą stabilność. Ich ruchy będą niepewne, niezręczne.

Dlatego ważne jest, aby zrozumieć, jak samodzielnie znaleźć swój środek ciężkości, wymaga to zarówno pracy umysłowej, jak i zręczności, ale z czasem umiejętność przesuwa się do poziomu instynktownego.

Co należy zrobić, aby nie obciążać mięśni i jednocześnie nie korzystać z zewnętrznych podpór. Odpowiedź jest oczywista, trzeba przesunąć wsparcie do wewnątrz. Dokładniej, polegaj na konwencjonalnej osi wewnętrznej. Gdzie biegnie ta oś? Pojęcie środka ciężkości jest warunkowe, ale mimo to jest używane w fizyce. Tam zwyczajowo określa się go jako punkt przyłożenia wypadkowych sił grawitacyjnych. Wypadkowa siła grawitacji jest sumą wszystkich sił grawitacji, biorąc pod uwagę kierunek ich działania.

Trudne jeszcze? Proszę być cierpliwym.

Oznacza to, że szukamy punktu w naszym ciele, który pozwoli nam nie upaść, bez świadomego zmagania się z ziemskim przyciąganiem. Oznacza to, że siła grawitacji ziemi musi być skierowana tak, aby zbiegała się z resztą działających sił gdzieś w środku naszego ciała.

Ten kierunek sił tworzy warunkową oś w samym środku naszego ciała, pionowa powierzchnia jest pionem środka ciężkości. Ta część ciała, na której opieramy się o ziemię, jest naszym miejscem oparcia (opieramy się stopami o ziemię) W miejscu, w którym ten pion opiera się o powierzchnię, na której stoimy, czyli opieramy się o ziemię, to jest punktem środka ciężkości wewnątrz obszaru podparcia. Jeśli pion zostanie przesunięty z tego miejsca, stracimy równowagę i upadniemy. Im większa jest sama powierzchnia podparcia, tym łatwiej jest nam trzymać się blisko jej środka, dlatego wszyscy instynktownie zrobimy szeroki krok stojąc na niestabilnej powierzchni. Oznacza to, że obszarem podparcia są nie tylko same stopy, ale także przestrzeń między nimi.

Ważne jest również, aby wiedzieć, że szerokość obszaru podparcia wpływa nie tylko na długość. W przypadku osoby oznacza to, że mamy większe szanse na przewrócenie się na naszą stronę niż do tyłu, a tym bardziej do przodu. Dlatego podczas biegania trudniej nam utrzymać równowagę, to samo można powiedzieć o obcasach. Ale w szerokich, stabilnych butach wręcz przeciwnie, łatwiej jest się oprzeć, nawet łatwiej niż całkowicie boso. Jednak czynności wymienione na początku dotyczą bardzo miękkich, lekkich butów lub w ogóle ich nie ma. Dlatego nie będziemy w stanie pomóc sobie butami.

Dlatego bardzo ważne jest, aby znaleźć środek pionowej linii na stopie. Zwykle nie znajduje się w środku stopy, jak niektórzy automatycznie zakładają, ale bliżej pięty, gdzieś w połowie drogi od środka stopy do pięty.
Ale to nie wszystko.

Oprócz pionowej linii środka ciężkości istnieje również pozioma, a także osobna dla kończyn.
Nieco inaczej przebiega linia pozioma dla kobiet i mężczyzn.

Z przodu u kobiet biegnie niżej, u mężczyzn wyżej. U mężczyzn sięga około 4-5 palców poniżej pępka, au kobiet około 10. Z tyłu linia żeńska biegnie prawie w dół, a linia męska jest o około pięć palców wyższa od niej. Ważne jest również, aby zwracać uwagę na linię pionu środka ciężkości kolana, aby zapewnić stabilność podczas medytacji. Znajduje się nieco powyżej kości (podudzia), ale dwa lub trzy palce poniżej chrząstki.

Podczas medytacji, podobnie jak podczas tańca brzucha, nie jest dobrze rozkładać stopy szeroko, maksymalna szerokość zwykle odpowiada szerokości ramion.

Dlatego musisz trochę pomóc sobie kolanami, starając się zbudować oś pionową tak prosto, jak to możliwe. Stań przed lustrem, znajdź wszystkie opisane na sobie punkty. Rozstaw stopy na szerokość ramion. Rozluźnij mięśnie nóg i ciała. Następnie wyprostuj plecy bez obciążania ciała, rozluźnij nogi, lekko zginając kolana. Wyobraź sobie trzy pionowe linie, każda w odpowiednim punkcie z tyłu tułowia, z przodu tułowia i wokół kolan. Spróbuj ustawić punkty tak, aby przednia oś tułowia znajdowała się mniej więcej w połowie odległości między osią tylną a osią kolanową. W takim przypadku kolana nie powinny być zgięte tak, aby przechodziły przez palce, powinny być tylko lekko ugięte i dobrze rozluźnione. Najlepiej powyżej środka ciężkości wewnątrz obszaru podparcia, który znaleźliśmy na stopie. W takim przypadku dłonie można swobodnie układać wzdłuż bogów lub położyć dłonie na biodrach.

Skąd będziesz wiedzieć, że znalazłeś swój środek ciężkości?

Poczujesz lekkie kołysanie, ale jednocześnie na pewno będziesz wiedział, że nie spadniesz.

Temat jest stosunkowo łatwy do opanowania, ale niezwykle ważny przy studiowaniu przedmiotu na temat wytrzymałości materiałów. Główną uwagę należy tutaj zwrócić na rozwiązywanie problemów zarówno z kształtami płaskimi, jak i geometrycznymi oraz ze standardowymi profilami walcowanymi.

Pytania do samokontroli

1. Jaki jest środek sił równoległych?

Środek sił równoległych to punkt, przez który linia wypadkowego układu sił równoległych przyłożonych w danych punktach przechodzi przez każdą zmianę kierunku tych sił w przestrzeni.

2. Jak znaleźć współrzędne środka sił równoległych?

Aby wyznaczyć współrzędne środka sił równoległych, posługujemy się twierdzeniem Varignona.

O osi x

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk oraz y C = Σy kFk / Σ Fk .

O osi tak

M r (R) = Σ M r (F k), - x C R = Σx kFk oraz x C = Σx kFk / Σ Fk .

Aby określić współrzędne z C , obróć wszystkie siły o 90 ° tak, aby stały się równoległe do osi tak (Rysunek 1.5, b). Następnie

Mz (R) = ΣMz (Fk), - z C R = Σz kFk oraz z C = Σz kFk / Σ Fk .

Dlatego wzór na wyznaczenie wektora promienia środka sił równoległych ma postać

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. Jaki jest środek ciężkości ciała?

Środek ciężkości - punkt niezmiennie związany z ciałem sztywnym, przez który wypadkowa sił grawitacyjnych działających na cząstki tego ciała przechodzi w dowolnym położeniu ciała w przestrzeni. W przypadku ciała jednorodnego ze środkiem symetrii (koło, kula, sześcian itp.) środek ciężkości znajduje się w środku symetrii ciała. Położenie środka ciężkości ciała sztywnego pokrywa się z położeniem jego środka masy.

4. Jak znaleźć środek ciężkości prostokąta, trójkąta, koła?

Aby znaleźć środek ciężkości trójkąta, musisz narysować trójkąt - figurę składającą się z trzech odcinków linii połączonych ze sobą w trzech punktach. Zanim znajdziesz środek ciężkości kształtu, musisz użyć linijki, aby zmierzyć długość jednego boku trójkąta. Umieść znak na środku boku, a następnie połącz przeciwległy wierzchołek i środek odcinka linią zwaną medianą. Powtórz ten sam algorytm z drugim bokiem trójkąta, a następnie z trzecim. Efektem Twojej pracy będą trzy mediany, które przecinają się w jednym punkcie, który będzie środkiem ciężkości trójkąta. Jeśli konieczne jest określenie środka ciężkości okrągłego dysku o jednorodnej strukturze, najpierw znajdź punkt przecięcia średnic koła. Będzie środkiem ciężkości tego ciała. Biorąc pod uwagę takie figury jak piłka, obręcz i jednorodny prostokątny równoległościan, możemy śmiało powiedzieć, że środek ciężkości obręczy będzie znajdował się w środku figury, ale poza jej punktami środek ciężkości kuli jest geometryczny środek kuli, aw tym ostatnim przypadku środek ciężkości to przekątne przecięcia prostokątnego równoległościanu.

5. Jak znaleźć współrzędne środka ciężkości płaskiego przekroju kompozytowego?

Metoda dzielenia: jeśli płaską figurę można podzielić na skończoną liczbę takich części, z których każda znana jest pozycja środka ciężkości, to współrzędne środka ciężkości całej figury są określone wzorami:

XC = (skxk)/S; Y C = (s k y k) / S,

gdzie x k, y k - współrzędne środków ciężkości części figury;

s k - ich obszary;

S = s k - powierzchnia całej figury.

6. Środek ciężkości

1. W jakim przypadku wystarczy wyznaczyć jedną współrzędną drogą obliczeniową do wyznaczenia środka ciężkości?

W pierwszym przypadku do wyznaczenia środka ciężkości wystarczy wyznaczenie jednej współrzędnej.Ciało podzielone jest na skończoną liczbę części, z których każda znajduje się w położeniu środka ciężkości C i obszar S są znane. Na przykład rzut ciała na płaszczyznę xOy (Rysunek 1.) można przedstawić jako dwie płaskie figury z obszarami S 1 oraz S 2 (S = S1 + S2 ). Środki ciężkości tych figur znajdują się w punktach C 1 (x 1, y 1) oraz C 2 (x 2, y 2) ... Wtedy współrzędne środka ciężkości ciała to

Ponieważ środki figur leżą na osi rzędnych (x = 0), znajdujemy tylko współrzędną Wąsy.

2 W jaki sposób we wzorze w celu określenia środka ciężkości figury uwzględniono obszar otworu na rysunku 4?

Metoda masy ujemnej

Metoda ta polega na tym, że bryłę z wolnymi wnękami uważa się za bryłę, a masę wolnych wnęk za ujemną. Forma wzorów do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości ciała nie zmienia się w tym przypadku.

Zatem przy wyznaczaniu środka ciężkości bryły z wolnymi wnękami należy stosować metodę podziału, ale masę wnęk należy uznać za ujemną.

mam pomysł o środku sił równoległych i jego własnościach;

wiedzieć wzory do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości figur płaskich;

być w stanie określić współrzędne środka ciężkości figur płaskich prostych figur geometrycznych i standardowych profili walcowanych.

ELEMENTY KINEMATYKI I DYNAMIKI
Po zbadaniu kinematyki punktu zwróć uwagę, że prostoliniowy ruch punktu, zarówno nierówny, jak i jednorodny, zawsze charakteryzuje się obecnością normalnego (dośrodkowego) przyspieszenia. Przy ruchu postępowym ciała (charakteryzującym się ruchem dowolnego z jego punktów) mają zastosowanie wszystkie wzory na kinematykę punktu. Formuły do ​​określania wartości kątowych ciała obracającego się wokół stałej osi mają pełną semantyczną analogię z formułami do określania odpowiednich wartości liniowych ciała poruszającego się translacyjnie.

Temat 1.7. Kinematyka punktowa
Studiując temat, zwróć uwagę na podstawowe pojęcia kinematyki: przyspieszenie, prędkość, droga, odległość.

Pytania do samokontroli

1. Jaka jest względność pojęć spoczynku i ruchu?

Ruch mechaniczny to zmiana ruchu ciała lub (jego części) w przestrzeni względem innych ciał w czasie. Lot rzuconego kamienia, obrót koła to przykłady ruchu mechanicznego.

2. Podaj definicję podstawowych pojęć kinematyki: trajektoria, odległość, droga, prędkość, przyspieszenie, czas.

Prędkość jest kinematyczną miarą ruchu punktu, która charakteryzuje tempo zmian jego położenia w przestrzeni. Prędkość jest wielkością wektorową, to znaczy charakteryzuje się nie tylko modułem (składnik skalarny), ale także kierunkiem w przestrzeni.

Jak wiadomo z fizyki, przy ruchu jednostajnym prędkość można określić na podstawie długości przebytej drogi w jednostce czasu: v = s / t = const (zakłada się, że początek drogi i czas pokrywają się). W ruchu prostoliniowym prędkość jest stała zarówno w wartości bezwzględnej, jak iw kierunku, a jej wektor pokrywa się z trajektorią.

Jednostka prędkości systemu SI jest określany przez stosunek długości do czasu, tj. m / s.

Przyspieszenie jest kinematyczną miarą zmiany prędkości punktu w czasie. Innymi słowy, przyspieszenie to tempo zmian prędkości.
Podobnie jak prędkość, przyspieszenie jest wielkością wektorową, to znaczy charakteryzuje się nie tylko modułem, ale także kierunkiem w przestrzeni.

W ruchu prostoliniowym wektor prędkości zawsze pokrywa się z trajektorią, a zatem wektor zmiany prędkości również pokrywa się z trajektorią.

Z kursu fizyki wiadomo, że przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Jeżeli przez krótki okres czasu Δt prędkość punktu zmieniła się o Δv, to średnie przyspieszenie w tym czasie wyniosło: acf = Δv / Δt.

Przyspieszenie średnie nie wskazuje rzeczywistej wielkości zmiany prędkości w danym momencie. W tym przypadku oczywiste jest, że im krótszy rozpatrywany okres czasu, w którym nastąpiła zmiana prędkości, tym wartość przyspieszenia będzie bliższa rzeczywistej (chwilowej).
Stąd definicja: prawdziwe (chwilowe) przyspieszenie jest granicą, do której dąży średnie przyspieszenie, gdy Δt dąży do zera:

a = lim a cp jako t → 0 lub lim Δv / Δt = dv / dt.

Biorąc pod uwagę, że v = ds / dt, otrzymujemy: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

Rzeczywiste przyspieszenie w ruchu prostoliniowym jest równe pierwszej pochodnej prędkości lub drugiej pochodnej współrzędnej (odległość od początku przemieszczenia) względem czasu. Jednostką przyspieszenia jest metr podzielony przez sekundę do kwadratu (m / s 2).

Trajektoria- linia w przestrzeni, po której porusza się punkt materialny.
Ścieżka to długość trajektorii. Przebyta ścieżka l jest równa długości łuku trajektorii, którą przemierza ciało w pewnym czasie t. Ścieżka jest skalarem.

Dystans określa położenie punktu na jego trajektorii i jest mierzony od określonego początku. Odległość jest wielkością algebraiczną, ponieważ w zależności od położenia punktu względem początku i przyjętego kierunku osi odległości może być zarówno dodatnia, jak i ujemna. W przeciwieństwie do odległości ścieżka przebyta przez punkt jest zawsze liczbą dodatnią. Ścieżka pokrywa się z wartością bezwzględną odległości tylko wtedy, gdy ruch punktu rozpoczyna się od początku i podąża ścieżką w jednym kierunku.

W ogólnym przypadku ruchu punktu droga jest równa sumie bezwzględnych wartości przebytych przez punkt odległości w danym okresie czasu:

3. W jaki sposób można określić prawo ruchu punktu?

1. Naturalny sposób definiowania ruchu punktu.

Przy naturalnej metodzie określania ruchu zakłada się wyznaczenie parametrów ruchu punktu w poruszającym się układzie odniesienia, którego początek pokrywa się z ruchomym punktem, a styczna, normalna i binormalna do trajektorii punkt w każdej z jego pozycji służy jako osie. Aby w naturalny sposób ustalić prawo ruchu punktu, musisz:

1) znać trajektorię ruchu;

2) ustawić początek na tej krzywej;

3) ustalić pozytywny kierunek ruchu;

4) podać prawo ruchu punktu wzdłuż tej krzywej, tj. wyrazić odległość od początku do położenia punktu na krzywej w danym czasie ∪OM = S (t) .

2.Wektorowy sposób określania ruchu punktu

W tym przypadku położenie punktu na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest określone przez funkcję wektorową. Wektor ten jest kreślony od ustalonego punktu wybranego jako początek, jego koniec określa położenie punktu ruchomego.

3. Współrzędny sposób określania ruchu punktu

W wybranym układzie współrzędnych współrzędne ruchomego punktu są ustawiane w funkcji czasu. W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych będą to równania:

4. Jak jest skierowany wektor rzeczywistej prędkości punktu podczas ruchu krzywoliniowego?

Przy nierównomiernym ruchu punktu, moduł jego prędkości zmienia się w czasie.
Wyobraźmy sobie punkt, którego ruch w naturalny sposób określa równanie s = f (t).

Jeżeli w krótkim odstępie czasu Δt punkt przekroczył ścieżkę Δs, to jego prędkość średnia jest równa:

vav = Δs / Δt.

Średnia prędkość nie daje wyobrażenia o rzeczywistej prędkości w dowolnym momencie (prawdziwa prędkość jest inaczej nazywana chwilową). Oczywiście im krótszy przedział czasu, w którym wyznaczana jest prędkość średnia, tym bliższa będzie jej wartość prędkości chwilowej.

Prawdziwa (chwilowa) prędkość to granica, do której zmierza średnia prędkość, gdy Δt dąży do zera:

v = lim v cf jako t → 0 lub v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

Zatem wartość liczbowa prędkości rzeczywistej wynosi v = ds / dt.
Prawdziwa (chwilowa) prędkość dowolnego ruchu punktu jest równa pierwszej pochodnej współrzędnej (czyli odległości od początku ruchu) względem czasu.

Gdy Δt dąży do zera, Δs również dąży do zera i, jak już dowiedzieliśmy się, wektor prędkości będzie styczny (tzn. będzie pokrywał się z rzeczywistym wektorem prędkości v). Wynika z tego, że granica warunkowego wektora prędkości v p, równa granicy stosunku wektora przemieszczenia punktu do nieskończenie małego przedziału czasu, jest równa rzeczywistemu wektorowi prędkości punktu.

5. Jak skierowane są przyspieszenia styczne i normalne punktu?

Kierunek wektora przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem zmiany prędkości Δ = - 0

Przyspieszenie styczne w danym punkcie jest skierowane stycznie do trajektorii punktu; jeżeli ruch jest przyspieszony, to kierunek wektora przyspieszenia stycznego pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości; jeśli ruch jest powolny, to kierunek wektora przyspieszenia stycznego jest przeciwny do kierunku wektora prędkości.

6. Jaki ruch wykonuje punkt, jeśli przyspieszenie styczne wynosi zero, a przyspieszenie normalne nie zmienia się w czasie?

Jednostajny ruch krzywoliniowy charakteryzuje się tym, że wartość liczbowa prędkości jest stała ( v= const), prędkość zmienia się tylko w kierunku. W tym przypadku przyspieszenie styczne wynosi zero, ponieważ v= const(rys.b),

a normalne przyspieszenie nie jest równe zeru, ponieważ r to wartość końcowa.

7. Jak wyglądają krzywe kinematyczne przy ruchu jednostajnym i równie zmiennym?

Jednostajnym ruchem ciało pokonuje równe ścieżki w równych odstępach czasu. Dla kinematycznego opisu ruchu jednostajnego prostoliniowego oś współrzędnych WÓŁ dogodnie umieszczone wzdłuż linii ruchu. Pozycja ciała podczas ruchu równomiernego jest określana przez podanie jednej współrzędnej x... Wektor przemieszczenia i wektor prędkości są zawsze skierowane równolegle do osi współrzędnych WÓŁ... Dlatego przemieszczenie i prędkość w ruchu prostoliniowym można rzutować na oś WÓŁ i rozważ ich rzuty jako wielkości algebraiczne.

Przy ruchu jednostajnym ścieżka zmienia się zgodnie z zależnością liniową. We współrzędnych. Wykres jest linią ukośną.

W wyniku przestudiowania tematu student musi:

mam pomysł o przestrzeni, czasie, trajektorii; średnia i rzeczywista prędkość;

wiedzieć sposoby określania ruchu punktu; parametry ruchu punktu po zadanej trajektorii.

Na podstawie uzyskanych powyżej ogólnych wzorów można wskazać konkretne metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał.

1. Symetria. Jeżeli jednorodne ciało ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii (ryc. 7), to jego środek ciężkości leży odpowiednio w płaszczyźnie symetrii, osi symetrii lub w środku symetrii.

Rys. 7

2. Rozdzielać. Ciało podzielone jest na skończoną liczbę części (ryc. 8), dla których znane jest położenie środka ciężkości i obszar.

Rys. 8

3.Metoda obszarów ujemnych. Szczególny przypadek metody partycjonowania (rys. 9). Dotyczy nadwozi z wycięciami, jeśli znane są środki ciężkości korpusu bez wycięcia i wycięcia. Korpus w postaci płyty z wycięciem to połączenie płyty pełnej (bez wycięcia) z polem S 1 i polem wyciętej części S 2.

Rys. 9

4.Metoda grupowania. Stanowi dobre uzupełnienie dwóch ostatnich metod. Po podzieleniu figury na jej elementy składowe może być wygodnie połączyć niektóre z nich ponownie, aby następnie uprościć rozwiązanie, biorąc pod uwagę symetrię tej grupy.

Środki ciężkości niektórych ciał jednorodnych.

1) Środek ciężkości łuku koła. Rozważ łuk AB promień r z centralnym narożnikiem. Dzięki symetrii środek ciężkości tego łuku leży na osi Wół(rys. 10).

Rys. 10

Znajdźmy współrzędną za pomocą wzoru. Aby to zrobić, wybierz na łuku AB element MM długość, której położenie określa kąt. Koordynować x element MM Wola . Zastępując te wartości x i d ja a pamiętając, że całka musi być przedłużona na całą długość łuku, otrzymujemy:

gdzie L- długość łuku AB równy.

Stąd ostatecznie stwierdzamy, że środek ciężkości łuku koła leży na jego osi symetrii w pewnej odległości od środka O równy

gdzie kąt jest mierzony w radianach.

2) Środek ciężkości obszaru trójkąta. Rozważ trójkąt leżący w samolocie Oxy, których współrzędne wierzchołków są znane: A i(x ja,ja ja), (i= 1,2,3). Łamanie trójkąta na wąskie paski równoległe do boku A 1 A 2 dochodzimy do wniosku, że środek ciężkości trójkąta powinien należeć do mediany A 3 m 3 (rys. 11).

Rys. 11

Łamanie trójkąta na paski równoległe do boku A 2 A 3, możesz upewnić się, że powinien leżeć na medianie A 1 m jeden . W ten sposób, środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu jego median, która, jak wiadomo, oddziela jedną trzecią od każdej mediany, licząc od odpowiedniej strony.

W szczególności dla mediany A 1 m 1 otrzymujemy biorąc pod uwagę, że współrzędne punktu m 1 to średnia arytmetyczna współrzędnych wierzchołków A 2 i A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Zatem współrzędne środka ciężkości trójkąta są średnią arytmetyczną współrzędnych jego wierzchołków:

x C = (1/3) Σ x ja ; tak C = (1/3) Σ ja ja.

3) Środek ciężkości obszaru sektora kołowego. Rozważ sektor okręgu o promieniu r o kącie środkowym 2α, położonym symetrycznie względem osi Wół(rys. 12).

To oczywiste, że tak C = 0, a odległość od środka okręgu, z którego ten sektor jest odcięty do jego środka ciężkości, można wyznaczyć ze wzoru:

Rys. 12

Najłatwiejszym sposobem obliczenia tej całki jest podzielenie obszaru całkowania na elementarne sektory pod kątem D. Aż do nieskończenie małego pierwszego rzędu, taki sektor można zastąpić trójkątem o podstawie równej r× Dφ i wzrost r... Obszar takiego trójkąta dF=(1/2)r 2 ∙Dφ, a jego środek ciężkości znajduje się w odległości 2/3 r od wierzchołka, dlatego w (5) umieszczamy: x = (2/3)r cosφ. Zastępowanie w (5) F= α r 2, otrzymujemy:

Korzystając z ostatniego wzoru obliczamy w szczególności odległość do środka ciężkości półkole.

Podstawiając α = π / 2 do (2), otrzymujemy: x C = (4r) / (3π) ≅ 0,4 r .

Przykład 1. Określmy środek ciężkości jednorodnego ciała pokazanego na ryc. trzynaście.

Rys. 13

Korpus jest jednorodny, składający się z dwóch części o symetrycznym kształcie. Współrzędne ich środków ciężkości:

Ich tomy:

Dlatego współrzędne środka ciężkości ciała

Przykład 2. Znajdź środek ciężkości płyty wygiętej pod kątem prostym. Wymiary - na rysunku (rys. 14).

Rys. 14

Współrzędne środka ciężkości:

Kwadraty:

Ryż. 6.5.

Przykład 3. Kwadratowy otwór jest wycinany z kwadratowego arkusza cm (ryc. 15). Znajdź środek ciężkości liścia.

Rys. 15

W tym zadaniu wygodniej jest podzielić ciało na dwie części: duży kwadrat i kwadratowy otwór. Tylko obszar dziury należy uznać za ujemny. Następnie współrzędne środka ciężkości arkusza z otworem:

koordynować ponieważ ciało ma oś symetrii (przekątną).

Przykład 4. Zszywka druciana (rys. 16) składa się z trzech odcinków o równej długości ja.

Rys. 16

Współrzędne środków ciężkości odcinków:

Dlatego współrzędne środka ciężkości całego wspornika:

Przykład 5. Określ położenie środka ciężkości kratownicy, którego wszystkie pręty mają tę samą gęstość liniową (ryc. 17).

Przypomnijmy, że w fizyce gęstość ciała ρ i jego ciężar właściwy g są powiązane zależnością: γ = ρ g, gdzie g- przyśpieszenie grawitacyjne. Aby znaleźć masę takiego jednorodnego ciała, należy pomnożyć gęstość przez jego objętość.

Rys. 17

Termin „liniowa” lub „liniowa” oznacza, że ​​aby określić masę pręta kratownicy, gęstość liniową należy pomnożyć przez długość tego pręta.

Aby rozwiązać problem, możesz użyć metody dzielenia. Reprezentując daną kratownicę jako sumę 6 pojedynczych prętów, otrzymujemy:

gdzie L ja długość i-ty pręt kratownicy, i x ja, ja ja- współrzędne jego środka ciężkości.

Ten problem można uprościć, grupując ostatnich 5 elementów kratownicy. Łatwo zauważyć, że tworzą one figurę ze środkiem symetrii znajdującym się pośrodku czwartego pręta, gdzie znajduje się środek ciężkości tej grupy prętów.

Tak więc daną kratownicę można przedstawić za pomocą kombinacji tylko dwóch grup prętów.

Pierwsza grupa składa się z pierwszej wędki, bo to L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, tak 1 = 2 m. Druga grupa prętów składa się z pięciu prętów, bo to L 2 = 20m, x 2 = 3 m, tak 2 = 2 m.

Współrzędne środka ciężkości farmy określa wzór:

x C = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 m;

tak C = (L 1 ∙tak 1 +L 2 ∙tak 2)/(L 1 + L 2) = (4 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 m.

Zwróć uwagę, że centrum Z leży na linii prostej łączącej Z 1 i Z 2 i dzieli segment Z 1 Z 2 w odniesieniu do: Z 1 Z/SS 2 = (x C - x 1)/(x 2 - x C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pytania autotestu

Co nazywa się środkiem sił równoległych?

Jak wyznaczane są współrzędne środka sił równoległych?

Jak wyznaczyć środek sił równoległych, których wypadkowa wynosi zero?

Jaką właściwość ma środek sił równoległych?

Jakich wzorów używa się do obliczania współrzędnych środka sił równoległych?

Jak nazywa się środek ciężkości ciała?

Dlaczego siły grawitacji na Ziemi, działające na punkt ciała, można traktować jako układ sił równoległych?

Napisz wzór na określenie położenia środka ciężkości ciał niejednorodnych i jednorodnych, wzór na określenie położenia środka ciężkości odcinków płaskich?

Napisz wzór na określenie położenia środka ciężkości prostych figur geometrycznych: prostokąta, trójkąta, trapezu i półkola?

Jak nazywa się moment statyczny kwadratu?

Podaj przykład ciała, którego środek ciężkości znajduje się na zewnątrz ciała.

W jaki sposób wykorzystuje się właściwości symetrii do wyznaczania środków ciężkości ciał?

Jaka jest istota metody wag ujemnych?

Gdzie jest środek ciężkości łuku kołowego?

Jak graficznie znaleźć środek ciężkości trójkąta?

Zapisz wzór na środek ciężkości sektora kołowego.

Korzystając ze wzorów na środki ciężkości trójkąta i sektora kołowego, wyprowadź podobny wzór na odcinek kołowy.

Jakich wzorów używa się do obliczania współrzędnych środków ciężkości ciał jednorodnych, figur płaskich i linii?

Jak nazywa się moment statyczny obszaru figury płaskiej względem osi, jak jest obliczany i jaki ma wymiar?

Jak określić położenie środka ciężkości obszaru, jeśli znane jest położenie środków ciężkości jego poszczególnych części?

Jakich twierdzeń pomocniczych używa się do określenia położenia środka ciężkości?

Podręcznik do klasy 7

§ 25.3. Jak znaleźć środek ciężkości ciała?

Przypomnijmy, że środek ciężkości jest punktem przyłożenia siły grawitacji. Zastanówmy się, jak eksperymentalnie znaleźć położenie środka ciężkości płaskiego ciała - powiedzmy dowolny kształt wycięty z tektury (patrz praca laboratoryjna nr 12).

Tekturową figurkę zawieszamy za pomocą szpilki lub gwoździa, aby mogła się swobodnie obracać wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O (ryc. 25.4, a). Wtedy tę figurę można uznać za dźwignię z punktem podparcia O.

Ryż. 25.4. Jak eksperymentalnie znaleźć środek ciężkości płaskiej figury?

Kiedy postać jest w równowadze, działające na nią siły równoważą się nawzajem. Jest to siła ciężkości F t, przyłożona w środku ciężkości figury T i siła sprężystości F, przyłożona w punkcie O (siła ta jest przykładana od strony szpilki lub gwoździa).

Te dwie siły równoważą się tylko pod warunkiem, że punkty przyłożenia tych sił (punkty T i O) leżą na tym samym pionie (patrz ryc. 25.4, a). W przeciwnym razie siła grawitacji obróci figurę wokół punktu O (ryc. 25.4, b).

Tak więc, gdy figura jest w równowadze, środek ciężkości leży na tej samej linii pionowej, co punkt zawieszenia O. Pozwala nam to określić położenie środka ciężkości figury. Narysujmy pionową linię za pomocą pionu przechodzącego przez punkt zawieszenia (niebieska linia na ryc. 25.4, c). Środek ciężkości ciała leży na narysowanej linii. Powtórzmy to doświadczenie z innym położeniem punktu zawieszenia. W rezultacie otrzymujemy drugą linię, na której leży środek ciężkości ciała (zielona linia na ryc. 25.4, d). W konsekwencji na przecięciu tych linii znajduje się pożądany środek ciężkości ciała (czerwony punkt D na ryc. 25.4, d).