6.1. Thông tin chung

Trung tâm của các lực lượng song song
Xét hai lực song song, một chiều và tác dụng vào vật tại các điểm MỘT 1 và MỘT 2 (Hình 6.1). Hệ thống lực này có một hệ quả, đường tác dụng của nó đi qua một điểm nhất định VỚI... Vị trí điểm VỚI có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định lý Varignon:

Nếu bạn xoay chuyển các lực xung quanh các điểm MỘT 1 và MỘT 2 theo một hướng và cùng một góc, khi đó chúng ta nhận được một hệ thống các sals song song mới có cùng môđun. Hơn nữa, kết quả của họ cũng sẽ đi qua điểm VỚI... Điểm này được gọi là tâm của các lực song song.
Xét một hệ thống các lực song song và có phương đều nhau tác dụng lên một vật cứng tại các điểm. Hệ thống này có một kết quả.
Nếu quay từng lực của hệ về các điểm tác dụng của chúng theo cùng một hướng và cùng một góc thì sẽ thu được các hệ lực mới song song có cùng môđun và điểm tác dụng. Kết quả của các hệ thống như vậy sẽ có cùng một mô-đun R nhưng mỗi lần một hướng khác nhau. Tập hợp lực lượng F 1 và F 2 chúng tôi thấy rằng kết quả của họ R 1 mà sẽ luôn đi qua điểm VỚI 1, vị trí của nó được xác định bởi sự bình đẳng. Thêm nữa R 1 và F 3, chúng tôi tìm thấy kết quả của chúng, sẽ luôn đi qua điểm VỚI 2 nằm trên một đường thẳng MỘT 3 VỚI 2. Sau khi kết thúc quá trình cộng lực, chúng tôi đi đến kết luận rằng kết quả của tất cả các lực thực sự sẽ luôn đi qua cùng một điểm VỚI, vị trí của nó so với các điểm sẽ không thay đổi.
Chấm VỚI, qua đó đường tác dụng của hệ quả của các lực song song đi qua bất kỳ chuyển động quay nào của các lực này về các điểm tác dụng của chúng theo phương cùng một góc được gọi là tâm của các lực song song (Hình 6.2).

Hình 6.2

Xác định tọa độ trọng tâm của các lực song song. Kể từ vị trí của điểm VỚIđối với vật thể là không thay đổi, thì tọa độ của nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ tọa độ. Chúng ta hãy biến tất cả các lực xung quanh ứng dụng của chúng để chúng trở nên song song với trục Đơn vị tổ chức và áp dụng định lý Varignon cho các lực quay. Bởi vì R " là kết quả của những lực này, sau đó, theo định lý Varignon, chúng ta có từ ,, chúng tôi nhận được

Từ đây ta tìm được tọa độ trọng tâm của các lực song song zc:

Để xác định tọa độ xc Hãy lập biểu thức mômen của các lực đối với trục Oz.

Để xác định tọa độ y C biến tất cả các lực để chúng trở nên song song với trục Oz.

Vị trí của trọng tâm của các lực song song so với gốc tọa độ (Hình 6.2) có thể được xác định bằng vectơ bán kính của nó:

6.2. Trọng tâm của một vật cứng

Trung tâm của lực hấp dẫn một cơ thể cứng được gọi là một điểm luôn liên kết với cơ thể này VỚI, qua đó đường tác dụng của hệ quả của lực hấp dẫn của vật thể nhất định đi qua, đối với bất kỳ vị trí nào của vật thể trong không gian.
Trọng tâm được sử dụng trong nghiên cứu sự ổn định của các vị trí cân bằng của các vật thể và môi trường liên tục dưới tác dụng của trọng lực và trong một số trường hợp khác, cụ thể là sức bền của vật liệu và cơ học kết cấu - khi sử dụng quy tắc Vereshchagin.
Có hai cách để xác định trọng tâm của vật thể: phân tích và thực nghiệm. Phương pháp phân tích xác định trọng tâm trực tiếp dựa trên khái niệm trọng tâm của các lực song song.
Tọa độ của trọng tâm, là tâm của các lực song song, được xác định theo công thức:

ở đâu R- trọng lượng toàn bộ cơ thể; pk- trọng lượng của các hạt cơ thể; xk, yk, zk- tọa độ của các hạt cơ thể.
Đối với một cơ thể đồng nhất, trọng lượng của toàn bộ cơ thể và bất kỳ bộ phận nào của nó tỷ lệ với thể tích P = Vγ, pk = vk γ, ở đâu γ - trọng lượng của một đơn vị thể tích, V- thể tích cơ thể. Biểu thức thay thế P, pk thành các công thức để xác định tọa độ của trọng tâm và, triệt tiêu bởi một hệ số chung γ , chúng tôi nhận được:

Chấm VỚI, tọa độ của nó được xác định bằng các công thức thu được, được gọi là trọng tâm của khối lượng.
Nếu vật thể là một bản mỏng đồng chất thì trọng tâm được xác định theo công thức:

ở đâu S- diện tích của toàn bộ tấm; sk- diện tích của một phần của nó; xk, yk- tọa độ trọng tâm của các bộ phận tấm.
Chấm VỚI trong trường hợp này được gọi là trọng tâm của khu vực.
Tử số của biểu thức xác định tọa độ trọng tâm của các hình phẳng được gọi là khoảnh khắc tatic của quảng trườngđối với các trục tại và X:

Khi đó trọng tâm của khu vực có thể được xác định theo công thức:

Đối với các vật thể có chiều dài gấp nhiều lần kích thước của mặt cắt ngang, thì trọng tâm của đoạn thẳng được xác định. Tọa độ trọng tâm của đoạn thẳng được xác định theo công thức:

ở đâu L- độ dài đoạn thẳng; lk- chiều dài của các bộ phận của nó; xk, yk, zk- tọa độ trọng tâm của các bộ phận đường thẳng.

6.3. Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của các vật thể

Dựa vào các công thức có được, có thể đề xuất các phương pháp xác định trọng tâm của các vật trong thực tế.
1. Đối diện... Nếu vật có tâm đối xứng thì trọng tâm là tâm đối xứng.
Nếu cơ thể có một mặt phẳng đối xứng. Ví dụ như mặt phẳng XOU, thì trọng tâm nằm trong mặt phẳng này.
2. Chia tách... Đối với các vật thể gồm các vật thể có hình dạng đơn giản, phương pháp tách rời được sử dụng. Cơ thể được chia thành nhiều phần, trọng tâm được tìm thấy bằng phương pháp đối xứng. Trọng tâm của toàn bộ vật thể được xác định bằng các công thức tính trọng tâm của thể tích (diện tích).

Thí dụ... Xác định trọng tâm của tấm cho trong hình dưới đây (Hình 6.3). Tấm có thể được chia thành các hình chữ nhật theo nhiều cách khác nhau và tọa độ của trọng tâm của mỗi hình chữ nhật và diện tích của chúng có thể được xác định.

Hình 6.3

Câu trả lời: xC= 17,0cm; yC= 18,0cm.

3. Phép cộng... Phương pháp này là một trường hợp đặc biệt của phương pháp tách. Nó được sử dụng khi cơ thể có vết cắt, vết cắt, v.v., nếu biết tọa độ trọng tâm của cơ thể không có vết cắt.

Thí dụ... Xác định trọng tâm của bản tròn có bán kính cắt r = 0,6 R(hình 6.4).

Hình 6.4

Bản tròn có tâm đối xứng. Đặt điểm gốc ở giữa tấm. Diện tích tấm không có vết cắt, diện tích có vết cắt. Khu vực tấm có khía; ...
Tấm khía có trục đối xứng О1 x, kể từ đây, y C=0.

4. Hội nhập... Nếu cơ thể không thể được chia thành một số phần hữu hạn, vị trí của các trọng tâm đã biết, thì cơ thể được chia thành các thể tích nhỏ tùy ý, mà công thức sử dụng phương pháp phân vùng có dạng: .
Sau đó, chúng vượt qua giới hạn, hướng các khối lượng cơ bản về 0, tức là bằng cách kéo các khối lượng thành các điểm. Các tổng được thay thế bằng các tích phân mở rộng cho toàn bộ thể tích của vật thể, khi đó công thức xác định tọa độ trọng tâm của thể tích có dạng:

Công thức xác định tọa độ trọng tâm của một khu vực:

Tọa độ trọng tâm của khu vực phải được xác định khi nghiên cứu trạng thái cân bằng của các tấm, khi tính tích phân Mohr trong cơ học kết cấu.

Thí dụ... Xác định trọng tâm của cung tròn bán kính R với góc trung tâm AOB= 2α (Hình 6.5).

Cơm. 6,5

Cung tròn đối xứng với trục ồ, do đó, trọng tâm của cung nằm trên trục ồ, ys = 0.
Theo công thức tính trọng tâm của đoạn thẳng:

6.Phương pháp thực nghiệm... Trọng tâm của các vật thể không đồng nhất có cấu hình phức tạp có thể được xác định bằng thực nghiệm: bằng phương pháp huyền phù và cân. Cách thứ nhất là cơ thể được treo trên một sợi dây ở nhiều điểm khác nhau. Hướng của sợi dây mà cơ thể được treo sẽ cho hướng của trọng lực. Giao điểm của các hướng này xác định trọng tâm của cơ thể.
Phương pháp cân trước tiên bao gồm việc xác định trọng lượng của một cơ thể, chẳng hạn như một chiếc ô tô. Khi đó sự cân bằng xác định áp lực của trục sau của xe lên giá đỡ. Sau khi biên soạn phương trình cân bằng đối với bất kỳ điểm nào, chẳng hạn như trục của bánh trước, bạn có thể tính khoảng cách từ trục này đến trọng tâm của ô tô (Hình 6.6).

Hình 6.6

Đôi khi khi giải bài toán cần áp dụng đồng thời các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm khác nhau.

6.4. Trọng tâm của một số hình dạng hình học đơn giản nhất

Để xác định trọng tâm của các vật thể có hình dạng thường xuyên xuất hiện (tam giác, cung tròn, cung, phân đoạn), có thể thuận tiện sử dụng dữ liệu tham khảo (Bảng 6.1).

Bảng 6.1

Tọa độ trọng tâm của một số vật thể đồng chất

№	Tên hình	Đang vẽ
	Vòng cung của một vòng tròn: trọng tâm của một cung tròn đều nằm trên trục đối xứng (tọa độ uc=0). R là bán kính của hình tròn.
	Khu vực tròn đồng nhất uc=0). với α là nửa góc ở tâm; R là bán kính của hình tròn.
	Bộ phận: trọng tâm nằm trên trục đối xứng (tọa độ uc=0). với α là nửa góc ở tâm; R là bán kính của hình tròn.
	Hình bán nguyệt:
	Tam giác: trọng tâm của tam giác đồng chất nằm tại giao điểm của các trung tuyến của nó. ở đâu x1, y1, x2, y2, x3, y3- tọa độ các đỉnh của tam giác
	Hình nón: trọng tâm của hình nón tròn đồng chất nằm ở độ cao của nó và cách mặt đáy của hình nón bằng 1/4 chiều cao.

Khả năng giữ thăng bằng mà không cần nỗ lực là rất quan trọng để thiền, yoga, khí công và múa bụng hiệu quả. Đây là yêu cầu đầu tiên mà những người mới tham gia vào các hoạt động này phải đối mặt và là một trong những lý do tại sao rất khó thực hiện những bước đầu tiên mà không có người hướng dẫn. Một câu hỏi gợi ý rằng một người không biết trọng tâm của mình có thể trông hơi khác. Trong khí công, ví dụ, một người sẽ hỏi làm thế nào để được thư giãn và đồng thời thực hiện các động tác khi đứng, một vũ công phương Đông mới bắt đầu sẽ không hiểu cách tách và phối hợp các chuyển động của thân dưới và thân trên, và cả trong cả hai trường hợp. mọi người sẽ hoạt động quá mức và thường mất ổn định. Di chuyển của họ sẽ không chắc chắn, khó xử.

Vì vậy, điều quan trọng là phải hiểu cách tự tìm trọng tâm, điều này đòi hỏi cả sự lao động trí óc và sự khéo léo, nhưng theo thời gian kỹ năng sẽ chuyển sang mức bản năng.

Bạn cần làm gì để không bị căng cơ, đồng thời không sử dụng các dụng cụ hỗ trợ từ bên ngoài. Câu trả lời là hiển nhiên, bạn cần phải di chuyển hỗ trợ vào bên trong. Chính xác hơn là dựa vào một trục bên trong thông thường. Trục này chạy ở đâu? Khái niệm trọng tâm là có điều kiện, nhưng nó vẫn được sử dụng trong vật lý. Ở đó, người ta thường định nghĩa nó là điểm tác dụng của các lực trọng trường kết quả. Kết quả của lực hấp dẫn là tổng hợp của tất cả các lực của trọng lực, có tính đến hướng tác động của chúng.

Khó chưa? Xin hãy kiên nhẫn.

Đó là, chúng ta đang tìm kiếm một điểm trên cơ thể cho phép chúng ta không gục ngã, không đấu tranh một cách có ý thức với sức hút trần gian. Điều này có nghĩa là lực hấp dẫn của trái đất phải được điều hướng để nó hội tụ với phần còn lại của các lực tác động ở đâu đó trong tâm cơ thể chúng ta.

Hướng của lực này tạo ra một trục có điều kiện ở chính tâm của cơ thể chúng ta, mặt thẳng đứng là phương thẳng đứng của trọng tâm. Phần cơ thể mà chúng ta dựa vào mặt đất là khu vực hỗ trợ của chúng ta (chúng ta dựa vào mặt đất bằng bàn chân của mình) Ở nơi mà phương thẳng đứng này dựa vào bề mặt mà chúng ta đứng, tức là chúng ta dựa vào mặt đất, điều này là điểm của trọng tâm bên trong vùng hỗ trợ. Nếu phương thẳng đứng bị lệch khỏi nơi này, chúng ta sẽ mất thăng bằng và ngã. Bản thân diện tích hỗ trợ càng lớn, chúng ta càng dễ dàng ở gần tâm của nó, và do đó, tất cả chúng ta sẽ tiến một bước rộng theo bản năng khi đứng trên một bề mặt không ổn định. Nghĩa là, khu vực hỗ trợ không chỉ là bàn chân, mà còn là không gian giữa chúng.

Cũng cần biết rằng chiều rộng của khu vực hỗ trợ ảnh hưởng nhiều hơn chiều dài. Trong trường hợp của một người, điều này có nghĩa là chúng ta có nhiều cơ hội ngã về phía mình hơn là lùi, và thậm chí còn nhiều hơn về phía trước. Do đó, khi chạy, chúng ta khó giữ thăng bằng hơn, gót chân cũng vậy. Nhưng ở những đôi giày rộng, ổn định thì ngược lại, nó dễ dàng chống lại hơn, thậm chí dễ dàng hơn so với việc đi chân trần hoàn toàn. Tuy nhiên, các hoạt động được đề cập ở phần đầu liên quan đến giày rất mềm, nhẹ hoặc không có giày nào cả. Do đó, chúng ta sẽ không thể tự mình đi giày được.

Vì vậy, việc tìm điểm chính giữa của đường thẳng đứng trên bàn chân của bạn là vô cùng quan trọng. Thông thường, nó không nằm ở trung tâm của bàn chân, như một số người tự động cho rằng, mà gần gót chân hơn, ở đâu đó cách trọng tâm của bàn chân đến gót chân một nửa.
Nhưng đó không phải là tất cả.

Ngoài đường thẳng đứng của trọng tâm, còn có đường nằm ngang, cũng như đường nằm riêng cho các chi.
Đường ngang dành cho nữ và nam chạy hơi khác một chút.

Ở phía trước, ở phụ nữ, nó chạy thấp hơn, và ở nam giới, cao hơn. Ở nam giới, nó đi đâu đó 4-5 ngón tay dưới rốn, và ở phụ nữ, khoảng 10 ngón tay. Phía sau, đường nữ chạy gần như đổ, và đường nam cao hơn nó khoảng năm ngón tay. Cũng cần chú ý đến đường dây dọi của trọng tâm đầu gối để tạo sự ổn định trong khi thiền. Nó nằm trên xương một chút (cẳng chân), nhưng hai hoặc ba ngón tay ở dưới sụn.

Trong khi thiền, như khi múa bụng, việc dang rộng bàn chân là không tốt lắm, độ rộng tối đa thường tương ứng với độ rộng của vai.

Do đó, bạn cần giúp mình một chút với đầu gối cố gắng xây dựng trục thẳng đứng càng thẳng càng tốt. Đứng trước gương, tìm tất cả các điểm được mô tả trên bạn. Đặt hai bàn chân của bạn rộng bằng vai. Thư giãn các cơ ở chân và cơ thể. Sau đó, duỗi thẳng lưng mà không làm căng cơ thể, thư giãn chân bằng cách hơi uốn cong đầu gối. Hãy tưởng tượng ba đường thẳng đứng, mỗi đường ở một điểm tương ứng ở phía sau thân, phía trước thân và xung quanh đầu gối. Cố gắng định vị các điểm sao cho trục trước của thân nằm khoảng giữa trục sau và trục đầu gối. Trong trường hợp này, đầu gối không được uốn cong để quá đầu ngón chân, chỉ nên hơi cong và thả lỏng. Tốt hơn là ở trên trọng tâm bên trong khu vực hỗ trợ mà chúng tôi tìm thấy trên bàn chân. Trong trường hợp này, bạn có thể tự do đặt tay dọc theo thần hoặc đặt lòng bàn tay lên hông.

Làm thế nào bạn biết bạn đã tìm thấy trọng tâm của bạn?

Bạn sẽ cảm thấy hơi lắc lư, nhưng đồng thời chắc chắn bạn sẽ biết rằng bạn sẽ không bị ngã.

Chủ đề tương đối dễ học, nhưng cực kỳ quan trọng khi học khóa học về sức bền của vật liệu. Sự chú ý chính ở đây cần được chú ý để giải quyết các bài toán với cả hình phẳng và hình học, và với các biên dạng cán tiêu chuẩn.

Câu hỏi để kiểm soát bản thân

1. Trọng tâm của các lực song song là gì?

Tâm của các lực song song là điểm mà đường của hệ quả của các lực song song tác dụng tại các điểm đã cho đi qua bất kỳ sự thay đổi nào về hướng của các lực này trong không gian.

2. Cách tìm tọa độ trọng tâm của các lực song song?

Để xác định tọa độ trọng tâm của các lực song song, ta sử dụng định lý Varignon.

Về trục x

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk và y C = Σy kFk / Σ Fk .

Về trục y

M y (R) = ΣM y (F k), - x C R = Σx kFk và x C = Σx kFk / Σ Fk .

Để xác định tọa độ z C , quay tất cả các lực 90 ° để chúng trở nên song song với trục y (Hình 1.5, b). sau đó

M z (R) = ΣM z (F k), - z C R = Σz kFk và z C = Σz kFk / Σ Fk .

Do đó, công thức xác định vectơ bán kính của tâm các lực song song có dạng

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. Trọng tâm của vật là gì?

Trung tâm của lực hấp dẫn - một điểm luôn liên kết với một vật thể cứng mà qua đó kết quả của lực hấp dẫn tác động lên các hạt của vật thể này đi qua bất kỳ vị trí nào của vật thể trong không gian. Đối với vật thể đồng chất có tâm đối xứng (hình tròn, quả bóng, hình lập phương,…) thì trọng tâm là tâm đối xứng của vật thể. Vị trí của trọng tâm của một vật cứng trùng với vị trí của khối tâm của nó.

4. Làm thế nào để tìm được trọng tâm của hình chữ nhật, tam giác, hình tròn?

Để tìm trọng tâm của một tam giác, bạn cần vẽ một tam giác - một hình gồm ba đoạn thẳng nối với nhau tại ba điểm. Trước khi tìm trọng tâm của hình, bạn cần dùng thước để đo độ dài một cạnh của hình tam giác. Đánh dấu ở giữa cạnh, sau đó nối đỉnh đối diện và giữa đoạn bằng một đoạn thẳng gọi là trung tuyến. Lặp lại thuật toán tương tự với cạnh thứ hai của tam giác và sau đó với cạnh thứ ba. Kết quả của công việc của bạn sẽ là ba trung tuyến, giao nhau tại một điểm, đó sẽ là trọng tâm của tam giác. Nếu cần xác định trọng tâm của đĩa tròn đồng chất thì trước hết phải tìm giao điểm của các đường kính của hình tròn. Cô ấy sẽ là trọng tâm của cơ thể này. Xét các hình như một quả bóng, một cái vòng và một hình chữ nhật đồng chất có hình bình hành, chúng ta có thể tin chắc rằng trọng tâm của cái vòng sẽ nằm ở tâm của hình đó, nhưng ở bên ngoài các điểm của nó, trọng tâm của quả bóng là tâm hình học của hình cầu, và trong trường hợp thứ hai, trọng tâm là các đường chéo giao nhau của một hình chữ nhật có hình bình hành.

5. Làm thế nào để tìm tọa độ trọng tâm của một mặt cắt phẳng?

Phương pháp tách: Nếu một hình phẳng có thể chia thành một số hữu hạn các phần như vậy, ứng với mỗi phần đã biết vị trí của trọng tâm, thì tọa độ của trọng tâm của toàn bộ hình được xác định theo công thức:

X C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

trong đó x k, y k - tọa độ trọng tâm của các bộ phận của hình;

s k - khu vực của chúng;

S = s k - diện tích toàn phần.

6. Trọng tâm

1. Trong trường hợp nào thì việc xác định một tọa độ bằng phép tính là đủ để xác định trọng tâm?

Trong trường hợp đầu tiên, để xác định trọng tâm, chỉ cần xác định một tọa độ là đủ. Cơ thể được chia thành một số phần hữu hạn, với mỗi phần là vị trí của trọng tâm. C và khu vực S được biêt đên. Ví dụ, hình chiếu của cơ thể lên mặt phẳng xOy (Hình 1.) có thể được biểu diễn dưới dạng hai hình phẳng có diện tích S 1 và S 2 (S = S 1 + S 2 ). Trọng tâm của các hình này ở những điểm C 1 (x 1, y 1) và C 2 (x 2, y 2) ... Khi đó tọa độ trọng tâm của vật là

Vì tâm của các hình nằm trên trục tọa độ (x = 0), chúng tôi chỉ tìm thấy tọa độ Ria.

2 Diện tích của lỗ trên hình 4 được tính như thế nào trong công thức xác định trọng tâm của hình?

Phương pháp khối lượng âm

Phương pháp này bao gồm thực tế là một vật thể có các khoang tự do được coi là rắn, và khối lượng các khoang tự do được coi là âm. Dạng công thức xác định tọa độ trọng tâm của vật không thay đổi trong trường hợp này.

Do đó, khi xác định trọng tâm của vật có các hốc tự do, nên sử dụng phương pháp phân vùng, nhưng khối lượng của các hốc phải được coi là âm.

có một ý tưởng về trọng tâm của các lực song song và tính chất của nó;

biết rôi công thức xác định tọa độ trọng tâm của hình phẳng;

có thể xác định tọa độ trọng tâm của hình phẳng các hình hình học đơn giản và biên dạng cán tiêu chuẩn.

CÁC YẾU TỐ HÓA HỌC VÀ ĐỘNG HỌC
Sau khi nghiên cứu động học của một điểm, hãy chú ý đến thực tế là chuyển động thẳng của một điểm, cả không đều và đều, luôn được đặc trưng bởi sự có mặt của gia tốc pháp tuyến (hướng tâm). Với chuyển động tịnh tiến của vật (được đặc trưng bởi chuyển động của bất kỳ điểm nào của nó), tất cả các công thức của chuyển động học của một điểm đều có thể áp dụng được. Các công thức xác định các giá trị góc của một vật thể quay quanh một trục cố định có sự tương đồng hoàn toàn về ngữ nghĩa với các công thức xác định các giá trị tuyến tính tương ứng của một vật thể chuyển động tịnh tiến.

Chủ đề 1.7. Động học điểm
Khi học chủ đề cần chú ý các khái niệm cơ bản về động học: gia tốc, vận tốc, đường đi, quãng đường.

Câu hỏi để kiểm soát bản thân

1. Tính tương đối của các khái niệm về nghỉ và chuyển động là gì?

Chuyển động cơ học là sự thay đổi chuyển động của một cơ thể, hoặc (các bộ phận của nó) trong không gian so với các cơ thể khác theo thời gian. Sự bay của một hòn đá ném, sự quay của một bánh xe là những ví dụ về chuyển động cơ học.

2. Nêu định nghĩa các khái niệm cơ bản của động học: quỹ đạo, quãng đường, đường đi, vận tốc, gia tốc, thời gian.

Vận tốc là thước đo động học của chuyển động của một điểm, đặc trưng cho tốc độ thay đổi vị trí của nó trong không gian. Vận tốc là một đại lượng vectơ, nghĩa là nó được đặc trưng không chỉ bởi môđun (thành phần vô hướng), mà còn bởi hướng trong không gian.

Như đã biết từ vật lý, với chuyển động đều, tốc độ có thể được xác định bằng độ dài của con đường đi được trong một đơn vị thời gian: v = s / t = const (giả thiết rằng gốc của con đường và thời gian trùng nhau). Trong chuyển động thẳng đều, tốc độ không đổi cả về giá trị tuyệt đối và hướng, và vectơ của nó trùng với quỹ đạo.

Đơn vị tốc độ hệ thống SIđược xác định bởi tỷ lệ thời lượng / thời gian, tức là m / s.

Gia tốc là một đại lượng động học về sự thay đổi tốc độ của một điểm trong thời gian. Nói cách khác, gia tốc là tốc độ thay đổi.
Giống như tốc độ, gia tốc là một đại lượng vectơ, nghĩa là nó không chỉ được đặc trưng bởi môđun mà còn bởi hướng trong không gian.

Trong chuyển động thẳng đều, vectơ vận tốc luôn trùng với quỹ đạo, và do đó vectơ biến đổi vận tốc cũng trùng với quỹ đạo.

Từ khóa học vật lý, người ta biết rằng gia tốc là sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian. Nếu trong một khoảng thời gian ngắn Δt tốc độ của chất điểm thay đổi Δv thì gia tốc trung bình trong khoảng thời gian này là: a cf = Δv / Δt.

Gia tốc trung bình không cung cấp dấu hiệu về độ lớn thực sự của sự thay đổi tốc độ tại bất kỳ thời điểm nào. Trong trường hợp này, rõ ràng là khoảng thời gian được coi là ngắn hơn, trong đó tốc độ thay đổi xảy ra, giá trị gia tốc sẽ càng gần với giá trị thực (tức thời).
Do đó định nghĩa: gia tốc thực (tức thời) là giới hạn mà gia tốc trung bình có xu hướng khi Δt có xu hướng bằng không:

a = lim a cp là t → 0 hoặc lim Δv / Δt = dv / dt.

Xét rằng v = ds / dt, ta được: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

Gia tốc thực trong chuyển động thẳng đều bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc hoặc đạo hàm bậc hai của tọa độ (khoảng cách từ gốc độ dời) theo thời gian. Đơn vị của gia tốc là mét chia cho bình phương giây (m / s 2).

Quỹ đạo- một đường trong không gian mà một điểm vật chất di chuyển dọc theo.
Đường dẫn là chiều dài của quỹ đạo. Quãng đường đi ngang l bằng độ dài cung tròn của quỹ đạo do vật truyền đi trong thời gian t nào đó. Đường dẫn là một vô hướng.

Khoảng cách xác định vị trí của một điểm trên quỹ đạo của nó và được đo từ một gốc nhất định. Khoảng cách là một đại lượng đại số, vì tùy thuộc vào vị trí của điểm so với gốc tọa độ và theo hướng được chấp nhận của trục khoảng cách, nó có thể vừa dương vừa âm. Không giống như khoảng cách, đường đi của một điểm luôn là một số dương. Đường đi trùng với giá trị tuyệt đối của khoảng cách chỉ khi chuyển động của điểm bắt đầu từ gốc tọa độ và đi theo đường đi theo một hướng.

Trong trường hợp tổng quát về chuyển động của một chất điểm, đường đi bằng tổng các giá trị tuyệt đối của quãng đường mà chất điểm đi được trong một khoảng thời gian nhất định:

3. Quy luật chuyển động của chất điểm có thể được xác định bằng những cách nào?

1. Phương thức tự nhiên để xác định chuyển động của một điểm.

Với phương pháp xác định chuyển động tự nhiên, giả thiết xác định các tham số của chuyển động của một điểm trong hệ quy chiếu chuyển động, gốc của hệ quy chiếu đó trùng với điểm chuyển động và tiếp tuyến, pháp tuyến và song song với quỹ đạo của điểm ở mỗi vị trí của nó đóng vai trò như các trục. Để thiết lập quy luật chuyển động của một điểm theo cách tự nhiên, bạn cần:

1) biết quỹ đạo chuyển động;

2) thiết lập điểm gốc trên đường cong này;

3) thiết lập một hướng di chuyển tích cực;

4) đưa ra định luật chuyển động của một điểm dọc theo đường cong này, tức là biểu thị khoảng cách từ điểm gốc đến vị trí của một điểm trên đường cong tại một thời điểm nhất định ∪OM = S (t) .

2.Vector cách xác định chuyển động của điểm

Trong trường hợp này, vị trí của một điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian được xác định bởi một hàm vectơ. Vectơ này được vẽ từ một điểm cố định được chọn làm điểm gốc, điểm cuối của nó xác định vị trí của điểm chuyển động.

3.Cách phối hợp để chỉ định chuyển động của điểm

Trong hệ tọa độ đã chọn, tọa độ của điểm chuyển động được đặt dưới dạng một hàm của thời gian. Trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, đây sẽ là các phương trình:

4. Vectơ vận tốc thực của chất điểm có hướng như thế nào trong quá trình chuyển động theo đường cong?

Với chuyển động không đều của một điểm, môđun tốc độ của nó thay đổi theo thời gian.
Hãy tưởng tượng một điểm có chuyển động được cho theo phương tự nhiên bởi phương trình s = f (t).

Nếu trong một khoảng thời gian ngắn Δt mà một chất điểm đi được quãng đường Δs thì tốc độ trung bình của nó bằng:

vav = Δs / Δt.

Tốc độ trung bình không cung cấp ý tưởng về tốc độ thực tại bất kỳ thời điểm nhất định nào trong thời gian (tốc độ thực được gọi là tốc độ tức thời). Rõ ràng, khoảng thời gian xác định tốc độ trung bình càng ngắn thì giá trị của nó càng gần với tốc độ tức thời.

Tốc độ thực (tức thời) là giới hạn mà tốc độ trung bình có xu hướng là Δt có xu hướng bằng không:

v = lim v cf khi t → 0 hoặc v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

Do đó, giá trị số của tốc độ thực là v = ds / dt.
Tốc độ thực (tức thời) đối với bất kỳ chuyển động nào của một điểm bằng đạo hàm bậc nhất của tọa độ (tức là khoảng cách từ điểm gốc của chuyển động) theo thời gian.

Khi Δt có xu hướng bằng không, Δs cũng có xu hướng bằng không, và như chúng ta đã tìm hiểu, vectơ vận tốc sẽ là tiếp tuyến (tức là nó trùng với vectơ vận tốc thực v). Từ đó suy ra giới hạn của vectơ vận tốc có điều kiện v p, bằng giới hạn của tỉ số giữa vectơ độ dời của chất điểm trong một khoảng thời gian nhỏ vô hạn, bằng vectơ vận tốc thực của chất điểm.

5. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của một điểm có hướng như thế nào?

Chiều của vectơ gia tốc trùng với chiều của biến đổi tốc độ Δ = - 0

Gia tốc tiếp tuyến tại một điểm cho trước có phương tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đó; nếu chuyển động có gia tốc thì phương của vectơ gia tốc tiếp tuyến trùng với hướng của vectơ vận tốc; nếu chuyển động chậm dần đều thì hướng của vectơ gia tốc tiếp tuyến ngược với hướng của vectơ vận tốc.

6. Chuyển động của một chất điểm nếu gia tốc tiếp tuyến bằng không và gia tốc pháp tuyến không thay đổi theo thời gian?

Chuyển động đường cong đồng nhấtđược đặc trưng bởi thực tế là giá trị số của tốc độ là không đổi ( v= const), tốc độ chỉ thay đổi theo hướng. Trong trường hợp này, gia tốc tiếp tuyến bằng 0, vì v= const(hình b),

và gia tốc bình thường không bằng 0, vì r là giá trị cuối cùng.

7. Đồ thị động học với chuyển động thẳng biến đổi đều có dạng như thế nào?

Với chuyển động đều, cơ thể đi qua những quãng đường bằng nhau trong bất kỳ khoảng thời gian nào bằng nhau. Để mô tả động học của chuyển động thẳng đều, trục tọa độ CON BÒ ĐỰC vị trí thuận tiện dọc theo đường chuyển động. Vị trí của cơ thể trong quá trình chuyển động đều được xác định bằng cách xác định một tọa độ x... Vectơ độ dời và vectơ vận tốc luôn hướng song song với trục tọa độ CON BÒ ĐỰC... Do đó, độ dời và tốc độ trong chuyển động thẳng đều có thể chiếu lên trục CON BÒ ĐỰC và coi các phép chiếu của chúng là các đại lượng đại số.

Với chuyển động đều, đường đi thay đổi theo quan hệ tuyến tính. Trong các tọa độ. Đồ thị là một đường xiên.

Kết quả của việc nghiên cứu chủ đề, sinh viên phải:

có một ý tưởng về không gian, thời gian, quỹ đạo; tốc độ trung bình và thực;

biết rôi cách xác định chuyển động của một điểm; các thông số của chuyển động của chất điểm dọc theo một quỹ đạo cho trước.

Dựa vào các công thức tổng quát thu được ở trên, có thể chỉ ra các phương pháp cụ thể để xác định tọa độ trọng tâm của các vật thể.

1. Đối diện. Nếu một vật thể đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng (Hình 7), thì trọng tâm của nó lần lượt nằm trong mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng hoặc tâm đối xứng.

Hình 7

2. Chia tách. Cơ thể được chia thành một số phần hữu hạn (Hình 8), mỗi phần đã biết vị trí của trọng tâm và diện tích.

Hình 8

3.Phương pháp vùng âm. Một trường hợp đặc biệt của phương pháp phân vùng (Hình 9). Nó áp dụng cho các cơ thể có vết cắt nếu biết trọng tâm của cơ thể không có vết cắt và phần bị cắt. Cơ thể ở dạng tấm có mặt cắt là sự kết hợp của một tấm đặc (không có mặt cắt) có diện tích S 1 và diện tích mặt cắt S 2.

Hình 9

4.Phương pháp phân nhóm. Nó là một bổ sung tốt cho hai phương pháp cuối cùng. Sau khi chia hình thành các phần tử cấu thành, có thể thuận tiện khi kết hợp một số phần tử trong số chúng lại, để sau đó đơn giản hóa giải bằng cách tính đến tính đối xứng của nhóm này.

Trọng tâm của một số vật thể đồng chất.

1) Trọng tâm của cung tròn. Xem xét một vòng cung AB bán kính R với một góc trung tâm. Nhờ tính đối xứng, trọng tâm của cung này nằm trên trục Con bò đực(hình 10).

Hình 10

Hãy tìm tọa độ bằng cách sử dụng công thức. Để làm điều này, hãy chọn trên vòng cung AB thành phần MM ' chiều dài, vị trí của nó được xác định bởi góc. Danh từ: Tọa độ X thành phần MM ' sẽ . Thay thế các giá trị này X và d l và lưu ý rằng tích phân phải được mở rộng đến toàn bộ chiều dài của cung, chúng ta nhận được:

ở đâu L- chiều dài cung AB tương đương với.

Do đó, cuối cùng chúng ta thấy rằng trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng của nó cách tâm một khoảng O tương đương với

trong đó góc được đo bằng radian.

2) Trọng tâm của diện tích tam giác. Xét một tam giác nằm trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của các đỉnh đã biết: A tôi(x tôi,y tôi), (tôi= 1,2,3). Bẻ hình tam giác thành các dải hẹp song song với cạnh bên MỘT 1 MỘT 2, chúng ta đi đến kết luận rằng trọng tâm của tam giác phải thuộc đường trung tuyến MỘT 3 M 3 (hình 11).

Hình 11

Bẻ hình tam giác thành các dải song song với cạnh bên MỘT 2 MỘT 3, bạn có thể đảm bảo rằng nó phải nằm trên dải phân cách MỘT 1 M một . Theo cách này, trọng tâm của một tam giác nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của nó, như bạn đã biết, tách một phần ba từ mỗi đường trung bình, tính từ cạnh tương ứng.

Đặc biệt, đối với dải phân cách MỘT 1 M 1 chúng tôi thu được, có tính đến tọa độ của điểm M 1 là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh MỘT 2 và MỘT 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Như vậy, tọa độ trọng tâm của tam giác là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của nó:

x C = (1/3) Σ x tôi ; y C = (1/3) Σ y tôi.

3) Trọng tâm của diện tích hình tròn. Xét một cung của một hình tròn bán kính R hợp với tâm một góc 2α, nằm đối xứng qua trục Con bò đực(hình 12).

Hiển nhiên là y C = 0, và khoảng cách từ tâm của hình tròn mà từ đó khu vực này bị cắt đến trọng tâm của nó có thể được xác định theo công thức:

Hình 12

Cách dễ nhất để tính tích phân này là chia vùng tích phân thành các cung cơ bản với một góc dφ. Lên đến bậc đầu tiên trong hệ thập phân, một cung như vậy có thể được thay thế bằng một hình tam giác có cơ số bằng R× dφ và chiều cao R... Diện tích của một tam giác như vậy dF=(1/2)R 2 ∙dφ, và trọng tâm của nó ở khoảng cách 2/3 R từ đỉnh; do đó, trong (5) chúng tôi đặt x = (2/3)R∙ cosφ. Thay thế trong (5) F= α R 2, chúng tôi nhận được:

Sử dụng công thức cuối cùng, chúng tôi tính toán, cụ thể là khoảng cách đến trọng tâm hình bán nguyệt.

Thay α = π / 2 vào (2), ta được: x C = (4R) / (3π) ≅ 0,4 R .

Ví dụ 1. Hãy để chúng tôi xác định trọng tâm của vật thể đồng chất được hiển thị trong hình. mười ba.

Hình 13

Cơ thể đồng nhất, gồm hai phần có hình dạng đối xứng nhau. Tọa độ của trọng tâm của chúng:

Khối lượng của họ:

Do đó, tọa độ trọng tâm của cơ thể

Ví dụ 2. Tìm trọng tâm của tấm bị uốn góc vuông. Kích thước - trong hình vẽ (Hình 14).

Hình 14

Tọa độ trọng tâm:

Hình vuông:

Cơm. 6.5.

Ví dụ 3. Một lỗ hình vuông được cắt ra từ một tấm hình vuông cm (Hình 15). Tìm trọng tâm của lá.

Hình 15

Trong nhiệm vụ này, sẽ thuận tiện hơn khi chia cơ thể thành hai phần: một hình vuông lớn và một lỗ vuông. Chỉ khu vực của lỗ nên được coi là âm. Khi đó tọa độ trọng tâm của tấm với lỗ:

danh từ: Tọa độ vì vật thể có trục đối xứng (đường chéo).

Ví dụ 4. Kim ghim (hình 16) gồm ba đoạn có chiều dài bằng nhau l.

Hình 16

Tọa độ trọng tâm của các mặt cắt:

Do đó, tọa độ trọng tâm của toàn bộ giá đỡ:

Ví dụ 5. Xác định vị trí của trọng tâm của giàn, tất cả các thanh của chúng có mật độ tuyến tính như nhau (Hình 17).

Nhớ lại rằng trong vật lý, khối lượng riêng của một vật ρ và trọng lượng riêng g của nó có quan hệ với nhau theo quan hệ: γ = ρ g, ở đâu g- Gia tốc trọng lực. Để tìm khối lượng của một vật thể đồng nhất như vậy, bạn cần nhân khối lượng riêng với thể tích của nó.

Hình 17

Thuật ngữ mật độ "tuyến tính" hoặc "tuyến tính" có nghĩa là để xác định khối lượng của một thanh giàn, mật độ tuyến tính phải được nhân với chiều dài của thanh này.

Để giải quyết vấn đề, bạn có thể sử dụng phương pháp tách. Biểu diễn một giàn đã cho dưới dạng tổng của 6 thanh riêng lẻ, chúng ta nhận được:

ở đâu L tôi chiều dài tôi- thanh giàn thứ, và x tôi, y tôi- tọa độ của trọng tâm của nó.

Vấn đề này có thể được đơn giản hóa bằng cách nhóm 5 thành viên kèo cuối cùng. Dễ dàng nhận thấy chúng tạo thành một hình có tâm đối xứng nằm ở giữa thanh thứ 4, nơi đặt trọng tâm của nhóm thanh này.

Do đó, một kèo nhất định có thể được biểu diễn bằng sự kết hợp của chỉ hai nhóm thanh.

Nhóm đầu tiên bao gồm thanh đầu tiên, cho nó L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Nhóm que thứ hai gồm năm que tính, L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Tọa độ trọng tâm của trang trại được tìm theo công thức:

x C = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 m;

y C = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 m.

Lưu ý rằng trung tâm VỚI nằm trên đường thẳng nối VỚI 1 và VỚI 2 và chia đoạn VỚI 1 VỚI 2 liên quan đến: VỚI 1 VỚI/SS 2 = (x C - x 1)/(x 2 - x C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Câu hỏi tự kiểm tra

Thế nào gọi là trọng tâm của các lực song song?

Tọa độ trọng tâm của các lực song song được xác định như thế nào?

Làm thế nào để xác định trọng tâm của các lực song song, kết quả của nó bằng không?

Trọng tâm của các lực song song có tính chất gì?

Công thức nào dùng để tính toạ độ trọng tâm của các lực song song?

Thế nào gọi là trọng tâm của vật?

Tại sao các lực tác dụng lên Trái Đất, tác dụng lên một điểm của cơ thể, có thể được coi là một hệ thống các lực song song?

Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của vật không đồng chất và đồng chất, công thức xác định vị trí trọng tâm của tiết diện phẳng?

Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của các hình học đơn giản: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang và nửa hình tròn?

Thế nào gọi là mômen tĩnh của hình vuông?

Cho ví dụ về vật có trọng tâm nằm ngoài vật.

Tính chất của phép đối xứng được sử dụng như thế nào để xác định trọng tâm của các vật?

Thực chất của phương pháp trọng số âm là gì?

Trọng tâm của cung tròn nằm ở đâu?

Làm thế nào bạn có thể tìm thấy trọng tâm của một tam giác bằng đồ thị?

Viết công thức tính trọng tâm của hình tròn.

Sử dụng các công thức về trọng tâm của tam giác và cung tròn, hãy suy ra công thức tương tự đối với một đoạn tròn.

Công thức nào dùng để tính toạ độ trọng tâm của các vật thể đồng chất, hình phẳng và đường thẳng?

Thế nào được gọi là mômen tĩnh của diện tích hình phẳng so với trục, nó được tính như thế nào và có chiều như thế nào?

Làm thế nào để xác định vị trí của trọng tâm của một khu vực nếu vị trí của trọng tâm của các bộ phận riêng lẻ của nó?

Định lý bổ trợ nào được sử dụng để xác định vị trí của trọng tâm?

SGK lớp 7 |

§ 25.3. Làm thế nào để tìm trọng tâm của vật?

Nhớ lại rằng trọng tâm là điểm tác dụng của lực hấp dẫn. Chúng ta hãy xem xét cách thực nghiệm tìm vị trí của trọng tâm của một vật phẳng - một hình dạng tùy ý được cắt ra từ bìa cứng (xem phòng thí nghiệm số 12).

Ta treo hình bìa cứng bằng một chiếc đinh ghim hoặc đinh để nó có thể quay tự do quanh trục hoành đi qua điểm O (Hình 25.4, a). Khi đó hình này có thể coi là đòn bẩy có điểm tựa O.

Cơm. 25.4. Cách tìm trọng tâm của hình phẳng bằng thực nghiệm

Khi một hình cân bằng, các lực tác dụng lên nó cân bằng lẫn nhau. Đây là lực hấp dẫn F t, tác dụng tại trọng tâm của hình T, và điều khiển lực đàn hồi F, tác dụng tại điểm O (lực này được tác dụng từ mặt bên của một chốt hoặc đinh).

Hai lực này chỉ cân bằng nhau trong điều kiện các điểm tác dụng của các lực này (điểm T và O) nằm trên cùng một phương thẳng đứng (xem Hình 25.4, a). Nếu không, lực hấp dẫn sẽ quay hình xung quanh điểm O (Hình 25.4, b).

Vì vậy, khi hình cân bằng, trọng tâm nằm trên cùng một đường thẳng đứng với điểm treo O. Điều này cho phép chúng ta xác định vị trí của trọng tâm của hình. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đứng với sự trợ giúp của một dây dọi đi qua điểm treo (đường màu xanh lam trong Hình 25.4, c). Trọng tâm của cơ thể nằm trên đường vẽ. Hãy để chúng tôi lặp lại thí nghiệm này với một vị trí khác của điểm treo. Kết quả là, chúng ta có được đường thứ hai mà trọng tâm của cơ thể nằm trên đó (đường màu xanh lá cây trong Hình 25.4, d). Do đó, tại giao điểm của các đường này là trọng tâm mong muốn của cơ thể (điểm D màu đỏ trong Hình 25.4, d).