Визначення центру важкості плоских фігур. Способи визначення координат центру тяжіння Як визначити центр тяжіння тіл неправильної форми

Примітка.Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії.

Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. При розв'язанні задач використовуються такі методи:

1. Спосіб симетрії: центр тяжкості симетричних фігур знаходиться на осі симетрії;

2. метод поділу: складні перерізи поділяємо на кілька простих частин, становище центрів тяжкості яких легко визначити;

3. Метод негативних площ: порожнини (отвори) розглядаються як частина перерізу з негативною площею.

Приклади розв'язання задач

Приклад1.Визначити становище центру тяжкості фігури, представленої на рис. 8.4.

Рішення

Розбиваємо фігуру на три частини:

Аналогічно визначається уЗ = 4,5 див.

приклад 2.Знайти положення центру ваги симетричної стрижневої ферми ADBE(Рис. 116), розміри якої такі: АВ = 6м, DE = 3 м та EF = 1м.

Рішення

Оскільки ферма симетрична, її центр ваги лежить на осі симетрії DF.При обраній (рис. 116) системі координатних осей абсцис центру тяжкості ферми

Невідомою, отже, є лише ордината у Сцентр тяжкості ферми. Для її визначення розбиваємо ферму деякі частини (стрижні). Довжини визначаються з відповідних трикутників.

З ΔAEFмаємо

З ΔADFмаємо

Центр тяжкості кожного стрижня лежить у його середині, координати цих центрів легко визначаються із креслення (рис. 116).

Знайдені довжини та ординати центрів тяжкості окремих частин ферми заносимо до таблиці та за формулою

визначаємо ординату у зцентру тяжкості даної плоскої ферми.

Отже, центр тяжкості Звсієї ферми лежить на осі DFсиметрії ферми на відстані 1,59 м від точки F.

Приклад 3.Визначити координати центру важкості складеного перерізу. Перетин складається з листа та прокатних профілів (рис. 8.5).

Примітка.Часто рами зварюють із різних профілів, створюючи необхідну конструкцію. Таким чином, зменшується витрата металу та утворюється конструкція високої міцності.

Для стандартних прокатних профілів відомі власні геометричні характеристики. Вони наводяться у відповідних стандартах.

Рішення

1. Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиць необхідні дані:

1 – швелер № 10 (ГОСТ 8240-89); висота h = 100 мм; ширина полиці b= 46 мм; площа перерізу А 1= 10,9 см 2;

2 – двотавр № 16 (ГОСТ 8239-89); висота 160 мм; ширина полиці 81 мм; площа перерізу А 2 - 20,2 см 2;

3 – лист 5x100; товщина 5мм; ширина 100мм; площа перерізу A 3 = 0,5 10 = 5 см2.

2. Координати центрів ваги кожної фігури можна визначити за кресленням.

Складовий переріз симетричний, тому центр тяжіння знаходиться на осі симетрії та координата хЗ = 0.

3. Визначення центру важкості складового перерізу:

Приклад 4.Визначити координати центру тяжкості перерізу, показаного на рис. 8, а.Перетин складається з двох куточків 56x4 та швелера № 18. Виконати перевірку правильності визначення положення центру тяжіння. Вказати його положення на перетині.

Рішення

1. : два куточки 56 х 4 та швелер № 18. Позначимо їх 1, 2, 3 (див. рис. 8, а).

2. Вкажемо центри важкостікожного профілю, використовуючи табл. 1 та 4 дод. I, і позначимо їх З 1, З 2, 3 .

3. Виберемо систему координатних осей.Ось усумісний із віссю симетрії, а вісь хпроведемо через центри ваги куточків.

4. Визначимо координати центру тяжкості перетину.Бо вісь узбігається з віссю симетрії, вона проходить через центр тяжкості перерізу, тому х с= 0. Координату у звизначимо за формулою

Користуючись таблицями програми, визначимо площі кожного профілю та координати центрів тяжіння:

Координати у 1і у 2рівні нулю, тому що вісь хпроходить через центри ваги куточків. Підставимо отримані значення формулу для визначення у з:

5. Вкажемо центр тяжкості перерізу на рис. 8, а й позначимо його літерою С.Покажемо відстань у С = 2,43 см від осі хдо точки З.

Оскільки куточки симетрично розташовані, мають однакову площу та координати, то А 1 = А 2, у 1 = у 2.Тому формула для визначення у Сможе бути спрощена:

6. Виконаємо перевірку.Для цього вісь хпроведемо по нижньому краю полиці куточка (рис. 8, б). Ось узалишимо, як у першому рішенні. Формули для визначення х Зі у Сне змінюються:

Площі профілів залишаться такими ж, а координати центрів ваг куточків та швелера зміняться. Випишемо їх:

Знаходимо координату центру тяжкості:

За знайденими координатами х сі у знаносимо на малюнок точку З. Знайдене двома способами становище центру тяжкості перебуває у тому точці. Перевіримо це. Різниця між координатами у с,знайденими при першому та другому рішенні, становить: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.

Це дорівнює відстані між осями х при першому та другому рішенні: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.

Відповідь: у с= 2,43 см, якщо вісь х проходить через центри ваги куточків, або у с = 6,51 см, якщо вісь х проходить нижній край полиці куточка.

Приклад 5.Визначити координати центру тяжкості перерізу, зображеного на рис. 9, а.Перетин складається з двотавра № 24 та швелера №.24а. Показати положення центру ваги на перетині.

Рішення

1.Розіб'ємо перетин на профілі прокату: двотавр та швелер. Позначимо їх цифрами 1 та 2.

3. Зазначимо центри ваги кожного профілюЗ 1 і З 2 використовуючи таблиці додатків.

4. Виберемо систему осей координат. Ось їх сумісний з віссю симетрії, а ось у проведемо через центр тяжкості двотавра.

5. Визначимо координати центру тяжкості перерізу. Координата у с = 0, тому що вісь хзбігається з віссю симетрії. Координату х з визначимо за формулою

За табл. 3 та 4 дод. I і схемою перерізу визначимо

Підставимо числові значення у формулу та отримаємо

5. Нанесемо точку С (центр тяжкості перерізу) за знайденими значеннями х с і у с (див. рис. 9, а).

Перевірку рішення необхідно виконати самостійно при положенні осей, як показано на рис. 9, б. В результаті рішення отримаємо х с = 11,86 см. Різниця між значеннями х с при першому і другому рішенні дорівнює 11,86 - 6,11 = 5,75 см, що дорівнює відстані між осями у при тих же рішеннях b дв /2 = 5,75 див.

Відповідь: х с = 6,11 см, якщо вісь проходить через центр тяжкості двотавра; х с = 11,86 см, якщо вісь проходить через ліві крайні точки двотавра.

Приклад 6.Залізничний кран спирається на рейки, відстань між якими АВ = 1,5 м (рис. 1.102). Сила тяжіння візка крана G r = 30 кН, центр ваги візка знаходиться в точці С, що лежить на лінії KL перетину площини симетрії візка з площиною малюнка. Сила тяжкості лебідки крана Q л = 10 кН прикладена у точці D.Сила тяжкості противаги G„=20 кН прикладена в точці Е. Сила тяжіння стріли G c = 5 кН прикладена в точці Н. Виліт крана щодо лінії KL дорівнює 2 м. Визначити коефіцієнт стійкості крана в ненавантаженому стані та який вантаж Fможна підняти цим краном за умови, що коефіцієнт стійкості має бути не менше двох.

Рішення

1. У ненавантаженому стані у крана виникає небезпека перекидання при повороті навколо рейки А.Отже, щодо точки Амомент стійкості

2. Перекидаючий момент щодо точки Астворюється силою тяжкості противаги, тобто.

3. Звідси коефіцієнт стійкості крана у ненавантаженому стані

4. При навантаженні стріли крана вантажем Fвиникає небезпека перекидання крана з поворотом біля рейки В. Отже, щодо точки Вмомент стійкості

5. Перекидальний момент щодо рейки В

6. За умовою завдання експлуатація крана дозволяється за коефіцієнта стійкості k B ≥ 2 , тобто.

Контрольні питання та завдання

1. Чому сили тяжіння до Землі, що діють на точки тіла, можна сприйняти як систему паралельних сил?

2. Запишіть формули визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формули визначення положення центру тяжкості плоских перерізів.

3. Повторіть формули для визначення положення центру тяжкості простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола.

4.
Що називають статичним моментом майдану?

5. Обчисліть статичний момент цієї фігури щодо осі Ox. h= 30 див; b= 120 див; з= 10 див (рис. 8.6).

6. Визначте координати центру ваги заштрихованої фігури (рис. 8.7). Розміри наведені в мм.

7. Визначте координату уфігури 1 складеного перерізу (рис. 8.8).

При вирішенні скористатися довідковими даними таблиць ГОСТ «Сталь гарячекатана» (див. Додаток 1).

Мета роботи – визначити центр тяжкості складної фігури аналітичним та досвідченим шляхами.

Теоретичне обґрунтування. Матеріальні тіла складаються з елементарних частинок, становище яких у просторі визначається їх координатами. Сили тяжіння кожної частки до Землі можна вважати системою паралельних сил, що рівнодіє цих сил називається силою тяжкості тіла або вагою тіла. Центр тяжкості тіла – це точка застосування сили тяжіння.

Центр тяжкості – це геометрична точка, яка може бути розташована і поза тілом (наприклад, диск з отвором, порожня куля тощо). Велике практичне значення має визначення центру важкості тонких однорідних плоских пластин. Їх товщиною зазвичай можна знехтувати і вважати, що центр тяжіння розташований у площині. Якщо координатну площину xOy поєднати з площиною фігури, то положення центру ваги визначається двома координатами:

де – площа частини фігури, ();

- Координати центру тяжкості частин фігури, мм (см).

Перетин фігури	А, мм 2	X c ,мм	Y c , мм
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2 a
При 2α = π πR 2 /2

Порядок проведення роботи.

Накреслити фігуру складної форми, що складається з 3-4 простих фігур (прямокутник, трикутник, коло тощо) у масштабі 1:1 та проставити її розміри.

Провести осі координат так, щоб вони охоплювали всю фігуру, розбити складну фігуру на прості частини, визначити площу та координати центру ваги кожної простої фігури щодо обраної системи координат.

Обчислити координати центру тяжкості всієї фігури аналітично. Вирізати цю фігуру з тонкого картону чи фанери. Просвердлити два отвори, краї отворів повинні бути гладкими, а діаметр отворів трохи більший за діаметр голки для підвішування фігури.

Підвісити фігуру спочатку в одній точці (отворі), прокреслити олівцем лінію, що збігається з ниткою схилу. Те ж саме повторити при підвішуванні фігури в іншій точці. Центр тяжкості фігури, знайдений досвідченим шляхом, має співпадати.

Визначити координати центру важкості тонкої однорідної пластини аналітично. Перевірку зробити досвідченим шляхом

Алгоритм рішення

1. Аналітичний метод.

а) Креслення викреслити в масштабі 1:1.

б) Складну фігуру розбити на прості

в) Вибрати та провести осі координат (якщо фігура симетрична, то – по осі симетрії, інакше – по контору фігури)

г) Обчислити площу простих фігур та всієї фігури

д) Відзначити положення центру ваги кожної простої фігури на кресленні

е) Обчислити координати центру ваги кожної фігури

(по осі x та y)

ж) Обчислити координати центру тяжкості всієї фігури за формулою

з) Відзначити положення центру тяжіння на кресленні С (

2. Досвідчене визначення.

Правильність розв'язання задачі перевірити досвідченим шляхом. Вирізати цю фігуру з тонкого картону чи фанери. Просвердлити три отвори, краї отворів повинні бути гладкими, а діаметр отворів трохи більший за діаметр голки для підвішування фігури.

Підвісити фігуру спочатку в одній точці (отворі), прокреслити олівцем лінію, що збігається з ниткою схилу. Те ж саме повторити при підвішуванні фігури в інших точках. Значення координат центру тяжкості фігури, знайдених підвішуванні фігури у двох точках: . Центр тяжкості фігури, знайдений досвідченим шляхом, має співпадати.

3. Висновок про положення центру тяжкості при аналітичному та досвідченому визначенні.

Завдання

Визначити центр тяжкості плоского перерізу аналітичним та досвідченим шляхом.

Приклад виконання

Завдання

Визначити координати центру важкості тонкої однорідної пластини.

I Аналітичний спосіб

1. Креслення викреслюється в масштабі (розміри зазвичай дано в мм)

2. Складну фігуру розбиваємо на звичайні.

1- Прямокутник

2- Трикутник (прямокутник)

3- Площа півкола (її ні, знак мінус).

Знаходимо положення центру тяжкості простих фігур точок , і

3. Проводимо осі координат як і відзначаємо початок координат т. про.

4. Обчислюємо площі простих фігур та площу всієї фігури. [розмір у см]

(3. ні, знак -).

Площа всієї фігури

5. Знаходимо координату ц. , і на кресленні.

6. Обчислюємо координати точок C 1 , C 2 та C 3

7. Обчислюємо координати точки C

8. На кресленні відзначаємо крапку

II Досвідченим шляхом

Координати центру важкості досвідченим шляхом.

Контрольні питання.

1. Чи можна розглядати силу тяжіння тіла як рівнодіючу систему паралельних сил?

2. Чи може розташовуватися центр тяжіння всього тіла?

3. У чому сутність дослідного визначення центру ваги плоскої фігури?

4. Як визначається центр тяжкості складної фігури, що складається з кількох простих фігур?

5. Як слід раціонально виробляти розбиття фігури складної форми на прості фігури щодо центру тяжкості всієї фігури?

6. Який знак має площу отворів у формулі для визначення центру ваги?

7. На перетині яких ліній трикутника знаходиться центр тяжіння?

8. Якщо фігуру важко розбити на невелику кількість простих фігур, який спосіб визначення центру тяжкості може дати найшвидшу відповідь?

Практична робота №6

«Рішення завдань комплексного характеру»

Мета роботи: вміти розв'язувати задачі комплексного характеру (кінематика, динаміка)

Теоретичне обґрунтування: Швидкість є кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її положення. Швидкість точки є вектором, що характеризує швидкість і напрямок руху точки в даний момент часу. При заданні руху точки рівняння проекції швидкості на осі декартових координат рівні:

Модуль швидкості точки визначається за формулою

Напрямок швидкості визначається напрямними косинусами:

Характеристика швидкості зміни швидкості є прискорення а. Прискорення точки дорівнює похідній від вектора швидкості за часом:

При заданні руху точки рівняння проекції прискорення координатні осі рівні:

Модуль прискорення:

Модуль повного прискорення

Модуль дотичного прискорення визначається за формулою

Модуль нормального прискорення визначається за формулою

де – радіус кривизни траєкторії у цій точці.

Напрямок прискорення визначається напрямними косинусами

Рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

Кутова швидкість тіла:

Іноді кутову швидкість характеризують числом оборотів за хвилину і позначають літерою. Залежність між і має вигляд

Кутове прискорення тіла:

Сила, рівна добутку маси даної точки на її прискорення та напрямок у бік прямо протилежного прискоренню точки, називається силою інерції.

Потужністю називається робота, виконана силою в одиницю часу

Основне рівняння динаміки для обертального руху

– момент інерції тіла щодо осі обертання, є сума творів мас матеріальних точок на квадрат відстаней до цієї осі

Завдання

Тіло масою m за допомогою троса, що намотується на барабан діаметром d, переміщається вгору або вниз по похилій площині з кутом нахилу α. Рівняння руху тіла S=f(t), рівняння обертання барабана , де S метрах; φ - у радіанах; t – за секунди. P і ω - відповідно потужність та кутова швидкість на валу барабана в момент кінця розгону або початку гальмування. Час t 1 - час розгону (зі стану спокою до заданої швидкості) або гальмування (від заданої швидкості до зупинки). Коефіцієнт тертя ковзання між тілом та площиною –f. Втратами на тертя на барабані, а також масою барабана знехтувати. При розв'язанні задач прийняти g=10 м/с 2

№ вар	α, град	Закон руху	Напр рух	m, кг	t 1 , c	d, м	P, кВт	, рад/с	f	Визна. величини
		S=0,8t 2	вниз	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t 1
		φ=4t 2	вниз		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t2	вгору	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t 2	вгору	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t 2	вниз		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1,5t 2	вниз	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S = 0,9 t 2	вниз		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	вниз		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1,25t 2	вгору		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	вгору		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

Приклад виконання

Завдання 1(малюнок 1).

Рішення 1.Прямолінійний рух (рис. 1, а). Крапка, що рухалася поступово, в певний момент часу отримала новий закон руху, і через деякий проміжок часу зупинилася. визначити всі кінематичні характеристики руху точки для двох випадків; а) рух прямолінійною траєкторією; б) рух по криволінійній траєкторії постійного радіусу кривизни r=100см

Малюнок 1(а).

Закон зміни швидкості точки

Початкову швидкість точки знайдемо з умови:

Час гальмування до зупинки знайдемо з:

при, звідси.

Закон руху точки в період рівномірного руху

Відстань, пройдена точкою траєкторії за період гальмування,

Закон зміни щодо прискорення точки

звідки слід, що у період гальмування точка рухалася рівнозамедленно, оскільки дотичне прискорення негативно і за значенням постійно.

Нормальне прискорення точки прямолінійної траєкторії руху дорівнює нулю, тобто. .

Рішення 2.Криволінійний рух (рисунок 1, б).

Малюнок 1 (б)

У цьому випадку, порівняно з випадком прямолінійного руху, залишаються без зміни всі кінематичні характеристики, за винятком нормального прискорення.

Закон зміни нормального прискорення точки

Нормальне прискорення точки у початковий момент гальмування

Прийнята на кресленні нумерація положень точки на траєкторії: 1 - поточне положення точки рівномірному русі до початку гальмування; 2 - положення точки в момент початку гальмування; 3 - поточне положення точки в період гальмування; 4 - кінцеве положення точки.

Завдання 2.

Вантаж (мал. 2, а) піднімається за допомогою барабанної лебідки. Діаметр барабана d=0,3м, а закон його обертання.

Розгін барабана тривав до кутової швидкості. Визначити всі кінематичні характеристики руху барабана та вантажу.

Рішення. Закон зміни кутової швидкості барабана. Початкову кутову швидкість знайдемо з умови: ; отже, розгін почався із стану спокою. Час розгону знайдемо з умови: . Кут повороту барабана за період розгону.

Закон зміни кутового прискорення барабана, звідси випливає, що в період розгону барабан обертався рівноприскорено.

Кінематичні характеристики вантажу дорівнюють відповідним характеристикам будь-якої точки тягового троса, а значить, і точки A, що лежить на обід барабана (рис. 2, б). Як відомо, лінійні характеристики точки тіла, що обертається, визначаються через його кутові характеристики.

Відстань, пройдене вантажем у період розгону, . Швидкість вантажу наприкінці розгону.

Прискорення вантажу.

Закон руху вантажу.

Відстань, швидкість та прискорення вантажу можна було визначити й інакше через знайдений закон руху вантажу:

Завдання 3.Вантаж, що переміщався рівномірно вгору по похилій опорній площині, деякий момент часу отримав гальмування відповідно до нового закону руху , де s – за метри і t – за секунди. Маса вантажу m = 100кг, коефіцієнт тертя ковзання між вантажем та площиною f=0,25. Визначити силу F та потужність на тяговому тросі для двох моментів часу: а) рівномірний рух до початку гальмування;

б) початковий момент гальмування. При розрахунку прийняти g = 10 м/.

Рішення.Визначаємо кінематичні характеристики руху вантажу.

Закон зміни швидкості вантажу

Початкова швидкість вантажу (при t=0)

Прискорення вантажу

Оскільки прискорення негативне, рух – уповільнене.

1. Поступово рух вантажу.

Для визначення рушійної сили F розглядаємо рівновагу вантажу, на який діє система сил, що сходяться: сила на тросі F, сила тяжіння вантажу G=mg, нормальна реакція опорної поверхні N і сила тертя , спрямована назустріч руху тіла. За законом тертя, . Вибираємо напрямок координатних осей, як показано на кресленні, і складаємо два рівняння рівноваги для вантажу:

Потужність на тросі до початку гальмування визначимо за відомою формулою

Де м/с.

2. Уповільнений рух вантажу.

Як відомо, при нерівномірному поступальному русі тіла система діючих на нього сил у напрямку руху не є врівноваженою. Згідно з принципом Даламбера (метод кінетостатики), тіло в цьому випадку можна вважати таким, що перебуває в умовній рівновазі, якщо до всіх сил, що діють на нього, додати силу інерції, вектор якої спрямований протилежно вектору прискорення. Вектор прискорення у разі спрямований протилежно вектору швидкості, оскільки вантаж рухається уповільнено. Складаємо два рівняння рівноваги для вантажу:

Потужність на тросі в момент початку гальмування

Контрольні питання.

1. Як визначити чисельне значення та напрямок швидкості точки в даний момент?

2. Що характеризує нормальна та дотична складові повного прискорення?

3. Як перейти від виразу кутової швидкості мін-1 до її вираження рад/с?

4. Що називають масою тіла? Назвіть одиницю виміру маси

5. За якого руху матеріальної точки виникає сила інерції? Чому дорівнює її чисельне значення, як вона спрямована?

6. Сформулюйте принцип Даламбер

7. Чи виникає сила інерції за рівномірного криволінійного руху матеріальної точки?

8. Що таке крутний момент?

9. Як виражається залежність між крутним моментом і кутовий швидкості при даній потужності, що передається?

10. Основне рівняння динаміки для обертального руху.

Практична робота №7

"Розрахунок конструкцій на міцність"

Мета роботи: визначати міцність, розміри перерізу та допустиме навантаження

Теоретичне обґрунтування.

Знаючи силові фактори та геометричні характеристики перерізу при деформації розтягування (стиснення), ми можемо визначити напругу за формулами. А щоб зрозуміти, чи витримає наша деталь (вал, шестерня і т. д.) зовнішнє навантаження. Необхідно цю величину порівняти з допустимою напругою.

Отже, рівняння статичної міцності

На його підставі вирішують 3 типи завдань:

1) перевірка міцності

2) визначення розмірів перерізу

3) визначення допустимого навантаження

Отже, рівняння статичної жорсткості

На його підставі вирішують також 3 типи завдань

Рівняння статичної міцності при розтягуванні (стисненні)

1) Перший тип – перевірка міцності

,

тобто вирішуємо ліву частину і порівнюємо з напругою, що допускається.

2) Другий тип – визначення розмірів перерізу

з правої частини площа поперечного перерізу

Перетин коло

звідси діаметр d

Перетин прямокутник

Перетин квадрат

A = a² (мм²)

Перетин півкола

Перетину швелер, двотавр, куточок тощо.

Значення площі - з таблиці, що приймається за ГОСТ

3) Третій тип – визначення допустимого навантаження;

приймається в меншу сторону, ціле число

ЗАВДАННЯ

Завдання

А) Перевірка міцності (перевірочний розрахунок)

Для заданого бруса побудувати епюру поздовжніх сил та перевірити міцність на обох ділянках. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти

№ варіанта
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

Б) Підбір перерізу (проектний розрахунок)

Для заданого бруса побудувати епюру поздовжніх сил та визначити розміри поперечного перерізу на обох ділянках. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти

№ варіанта
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

В) Визначення допустимої поздовжньої сили

Для заданого бруса визначити значення навантажень і ,

побудувати епюру поздовжніх сил. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти. При розв'язанні задачі вважати, що на обох ділянках бруса вид навантаження однаковий.

№ варіанта
	-	-
			-	-
	-	-

Приклад виконання завдання

Завдання 1(малюнок 1).

Перевірити міцність колони, виконаної із двотаврових профілів заданого розміру. Для матеріалу колони (сталь Ст3) прийняти допустимі напруги при розтягуванні і при стисканні . У разі наявності перезавантаження або значного недовантаження підібрати розміри двотаврів, що забезпечують оптимальну міцність колони.

Рішення.

Заданий брус має дві ділянки 1, 2. Кордонами ділянок є перерізи, у яких додані зовнішні сили. Оскільки сили, навантажують брус, розташовані з його центральної поздовжньої осі, то поперечних перерізах виникає лише одне внутрішній силовий чинник – поздовжня сила , тобто. має місце розтягування (стиснення) бруса.

Для визначення поздовжньої сили застосовуємо метод перерізів. Проводячи подумки перетин у межах кожної з ділянок, відкидатимемо нижню закріплену частину бруса і залишатимемо для розгляду верхню частину. На ділянці 1 поздовжня сила постійна та дорівнює

Знак мінус свідчить про те, що на обох ділянках брус стиснутий.

Будуємо епюру поздовжніх сил. Провівши паралельно осі бруса базову (нульову) лінію епюри, відкладаємо перпендикулярно їй у довільному масштабі отримані значення. Як бачимо, епюра виявилася окреслена прямими лініями, паралельними до базової.

Виконуємо перевірку міцності бруса, тобто. визначаємо розрахункове напруження (для кожної ділянки окремо) і порівнюємо його з допустимим. Для цього використовуємо умову міцності при стисканні

де площа є геометричною характеристикою міцності поперечного перерізу. З таблиці прокатної сталі беремо:

для двотавру
для двотавру

Перевірка міцності:

Значення поздовжніх сил узято за абсолютною величиною.

Міцність бруса забезпечена, проте має місце значне (більше 25%) недовантаження, що неприпустимо внаслідок перевитрати матеріалу.

З умови міцності визначаємо нові розміри двотавра для кожної з ділянок бруса:
Звідси потрібна площа

По таблиці ДСТУ вибираємо двотавр № 16, для якого;

Звідси потрібна площа

По таблиці ДЕРЖСТАНДАРТА вибираємо двотавр №24, для якого ;

При вибраних розмірах двотаврів також має місце недовантаження, проте незначне (менше 5%)

Завдання №2.

Для бруса із заданими розмірами поперечного перерізу визначити допустимі значення навантажень і . Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти допустиму напругу при розтягуванні і при стисканні .

Рішення.

Заданий брус має дві ділянки 1, 2. Має місце розтягування (стиснення) бруса.

Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу , виражаючи її через сили і . Проводячи в межах кожної з ділянок перетин, відкидатимемо ліву частину бруса і залишатимемо для розгляду праву частину. На ділянці 1 поздовжня сила постійна та дорівнює

На ділянці 2 поздовжня сила також стала і дорівнює

Знак плюс вказує на те, що на обох ділянках брус розтягнутий.

Будуємо епюру поздовжніх сил. Епюра окреслена прямими лініями, паралельними до базової.

З умови міцності при розтягуванні визначаємо допустимі значення навантажень і попередньо обчисливши площі заданих поперечних перерізів:

Контрольні питання.

1. Які внутрішні силові фактори виникають у перерізі бруса при розтягуванні та стисканні?

2. Запишіть умову міцності під час розтягування та стиснення.

3. Як призначають знаки поздовжньої сили та нормальної напруги?

4. Як зміниться величина напруги, якщо площа поперечного перерізу зросте у 4 рази?

5. Чи відрізняються умови міцності при розрахунку на розтяг і розрахунку стиснення?

6. У яких одиницях вимірюється напруга?

7. Яка з механічних характеристик вибирається як гранична напруга для пластичних і крихких матеріалів?

8. У чому різниця між граничною і допустимою напругою?

Практична робота №8

«Рішення завдань щодо визначення основних центральних моментів інерції плоских геометричних фігур»

Мета роботи: визначити аналітичним шляхом моменти інерції плоских тіл складної форми

Теоретичне обґрунтування. Координати центру тяжкості перерізу можна виразити через статичний момент:

де щодо осі Оx

щодо осі Оy

Статичний момент площі фігури щодо осі, що лежить у цій площині, дорівнює добутку площі фігури на відстань її центру тяжкості до цієї осі. Статичний момент має розмірність. Статичний момент може бути величиною позитивної, негативної і дорівнює нулю (щодо будь-якої центральної осі).

Осьовим моментом інерції перерізу називається взята по всьому перерізу сума творів або інтеграл елементарних майданчиків на квадрати їх відстаней до деякої осі, що лежить у площині перетину, що розглядається.

Осьовий момент інерції виявляється у одиницях - . Осьовий момент інерції-величина завжди позитивна і не дорівнює нулю.

Осі, що проходять через центр тяжіння фігури, називають центральними. Момент інерції щодо центральної осі називається центральним моментом інерції.

Момент інерції щодо якоїсь осі дорівнює центру

Перед тим, як знайти центр тяжкості простих фігур, таких які мають прямокутну, круглу, кулясту або циліндричну, а також квадратну форму, необхідно знати, в якій точці знаходиться центр симетрії конкретної фігури. Оскільки в даних випадках центр тяжіння буде співпадати з центром симетрії.

Центр тяжкості однорідного стрижня розташовується у його геометричному центрі. Якщо необхідно визначити центр ваги круглого диска однорідної структури, то спочатку знайдіть точку перетину діаметрів кола. Вона буде центром тяжкості даного тіла. Розглядаючи такі фігури, як куля, обруч і однорідний прямокутний паралелепіпед, можна з упевненістю сказати, що центр тяжіння обруча буде знаходитися в центрі фігури, але поза її точками, центр тяжіння кулі - геометричний центр сфери, і в останньому випадку центром вагою вважається перетин діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

Центр тяжкості неоднорідних тіл

Щоб знайти координати центру тяжкості, як і сам центр тяжіння неоднорідного тіла, необхідно розібратися, на якому відрізку даного тіла розташовується точка, в якій перетинаються всі сили тяжіння, що діють на фігуру, якщо її перевертати. Насправді для знаходження такої точки підвішують тіло на нитку, поступово змінюючи точки прикріплення нитки до тіла. У разі, коли тіло перебуває у рівновазі, то центр тяжкості тіла лежатиме лінії, яка збігається з лінією нитки. Інакше сила тяжкості приводить тіло до руху.

Візьміть олівець і лінійку, накресліть вертикальні прямі, які візуально співпадатимуть з нитковими напрямками (нитки, що закріплюються в різних точках тіла). Якщо форма тіла є досить складною, то проведіть кілька ліній, які будуть перетинатися в одній точці. Вона і стане центром тяжіння для тіла, над яким ви робили досвід.

Центр тяжкості трикутника

Для знаходження центру тяжкості трикутника необхідно намалювати трикутник - фігуру, що складається з трьох відрізків, з'єднаних між собою в трьох точках. Перед тим, як знайти центр ваги фігури, необхідно, використовуючи лінійку, виміряти довжину однієї сторони трикутника. Всередині боку поставте позначку, після чого протилежну вершину і середину відрізка з'єднайте лінією, яка називається медіаною. Той самий алгоритм повторіть з другою стороною трикутника, а потім і з третьою. Результатом вашої роботи стануть три медіани, які перетинаються в одній точці, яка буде центром тяжкості трикутника.

Якщо перед вами стоїть завдання, що стосується того, як знайти центр ваги тіла у формі рівностороннього трикутника, необхідно з кожної вершини провести висоту за допомогою прямокутної лінійки. Центр тяжкості в рівносторонньому трикутнику перебуватиме на перетині висот, медіан та бісектрис, оскільки одні й ті самі відрізки одночасно є висотами, медіанами та бісектрисами.

Координати центру тяжкості трикутника

Перед тим, як знайти центр тяжіння трикутника та його координати, розглянемо докладніше саму фігуру. Це однорідна трикутна пластина з вершинами А, В, С і відповідно координатами: для вершини А - x1 і y1; для вершини В - x2 та y2; для вершини С – x3 та y3. При знаходженні координат центру ваги ми не враховуватимемо товщину трикутної пластини. На малюнку ясно видно, що центр тяжіння трикутника позначений буквою Е – для його знаходження ми провели три медіани, на перетині яких і поставили точку Е. Вона має свої координати: xE та yE.

Один кінець медіани, проведеної з вершини А до відрізка, володіє координатами x 1 , y 1 (це точка А), а другі координати медіани отримуємо, виходячи з того, що точка D (другий кінець медіани) стоїть посередині відрізка BC. Кінці даного відрізка мають відомі нам координати: B(x 2 , y 2) і C(x 3 , y 3). Координати точки D позначаємо xD та yD. Виходячи з таких формул:

х = (Х1 + Х2) / 2; у=(У1+У2)/2

Визначаємо координати середини відрізка. Отримаємо наступний результат:

хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D * ((Х2 + Х3) / 2, (У2 + У3) / 2).

Ми знаємо, які координати й у кінці відрізка АТ. Також нам відомі координати точки Е, тобто центру тяжіння трикутної пластини. Також ми знаємо, що центр тяжіння розташований посередині відрізка артеріального тиску. Тепер, застосовуючи формули та відомі нам дані, ми можемо знайти координати центру важкості.

Таким чином, можна знайти координати центру тяжіння трикутника, точніше координати центру тяжіння трикутної пластини, враховуючи те, що її товщина нам невідома. Вони рівні середнього арифметичного однорідних координат вершин трикутної пластини.

Намалюйте схему системи та позначте на ній центр тяжіння.Якщо знайдений центр тяжіння знаходиться поза системою об'єктів, ви отримали неправильну відповідь. Можливо, ви виміряли відстані від різних точок відліку. Повторіть виміри.

• Наприклад, якщо на гойдалці сидять діти, центр ваги буде десь між дітьми, а не праворуч або ліворуч від гойдалки. Також центр тяжкості ніколи не співпадає з точкою, де сидить дитина.
• Ці міркування вірні у двовимірному просторі. Намалюйте квадрат, де помістяться всі об'єкти системи. Центр тяжкості повинен знаходитись усередині цього квадрата.

Перевірте математичні обчислення, якщо ви отримали невеликий результат.Якщо точка відліку знаходиться на одному кінці системи, маленький результат поміщає центр тяжіння біля кінця системи. Можливо, це правильна відповідь, але в переважній більшості випадків такий результат свідчить про помилку. Коли ви обчислювали моменти, ви перемножували відповідні ваги та відстані? Якщо замість множення ви склали ваги та відстані, ви отримаєте набагато менший результат.

Виправте помилку, якщо ви знайшли кілька центрів важкості.Кожна система має лише один центр тяжіння. Якщо ви знайшли кілька центрів важкості, швидше за все, ви не склали всі моменти. Центр тяжкості дорівнює відношенню «сумарного» моменту до «сумарної» ваги. Не потрібно ділити "кожний" момент на "кожну" вагу: так ви знайдете положення кожного об'єкта.

Перевірте точку відліку, якщо відповідь на деяке ціле значення.У нашому прикладі відповідь дорівнює 3,4 м. Припустимо, ви отримали відповідь 0,4 м або 1,4 м, або інше число, що закінчується на «4». Це тому, що як точка відліку ви вибрали не лівий кінець дошки, а точку, яка розташована правіше на цілу величину. Насправді, ваша відповідь вірна, незалежно від того, яку точку відліку ви обрали! Просто запам'ятайте: точка відліку завжди знаходиться у положенні x = 0. Ось приклад:

• У нашому прикладі точка відліку знаходилася на лівому кінці дошки, і ми знайшли, що центр ваги знаходиться на відстані 3,4 м від цієї точки відліку.
• Якщо в якості точки відліку вибрати точку, яка розташована на відстані 1 м праворуч від лівого кінця дошки, ви отримаєте відповідь 2,4 м. Тобто центр ваги знаходиться на відстані 2,4 м від нової точки відліку, яка, у свою чергу, знаходиться на відстані 1 м від лівого кінця дошки. Таким чином, центр ваги знаходиться на відстані 2,4+1=3,4 м від лівого кінця дошки. Вийшла стара відповідь!
• Примітка: при вимірі відстані пам'ятайте, що відстані до лівої точки відліку негативні, а до правої позитивні.

Відстань виміряйте за прямими лініями.Припустимо, на гойдалці дві дитини, але одна дитина набагато вища за іншу, або одна дитина висить під дошкою, а не сидить на ній. Проігноруйте таку різницю та виміряйте відстані по прямій лінії дошки. Вимірювання відстаней під кутами призведе до близьких, але не зовсім точних результатів.

• У разі завдання з гойдалками-дошкою пам'ятайте, що центр ваги знаходиться між правим і лівим кінцями дошки. Пізніше ви навчитеся обчислювати центр тяжкості складніших двовимірних систем.

В інженерній практиці трапляється, що виникає необхідність обчислити координати центру важкості складної плоскої фігури, що складається з простих елементів, для яких розташування центру важкості відоме. Таке завдання є частиною завдання визначення...

Геометричних характеристик складових поперечних перерізів балок та стрижнів. Часто з подібними питаннями доводиться стикатися інженерам-конструкторам вирубних штампів при визначенні координат центру тиску, розробникам схем навантаження різного транспорту при розміщенні вантажів, проектувальникам будівельних металевих конструкцій при підборі перерізів елементів і, звичайно, студентам при вивченні дисциплін «Теоретична механіка» ».

Бібліотека елементарних постатей.

Для симетричних плоских фігур центр ваги збігається із центром симетрії. До симетричної групи елементарних об'єктів належать: коло, прямокутник (зокрема квадрат), паралелограм (зокрема ромб), правильний багатокутник.

З десяти фігур, представлених малюнку вище, лише дві є базовими. Тобто, використовуючи трикутники та сектори кіл, можна скомбінувати майже будь-яку фігуру, яка має практичний інтерес. Будь-які довільні криві можна, розбивши на ділянки, замінити дугами кіл.

Вісім фігур, що залишилися, є найпоширенішими, тому вони і були включені в цю своєрідну бібліотеку. У нашій класифікації ці елементи є базовими. Прямокутник, паралелограм та трапецію можна скласти із двох трикутників. Шестикутник – це сума із чотирьох трикутників. Сегмент кола – це різниця сектора кола та трикутника. Кільцевий сектор кола – різниця двох секторів. Коло – це сектор кола з кутом α=2*π=360˚. Півколо – це, відповідно, сектор кола з кутом α=π=180˚.

Розрахунок у Excel координат центру ваги складової фігури.

Передавати та сприймати інформацію, розглядаючи приклад, завжди легше, ніж вивчати питання на суто теоретичних викладках. Розглянемо розв'язання задачі "Як знайти центр тяжіння?" на прикладі складової фігури, зображеної малюнку, розташованому нижче цього тексту.

Складовий переріз є прямокутником (з розмірами a1 =80 мм, b1 =40 мм), до якого зліва зверху додали рівнобедрений трикутник (з розміром основи a2 =24 мм та висотою h2 =42 мм) і з якого праворуч зверху вирізали півколо (з центром у точці з координатами x03 =50 мм та y03 =40 мм, радіусом r3 = 26 мм).

На допомогу для виконання розрахунку залучимо програму MS Excel або програму OOo Calc . Будь-яка з них легко впорається із нашим завданням!

У осередках з жовтий заливкою виконаємо допоміжні попередні розрахунки .

У осередках зі світло-жовтою заливкою вважаємо результати.

Синій шрифт – це вихідні дані .

Чорний шрифт – це проміжні результати розрахунків .

червоний шрифт – це остаточні результати розрахунків .

Починаємо розв'язання задачі – починаємо пошук координат центру тяжкості перерізу.

Вихідні дані:

1. Назви елементарних фігур, що утворюють складовий переріз, впишемо відповідно

в осередок D3: Прямокутник

в осередок E3: Трикутник

в осередок F3: Півколо

2. Користуючись представленою в цій статті "Бібліотекою елементарних фігур", визначимо координати центрів тяжкості елементів складного перерізу xciі yciв мм щодо довільно вибраних осей 0x і 0y і запишемо

у комірку D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

у комірку D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

у комірку E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

у комірку E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

у комірку F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

у комірку F5: =40-4*26/3/ПІ() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Розрахуємо площі елементів F 1 , F 2 , F3 в мм2, скориставшись знову формулами розділу «Бібліотека елементарних фігур»

у осередку D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

у осередку E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

у осередку F6: =-ПІ()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Площа третього елемента – півкола – негативна тому, що це виріз – пусте місце!

Розрахунок координат центру тяжкості:

4. Визначимо загальну площу підсумкової фігури F0 в мм2

в об'єднаному осередку D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Обчислимо статичні моменти складової фігури Sxі Syв мм3 щодо вибраних осей 0x та 0y

в об'єднаному осередку D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

в об'єднаному осередку D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3

6. І на завершення розрахуємо координати центру тяжкості складного перерізу Xcі Ycмм в обраній системі координат 0x - 0y

в об'єднаному осередку D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

в об'єднаному осередку D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx / F0

Завдання вирішено, розрахунок в Excel виконано - знайдено координати центру тяжкості перерізу, складеного при використанні трьох простих елементів!

Висновок.

Приклад у статті був обраний дуже простим для того, щоб було легше розібратися в методології розрахунків центру тяжкості складного перерізу. Метод полягає в тому, що будь-яку складну фігуру слід розбити на прості елементи з відомими місцями розташування центрів тяжкості і зробити підсумкові обчислення для перетину.

Якщо перетин складено з прокатних профілів – куточків та швелерів, то їх немає необхідності розбивати на прямокутники та квадрати з вирізаними круговими «π/2» секторами. Координати центрів тяжкості цих профілів наведені в таблицях ГОСТів, тобто і куточок і швелер будуть у ваших розрахунках складових перерізів базовими елементарними елементами (про двотаври, труби, прутки і шестигранники говорити немає сенсу - це центрально симетричні перерізи).

Розташування осей координат на положення центру ваги фігури, звісно, ​​не впливає! Тому вибирайте систему координат, що спрощує розрахунки. Якщо, наприклад, я розгорнув би в нашому прикладі систему координат на 45 за годинниковою стрілкою, то обчислення координат центрів тяжкості прямокутника, трикутника і півкола перетворилося б на ще один окремий і громіздкий етап розрахунків, який «в умі» не виконаєш.

Поданий нижче розрахунковий файл Excel у разі програмою не є. Швидше - це малюнок калькулятора, алгоритм, шаблон по якому слід у кожному конкретному випадку складати свою послідовність формул для осередків з яскравою жовтою заливкою.

Отже, як знайти центр тяжіння будь-якого перетину, ви тепер знаєте! Повний розрахунок всіх геометричних характеристик довільних складних складових перерізів буде розглянуто в одній із найближчих статей у рубриці «». Слідкуйте за новинами на блозі.

Для отримання інформації про вихід нових статей і для скачування робочих файлів програм прошу вас підписатися на анонси у вікні, розташованому наприкінці статті або у вікні вгорі сторінки.

Після введення адреси своєї електронної пошти та натискання на кнопку «Отримувати анонси статей» НЕ ЗАБУВАЙТЕ ПІДТВЕРДЖУВАТИ ПІДПИСКУ кліком за посиланням у листі, який відразу прийде до вас на вказану пошту (іноді - в папку « Спам » )!

Кілька слів про келих, монету та дві виделки, які зображені на «значку-ілюстрації» на самому початку статті. Багатьом із вас, безумовно, знайомий цей «трюк», який викликає захоплені погляди дітей та непосвячених дорослих. Тема цієї статті – центр тяжкості. Саме він і точка опори, граючи з нашою свідомістю та досвідом, просто дурять наш розум!

Центр тяжкості системи «вилки+монета» завжди розміщується на фіксованомувідстані по вертикалі внизвід краю монети, що у свою чергу є точкою опори. Це становище стійкої рівноваги!Якщо викачати вилки, то відразу стає очевидним, що система прагне зайняти своє старе стійке становище! Уявіть маятник - точка закріплення (=точка опори монети на кромку келиха), стрижень-вісь маятника (=у нашому випадку вісь віртуальна, так як маса двох вилок розведена в різні боки простору) і вантаж внизу осі (=центр тяжіння всієї системи «вилки» +монета»). Якщо почати відхиляти маятник від вертикалі в будь-який бік (вперед, назад, ліворуч, праворуч), то він неминуче під дією сили тяжіння повертатиметься у вихідне стійкий стан рівноваги(це ж саме відбувається і з нашими вилками та монетою)!

Хто не зрозумів, але хоче зрозуміти – розберіться самостійно. Адже це дуже цікаво «доходити» самому! Додам, що цей принцип використання стійкого рівноваги реалізований і в іграшці ванька-встань-ка. Тільки центр ваги цієї іграшки розташований вище точки опори, але нижче центру півсфери опорної поверхні.

Завжди радий вашим коментарям, шановні читачі!

Прошу, Шановна працю автора, завантажувати файл ПІСЛЯ ПЕРЕДПЛАТИ на новини статей.