6.1. Загальні відомості

Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні, спрямовані в один бік сили , і прикладені до тіла в точках А 1 та А 2 (рис.6.1). Ця система сил має рівнодіючу , лінія дії якої проходить через деяку точку З. Положення точки Зможна знайти за допомогою теореми Варіньйона:

Якщо повернути сили та біля точок А 1 та А 2 в один бік і на той самий кут, то отримаємо нову систему паралельних сал, що мають ті ж модулі. При цьому їх рівнодіюча також проходитиме через точку З. Така точка називається центром паралельних сил.
Розглянемо систему паралельних і однаково спрямованих сил, прикладених до твердого тіла у точках. Ця система має рівнодіючу.
Якщо кожну силу системи повернути близько точок їх застосування в одну й ту саму сторону і на той самий кут, то вийдуть нові системи однаково спрямованих паралельних сил з тими самими модулями і точками програми. Рівнодійна таких систем матиме той самий модуль R, але щоразу інший напрямок. Склавши сили F 1 та F 2 знайдемо що їх рівнодіюча R 1 , яка завжди буде проходити через точку З 1, положення якої визначається рівністю. Склавши далі R 1 та F 3 , знайдемо їх рівнодіючу, яка завжди проходитиме через точку З 2 , що лежить на прямій А 3 З 2 . Довівши процес складання сил до кінця прийдемо до висновку, що рівнодіюча всіх сил дійсно завжди проходитиме через ту саму точку. З, Положення якої стосовно точок буде незмінним.
Крапка З, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил біля точок їх застосування в один і той же бік на той самий кут називається центром паралельних сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Визначимо координати центру паралельних сил. Оскільки положення точки Зпо відношенню до тіла є незмінним, її координати від вибору системи координат не залежать. Повернемо всі сили біля їх застосування так, щоб вони стали паралельними осі Оуі застосуємо до повернутих сил теорему Варіньйона. Так як R"є рівнодією цих сил, то, згідно з теореми Варіньйона, маємо , т.к. , , отримаємо

Звідси знаходимо координату центру паралельних сил zc:

Для визначення координати xcскладемо вираз моменту сил щодо осі Oz.

Для визначення координати ycповернемо всі сили, щоб вони стали паралельні осі Oz.

Положення центру паралельних сил щодо початку координат (рис. 6.2) можна визначити його радіусом-вектором:

6.2. Центр тяжкості твердого тіла

Центром тяжіннятвердого тіла називається незмінно пов'язана з цим тілом точка З, якою проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості даного тіла, при будь-якому положенні тіла у просторі.
Центр тяжкості застосовується при дослідженні стійкості положень рівноваги тіл і суцільних середовищ, що знаходяться під дією сил тяжіння та в деяких інших випадках, а саме: у опорі матеріалів та в будівельній механіці – при використанні правила Верещагіна.
Існують два способи визначення центру тяжкості тіла: аналітичний та експериментальний. Аналітичний спосіб визначення центру тяжкості безпосередньо випливає із поняття центру паралельних сил.
Координати центру тяжкості як центру паралельних сил визначаються формулами:

де Р- вага всього тіла; pk- вага частинок тіла; xk, yk, zk- Координати частинок тіла.
Для однорідного тіла вага всього тіла та будь-якої її частини пропорційна обсягу P=Vγ, pk = vk γ, де γ - вага одиниці обсягу, V- Об'єм тіла. Підставляючи вирази P, pkформули визначення координат центру тяжіння і скорочуючи на загальний множник γ , отримаємо:

Крапка Зкоординати якої визначаються отриманими формулами, називається центром тяжкості обсягу.
Якщо тіло є тонкою однорідною пластиною, то центр тяжіння визначається формулами:

де S- площа всієї пластини; sk- Площа її частини; xk, yk- Координати центру тяжкості частин пластини.
Крапка Зу разі носить назву центру тяжкості площі.
Чисельники виразів, що визначають координати центру тяжіння плоских фігур, називаються з татичними моментами площіщодо осей уі х:

Тоді центр тяжкості площі можна визначити за формулами:

Для тіл, довжина яких значно перевищує розміри поперечного перерізу, визначають центр тяжкості лінії. Координати центру тяжіння лінії визначають формулами:

де L- Довжина лінії; lk- Довжина її частин; xk, yk, zk- Координата центру тяжкості частин лінії.

6.3. Способи визначення координат центрів тяжіння тіл

На основі отриманих формулах, можна запропонувати практичні способи визначення центрів тяжкості тіл.
1. Симетрія. Якщо тіло має центр симетрії, то центр тяжіння перебуває у центрі симетрії.
Якщо тіло має площину симетрії. Наприклад, площина ХОУ, то центр тяжіння лежить у цій площині.
2. Розбиття. Для тіл, що складаються з простих формою тіл, використовується спосіб розбиття. Тіло розбивається на частини, центр тяжкості яких перебуває методом симетрії. Центр тяжкості всього тіла визначається за формулами центру тяжкості об'єму (площі).

Приклад. Визначити центр тяжкості пластини, зображеної на наведеному нижче малюнку (рис. 6.3). Пластину можна розбити на прямокутники у різний спосіб і визначити координати центру ваги кожного прямокутника та їх площі.

Рис.6.3

Відповідь: xc= 17.0см; yc= 18.0див.

3. Доповнення. Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він використовується, коли тіло має вирізи, зрізи та ін., якщо координати центру ваги тіла без вирізу відомі.

Приклад. Визначити центр тяжкості круглої пластини, що має виріз радіусом. r = 0,6 R(Рис. 6.4).

Рис.6.4

Кругла пластина має центр симетрії. Помістимо початок координат у центрі пластини. Площа пластини без вирізу, площа вирізу. Площа пластини з вирізом; .
Пластина з вирізом має вісь симетрії О1 x, отже, yc=0.

4. Інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на кінцеве число частин, положення центрів тяжкості яких відомі, тіло розбивають на довільні малі обсяги, для яких формула з використанням методу розбиття набуває вигляду: .
Далі переходять межі, спрямовуючи елементарні обсяги нанівець, тобто. стягуючи обсяги у крапки. Суми замінюють інтегралами, поширеними на весь об'єм тіла, тоді формули визначення координат центру тяжкості об'єму набувають вигляду:

Формули для визначення координат центру ваги площі:

Координати центру тяжкості площі необхідно визначати щодо рівноваги пластинок, при обчисленні інтеграла Мора у будівельній механіці.

Приклад. Визначити центр тяжкості дуги кола радіусу Rз центральним кутом АОВ= 2? (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга кола симетрична осі Ох, отже, центр тяжіння дуги лежить на осі Ох, yс = 0.
Відповідно до формули для центру тяжкості лінії:

6.Експериментальний спосіб. Центри тяжкості неоднорідних тіл складної конфігурації можна визначати експериментально: шляхом підвішування і зважування. Перший спосіб у тому, що тіло підвішується на тросі різні точки. Напрямок троса на якому підвішене тіло, буде давати напрямок сили тяжіння. Точка перетину цих напрямків визначає центр тяжкості тіла.
Метод зважування у тому, що спочатку визначається вага тіла, наприклад автомобіля. Потім на терезах визначається тиск заднього моста автомобіля на опору. Склавши рівняння рівноваги щодо будь-якої точки, наприклад, осі передніх коліс, можна обчислити відстань від цієї осі до центру тяжкості автомобіля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Іноді під час вирішення завдань слід застосовувати одночасно різні методи визначення координат центру тяжкості.

6.4. Центри тяжкості деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів тяжкості тіл часто зустрічається форми (трикутника, дуги кола, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Координати центру тяжкості деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	Малюнок
	Дуга кола: центр тяжіння дуги однорідного кола знаходиться на осі симетрії (координата уc=0). R- Радіус кола.
	Однорідний круговий сектор уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Сегмент: центр тяжіння розташований на осі симетрії (координата уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Півколо:
	Трикутник: центр ваги однорідного трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. де x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- координати вершин трикутника
	Конус: центр тяжкості однорідного кругового конуса лежить на його висоті і віддалений на відстань 1/4 висоти від основи конуса.

Уміння залишатися в рівновазі не докладаючи до цього зусиль дуже важливе для ефективної медитації, занять йогою, цигун і так само для танців живота. Це перша вимога, з якою, стикаються новачки в цих видах занять і одна з причин, через які важко зробити перші кроки без інструктора. Питання, що підказує про те, що людина свого центру тяжкості не знає, може виглядати дещо по-різному. У цигун, наприклад, людина запитає як бути розслабленою і при цьому виконувати рухи стоячи, танцівниця східних танців, що починає, не буде розуміти як розділити і координувати рухи нижніх і верхніх частин тулуба, а так само в обох випадках люди будуть перенапружуватися і часто втрачатимуть стійкість. Рухи їх будуть невпевненими, незграбними.

Тому важливо зрозуміти як знайти свій центр тяжкості самому, це вимагає як розумової роботи, так і вправності, але з часом навичка переходить на інстинктивний рівень.

Що потрібно зробити, щоб не напружувати м'язи і при цьому не користуватися зовнішніми опорами. Відповідь очевидна, потрібно перенести опору всередину. Точніше спертися на умовну внутрішню вісь. Де ця вісь проходить? Поняття центру тяжкості умовне, проте застосовується у фізиці. Там її прийнято визначати як точку застосування рівнодіючої сил тяжіння. Равнодіюча сила тяжкості це сукупність усіх сил тяжіння з урахуванням напряму їхньої дії.

Складно поки? Запасіться терпінням.

Тобто, ми ж шукаємо крапку у своєму тілі, яка дозволить нам не падати, не борючись при цьому свідомо із земним тяжінням. Це означає, що сила тяжіння землі має бути спрямована так, щоб вона сходилася з рештою діючих сил десь у центрі нашого тіла.

Такий напрямок сил створює умовну вісь у самому центрі нашого тіла, вертикальну поверхню це і є вертикаль центру тяжіння. Та частина тіла якої ми упираємося в землю є нашою площею опори (ми упираємося в землю ступнями) У місці де ця вертикаль упирається в поверхню, на якій ми стоїмо, тобто упираємося в землю, це точка центру ваги всередині площі опори. Якщо вертикаль зміститися з цього місця, ми втратимо рівновагу і впадемо. Чим більше сама площа опори, тим нам легше залишатися близько до її центру, і тому ми всі інстинктивно робитимемо широкий крок стоячи на нестійкій поверхні. Тобто площа опори це не лише самі ступні, а ще й простір між ними.

Ще важливо знати, що ширина площі опори впливає сильніше ніж довжина. У випадку людини це означає, що у нас більше шансів впасти на бік чим назад і вже тим більше вперед. Тому при бігу нам важче утримувати рівновагу, те саме можна сказати про каблуки. А ось у широкому стійкому взутті, встояти навпаки легше, навіть легше ніж зовсім вже босяком. Однак згадані на початку види активності припускають дуже м'яке, легке взуття або його повну відсутність. Тому допомагати собі взуттям ми не зможемо.

Значить дуже важливо знайти центральну точку вертикальної лінії на своїй ступні. Зазвичай вона розташовується не в центрі ступні, як деякі автоматично припускають, а ближче до п'яти, десь на півдорозі від центру ступні, до п'яти.
Але це ще не все.

Крім вертикальної лінії центру тяжіння є ще горизонтальна, а також окрема для кінцівок.
Горизонтальна лінія у жінок та чоловіків проходить трохи по-різному.

Попереду у жінок вона проходить нижче, а у чоловіків вища. У чоловіків вона проходить десь на 4-5 пальців нижче за пупок, а у жінок на 10, приблизно. Ззаду жіноча лінія проходить майже укопчика, а чоловіча вище за нього приблизно на п'ять пальців. Крім того, для стійкості в момент медитації важливо звернути увагу на вертикальну лінію центру тяжкості коліна. Вона розташована трохи вище кістки (гомілки), але на два або три пальці нижче хряща.

Під час медитацій, як і під час танцю живота, розставляти широко ступні не дуже добре, максимальна ширина зазвичай відповідає ширині плечей.

Тому потрібно трохи допомогти собі колінами спробувавши вибудувати вертикальну вісь якомога пряміше. Станьте перед дзеркалом, знайдіть на собі всі ці точки. Ноги поставте на ширині плечей. Розслабте м'язи ніг та тіла. Потім випряміть спину, не напружуючи тіло, розслабте ноги трохи зігнувши коліна. Уявіть собі три вертикальні лінії, кожна з яких проходить у відповідній точці в задній частині тулуба, в передній його частині та в районі колін. Спробуйте розташувати точки так, щоб передня вісь тулуба була приблизно на півдорозі між задньою та колінною віссю. При цьому коліна не слід загинати так, щоб вони заходили за носок, вони повинні бути трохи зігнуті і добре розслаблені. Бажано над центром ваги всередині площі опори, яку ми знайшли на ступні. Руки у своїй можна вільно розташувати по богам чи покласти долоні на стегна.

Як ви знатимете, що знайшли свій центр тяжіння?

Ви відчуватимете легке похитування, але при цьому точно знатимете, що не впадете.

Тема відносно проста для засвоєння, проте вкрай важлива щодо курсу опору матеріалів. Головну увагу тут необхідно звернути на вирішення завдань як із плоскими та геометричними фігурами, так і зі стандартними прокатними профілями.

Запитання для самоконтролю

1. Що таке центр паралельних сил?

Центр паралельних сил є точка, через яку проходить лінія рівнодіючої системи паралельних сил, прикладених у заданих точках, за будь-якої зміни напряму цих сил у просторі.

2. Як знайти координати центру паралельних сил?

Для визначення координат центру паралельних сил скористаємося теоремою Варіньйона.

Щодо осі x

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk і y C = Σy kFk /Σ Fk .

Щодо осі y

M y (R) = ΣM y (F k), - x C R = Σx kFk і x C = Σx kFk /Σ Fk .

Щоб визначити координату z C , повернемо всі сили на 90° так, щоб вони стали паралельними осі y (Рисунок 1.5, б). Тоді

M z (R) = ΣM z (F k), - z C R = Σz kFk і z C = Σz kFk /Σ Fk .

Отже, формула для визначення радіус-вектора центру паралельних сил набуває вигляду

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Що таке центр тяжкості тіла?

Центр ваги - незмінно пов'язана з твердим тілом точка, якою проходить рівнодіюча сил тяжіння, що діють на частинки цього тіла при будь-якому положенні тіла в просторі. У однорідного тіла, що має центр симетрії (коло, куля, куб тощо), центр тяжіння знаходиться в центрі симетрії тіла. Положення центру тяжкості твердого тіла збігається з положенням центру мас.

4. Як знайти центр тяжкості прямокутника, трикутника, кола?

Для знаходження центру тяжкості трикутника необхідно намалювати трикутник - фігуру, що складається з трьох відрізків, з'єднаних між собою в трьох точках. Перед тим, як знайти центр ваги фігури, необхідно, використовуючи лінійку, виміряти довжину однієї сторони трикутника. Всередині боку поставте позначку, після чого протилежну вершину і середину відрізка з'єднайте лінією, яка називається медіаною. Той самий алгоритм повторіть з другою стороною трикутника, а потім і з третьою. Результатом вашої роботи стануть три медіани, які перетинаються в одній точці, яка буде центром тяжкості трикутника. Якщо необхідно визначити центр ваги круглого диска однорідної структури, то спочатку знайдіть точку перетину діаметрів кола. Вона буде центром тяжкості даного тіла. Розглядаючи такі фігури, як куля, обруч і однорідний прямокутний паралелепіпед, можна з упевненістю сказати, що центр тяжіння обруча буде знаходитися в центрі фігури, але поза її точками, центр тяжіння кулі - геометричний центр сфери, і в останньому випадку центром вагою вважається перетин діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

5. Як знайти координати центру тяжіння плоского складного перерізу?

Метод розбиття:якщо плоску фігуру можна розбити на кінцеве число таких частин, кожної з яких положення центру тяжкості відомо, то координати центру тяжкості всієї фігури визначаються за формулами:

Х C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S,

де x k, y k - Координати центрів тяжіння частин фігури;

s k – їх площі;

S = s k – площа всієї фігури.

6. Центр тяжкості

1. У якому випадку для визначення центру тяжкості достатньо визначити одну координату розрахунковим шляхом?

У першому випадку для визначення центру тяжіння досить визначити одну координату Тіло розбивається на кінцеве число частин, для кожної з яких положення центру тяжіння C і площа S відомі. Наприклад, проекцію тіла на площину xOy (рисунок 1.) можна у вигляді двох плоских фігур із площами S 1 і S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центри тяжкості цих фігур перебувають у точках C 1 (x 1 , y 1) і C 2 (x 2 , y 2) . Тоді координати центру тяжкості тіла дорівнюють

Оскільки центри фігур лежать на осі ординат (х = 0), то знаходимо лише координату Вус.

2 Як враховується площа отвору у фігурі 4 у формулі для визначення центру тяжкості фігури?

Метод негативних мас

Цей метод у тому, що тіло, має вільні порожнини, вважають суцільним, а масу вільних порожнин – негативною. Вигляд формул визначення координат центру тяжкості тіла у своїй не змінюється.

Таким чином, при визначенні центру тяжкості тіла, що має вільні порожнини, слід застосовувати метод розбиття, але вважати масу порожнин негативною.

мати уявленняпро центр паралельних сил та його властивості;

знатиформули визначення координат центру тяжкості плоских фігур;

вмітивизначати координати центру тяжкості плоских фігур простих геометричних фігур та стандартних прокатних профілів.

ЕЛЕМЕНТИ КИНЕМАТИКИ ТА ДИНАМІКИ
Вивчивши кінематику точки, зверніть увагу на те, що прямолінійний рух точки як нерівномірний, так і рівномірний завжди характеризується наявністю нормального (відцентрового) прискорення. При поступальному русі тіла (характеризується рухом будь-якої його точки) застосовні всі формули кінематики точки. Формули для визначення кутових величин тіла, що обертається навколо нерухомої осі, мають повну смислову аналогію з формулами для визначення відповідних лінійних величин тіла, що рухається поступально.

Тема 1.7. Кінематика точки
Під час вивчення теми зверніть увагу до основні поняття кінематики: прискорення, швидкість, шлях, відстань.

Запитання для самоконтролю

1. У чому полягає відносність понять спокою та руху?

Механічне рух - це зміна руху тіла, або (його частин) у просторі щодо ін. тіл з часом. Політ кинутого каменю, обертання колеса - приклади механічного руху.

2. Дайте визначення основних понять кінематики: траєкторії, відстані, шляху, швидкості, прискорення, часу.

Швидкість – це кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її становища у просторі. Швидкість є векторною величиною, тобто вона характеризується не лише модулем (скалярною складовою), а й напрямком у просторі.

Як відомо з фізики, за рівномірного руху швидкість може бути визначена довжиною шляху, пройденого за одиницю часу: v = s/t = const (передбачається, що початок відліку шляху і часу збігаються). При прямолінійному русі швидкість постійна і з модулю, і за напрямом, та її вектор збігається з траєкторією.

Одиниця швидкості у системі СІвизначається співвідношенням довжина/час, тобто м/с.

Прискорення є кінематична міра зміни швидкості точки часу. Іншими словами – прискорення – це швидкість зміни швидкості.
Як і швидкість, прискорення є векторною величиною, тобто характеризується не тільки модулем, а й напрямком у просторі.

При прямолінійному русі вектор швидкості завжди збігається з траєкторією і тому вектор зміни швидкості теж збігається з траєкторією.

З курсу фізики відомо, що прискорення є зміною швидкості в одиницю часу. Якщо за невеликий проміжок часу Δt швидкість точки змінилася на Δv, то середнє прискорення за цей проміжок часу становило: а ср = Δv/Δt.

Середнє прискорення не дає уявлення про справжню величину зміни швидкості в кожний момент часу. При цьому очевидно, що менше проміжок часу, під час якого відбулася зміна швидкості, тим ближче значення прискорення буде до істинного (миттєвого).
Звідси визначення: істинне (миттєве) прискорення є межа, якої прагне середнє прискорення при Δt, що прагне нулю:

а = lim а ср при t→0 або lim Δv/Δt = dv/dt.

З огляду на, що v = ds/dt, отримаємо: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .

Справжнє прискорення у прямолінійному русі дорівнює першої похідної швидкості або другої похідної координати (відстань від початку відліку переміщення) за часом. Одиниця прискорення – метр, поділений на секунду у квадраті (м/с 2).

Траєкторія- лінія у просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка.
Шлях- Це довжина траєкторії. Пройдений шлях дорівнює довжині дуги траєкторії, пройденої тілом за деякий час t. Шлях – скалярна величина.

Відстаньвизначає положення точки на її траєкторії та відраховується від деякого початку відліку. Відстань є величиною алгебри, так як в залежності від положення точки щодо початку відліку і від прийнятого напрямку осі відстаней воно може бути і позитивним, і негативним. На відміну від відстані шлях, пройдений точкою, завжди визначається позитивним числом. Шлях збігається з абсолютним значенням відстані тільки в тому випадку, коли рух точки починається від початку відліку і відбувається траєкторією в одному напрямку.

У випадку руху точки шлях дорівнює сумі абсолютних значень пройдених точкою відстаней за цей проміжок часу:

3. Якими засобами може бути заданий закон руху точки?

1.Природний спосіб завдання руху точки.

При природному способі завдання руху передбачається визначення параметрів руху точки в рухомий системі відліку, початок якої збігається з точкою, що рухається, а осями служать дотична, нормаль і бінормаль до траєкторії руху точки в кожному її положенні. Щоб задати закон руху точки природним способом, необхідно:

1) знати траєкторію руху;

2) встановити початок відліку на цій кривій;

3) встановити позитивний напрямок руху;

4) дати закон руху точки з цієї кривою, тобто. висловити відстань від початку відліку до положення точки на кривій на даний момент часу ∪OM=S(t) .

2.Векторний спосіб завдання руху точки

У цьому випадку положення точки на площині або просторі визначається вектором-функцією. Цей вектор відкладається від нерухомої точки, обраної за початок відліку, його кінець визначає положення точки, що рухається.

3.Координатний спосіб завдання руху точки

У вибраній системі координат задаються координати точки, що рухається, як функції від часу. У прямокутній декартовій системі координат це будуть рівняння:

4. Як спрямований вектор істинної швидкості точки при криволінійному русі?

При нерівномірному русі точки модуль її швидкості з часом змінюється.
Уявімо точку, рух якої задано природним способом рівнянням s = f(t).

Якщо за невеликий проміжок часу Δt точка пройшла шлях Δs, то її середня швидкість дорівнює:

vср = Δs/Δt.

Середня швидкість не дає уявлення про справжню швидкість у кожний момент часу (справжню швидкість інакше називають миттєвою). Очевидно, що менше проміжок часу, протягом якого визначається середня швидкість, тим ближче її значення буде миттєвої швидкості.

Істинна (миттєва) швидкість є межа, до якої прагне середня швидкість при Δt, що прагне нуля:

v = lim v ср при t→0 або v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким чином, числове значення істинної швидкості дорівнює v = ds/dt.
Справжня (миттєва) швидкість за будь-якого руху точки дорівнює першої похідної координати (тобто відстані від початку відліку переміщення) за часом.

При Δt прагне до нуля, Δs теж прагне нуля, і, як ми вже з'ясували, вектор швидкості буде направлений по дотичній (тобто збігається з вектором істинної швидкості v). З цього випливає, що межа вектора умовної швидкості v п, що дорівнює межі відношення вектора переміщення точки до нескінченно малого проміжку часу, дорівнює вектору істинної швидкості точки.

5. Як спрямовані дотичне та нормальне прискорення точки?

Напрямок вектора прискорення збігається з напрямом зміни швидкості Δ = - 0

Дотичне прискорення в цій точці спрямоване по дотичній до траєкторії руху точки; якщо прискорене рух, то напрям вектора дотичного прискорення збігається з напрямком вектора швидкості; якщо рух уповільнений - то напрям вектора дотичного прискорення протилежний напрямку вектора швидкості.

6. Який рух здійснює точка, якщо дотичне прискорення дорівнює нулю, а нормальне не змінюється з часом?

Рівномірний криволінійний руххарактеризується тим, що чисельне значення швидкості постійно ( v= const), швидкість змінюється лише у напрямку. І тут дотичне прискорення дорівнює нулю, оскільки v= const(Рис.б),

а нормальне прискорення не дорівнює нулю, тому що r - Кінцева величина.

7. Як виглядають кінематичні графіки при рівномірному та рівноперемінному русі?

За рівномірного руху тіло за будь-які рівні проміжки часу проходить рівні шляхи. Для кінематичного опису рівномірного прямолінійного руху координатну вісь OXзручно розташувати по лінії руху. Положення тіла при рівномірному русі визначається завданням однієї координати x. Вектор переміщення та вектор швидкості завжди спрямовані паралельно координатній осі OX. Тому переміщення та швидкість при прямолінійному русі можна спроектувати на вісь OXі розглядати їх проекції як величини алгебри.

При рівномірному русі шлях змінюється відповідно до лінійної залежності . У координатах. Графіком є ​​похила лінія.

В результаті вивчення теми студент має:

мати уявленняпро простір, час, траєкторію; середньої та істиною швидкості;

знатиспособи завдання руху точки; параметри руху точки за заданою траєкторією.

З отриманих вище загальних формул, можна зазначити конкретні способи визначення координат центрів тяжкості тіл.

1. симетрія.Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії (мал.7), його центр тяжкості лежить відповідно у площині симетрії, осі симетрії чи центрі симетрії.

Рис.7

2. Розбиття.Тіло розбивається на кінцеве число частин (рис.8), кожної з яких становище центру тяжкості і площа відомі.

мал.8

3.Метод негативних площ.Окремий випадок способу розбиття (рис.9). Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі. Тіло у вигляді пластинки з вирізом являють собою комбінацією суцільної пластинки (без вирізу) з площею S 1 і площі вирізаної частини S 2 .

мал.9

4.Метод угруповання.Є добрим доповненням двох останніх методів. Після розбиття фігури на складові елементи частина їх зручно об'єднати знову, щоб потім спростити рішення шляхом обліку симетрії цієї групи.

Центри тяжкості деяких однорідних тіл.

1) Центр тяжкості дуги кола.Розглянемо дугу АВрадіусу Rз центральним кутом. З огляду на симетрії центр тяжкості цієї дуги лежить на осі Ox(Рис. 10).

Рис.10

Знайдемо координату за формулою. Для цього виділимо на дузі АВелемент ММ’довжиною, положення якого визначається кутом. Координата хелемента ММ’буде. Підставляючи ці значення хі d lі маючи на увазі, що інтеграл має бути поширений на всю довжину дуги, отримаємо:

де L- Довжина дуги АВ, рівна.

Звідси остаточно знаходимо, що центр тяжіння дуги кола лежить на її осі симетрії на відстані від центру Про, рівному

де кут вимірюється у радіанах.

2) Центр тяжкості площі трикутника.Розглянемо трикутник, що лежить у площині Oxyкоординати вершин якого відомі: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Розбиваючи трикутник на вузькі смужки, паралельні стороні А 1 А 2 прийдемо до висновку, що центр тяжіння трикутника повинен належати медіані А 3 М 3 (рис.11).

Рис.11

Розбиваючи трикутник на смужки, паралельні стороні А 2 А 3 можна переконатися, що він повинен лежати на медіані А 1 М 1 . Таким чином, центр тяжкості трикутника лежить у точці перетину його медіан, Яка, як відомо, відокремлює від кожної медіани третину, рахуючи від відповідної сторони.

Зокрема, для медіани А 1 М 1 отримаємо, враховуючи, що координати точки М 1 - це середнє арифметичне координат вершин А 2 та А 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Таким чином, координати центру тяжкості трикутника є середнім арифметичним з координат його вершин:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Центр тяжкості площі кругового сектора.Розглянемо сектор кола радіусу Rз центральним кутом 2α, розташований симетрично щодо осі Ox(Рис.12) .

Очевидно, що y c = 0, а відстань від центру кола, з якого вирізаний цей сектор, до центру тяжкості можна визначити за формулою:

Рис.12

Найпростіше цей інтеграл обчислити, розбиваючи область інтегрування на елементарні сектори з кутом dφ. З точністю до нескінченно малих першого порядку такий сектор можна замінити трикутником з основою, що дорівнює R× dφ та висотою R. Площа такого трикутника dF=(1/2)R 2 ∙dφ, а його центр тяжіння знаходиться на відстані 2/3 Rвід вершини, тому в (5) покладемо x = (2/3)R∙cosφ. Підставляючи (5) F= α R 2, отримаємо:

За допомогою останньої формули обчислимо, зокрема, відстань до центру важкості півкола.

Підставляючи (2) α = π/2, отримаємо: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

приклад 1.Визначимо центр тяжкості однорідного тіла, зображеного на рис. 13.

Рис.13

Тіло однорідне, що складається із двох частин, що мають симетричну форму. Координати центрів їхньої тяжкості:

Обсяги їх:

Тому координати центру тяжкості тіла

приклад 2.Знайдемо центр ваги пластини зігнутої під прямим кутом. Розміри – на кресленні (рис.14).

Рис.14

Координати центрів тяжкості:

Площі:

Рис. 6.5.

Приклад 3.У квадратного листа см вирізаний квадратний отвір см (рис.15). Знайдемо центр тяжкості листа.

Рис.15

У цьому завдання зручніше розділити тіло на дві частини: великий квадрат та квадратний отвір. Тільки площу отвору треба вважати негативною. Тоді координати центру тяжкості листа з отвором:

координата тому що тіло має вісь симетрії (діагональ).

Приклад 4.Дрітова дужка (рис.16) складається з трьох ділянок однакової довжини l.

Рис.16

Координати центрів тяжіння ділянок:

Тому координати центру тяжкості всієї дужки:

Приклад 5.Визначити положення центру тяжкості ферми, всі стрижні якої мають однакову щільність погонів (рис.17).

Нагадаємо, що у фізиці щільність тіла ρ та його питома вага g пов'язані співвідношенням: γ= ρ g, де g- прискорення вільного падіння. Щоб знайти масу такого однорідного тіла, потрібно густину помножити на його об'єм.

Рис.17

Термін «лінійна» або «погонна» густина означає, що для визначення маси стрижня ферми потрібно погонну густину помножити на довжину цього стрижня.

Для вирішення задачі можна скористатися методом розбиття. Представивши задану ферму у вигляді суми 6 окремих стрижнів, отримаємо:

де L iдовжина i-го стрижня ферми, а x i, y i- Координати його центру тяжкості.

Вирішення цього завдання можна спростити, якщо згрупувати 5 останніх стрижнів ферми. Неважко бачити, що вони утворюють фігуру, що має центр симетрії, розташований посередині четвертого стрижня, де знаходиться центр тяжкості цієї групи стрижнів.

Таким чином, задану ферму можна уявити комбінацією всього двох груп стрижнів.

Перша група складається із першого стрижня, для неї L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Друга група стрижнів складається з п'яти стрижнів, для неї L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м-коду.

Координати центру тяжкості ферми знаходимо за формулою:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Зазначимо, що центр Злежить на прямій, що з'єднує З 1 та З 2 і ділить відрізок З 1 З 2 щодо: З 1 З/СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Питання для самоперевірки

Що називається центром паралельних сил?

Як визначаються координати центру паралельних сил?

Як визначити центр паралельних сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю?

Яку властивість має центр паралельних сил?

За якими формулами обчислюються координати центру паралельних сил?

Що називається центром важкості тіла?

Чому сили тяжіння Землі, що діють на точку тіла, можна сприйняти як систему паралельних сил?

Запишіть формулу визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формулу визначення положення центру тяжкості плоских перерізів?

Запишіть формулу для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола?

Що називають статичним моментом майдану?

Наведіть приклад тіла, центр тяжкості якого розташований поза тілом.

Як використовуються властивості симетрії щодо центрів тяжкості тіл?

У чому полягає суть способу негативних ваг?

Де розташований центр тяжіння дуги кола?

Якою графічною побудовою можна знайти центр тяжіння трикутника?

Запишіть формулу, яка визначає центр тяжіння кругового сектора.

Використовуючи формули, що визначають центри тяжіння трикутника та кругового сектора, виведіть аналогічну формулу для кругового сегмента.

За якими формулами обчислюються координати центрів ваги однорідних тіл, плоских фігур та ліній?

Що називається статичним моментом площі плоскої фігури щодо осі, як він обчислюється та яку розмірність має?

Як визначити положення центру тяжкості площі, якщо відоме положення центрів тяжкості окремих її частин?

Якими допоміжними теоремами користуються щодо положення центру тяжкості?

Підручник для 7 класу

§ 25.3. Як знайти центр ваги тіла?

Нагадаємо, що центром тяжіння називають точку застосування сили тяжіння. Розглянемо, як знайти на досвіді положення центру тяжкості плоского тіла – скажімо, вирізаної з картону фігури довільної форми (див. лабораторну роботу №12).

Підвісимо картонну фігуру за допомогою шпильки або цвяха так, щоб вона могла вільно обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через точку О (рис. 25.4 а). Тоді цю фігуру можна як важіль з точкою опори Про.

Рис. 25.4. Як знайти на досвіді центр тяжкості плоскої фігури

Коли фігура перебуває в рівновазі, сили, що діють на неї, врівноважують одна одну. Це сила тяжкості F т, прикладена в центрі тяжкості фігури Т, і сила пружності F упр, прикладена в точці (ця сила прикладена з боку шпильки або цвяха).

Ці дві сили врівноважують одна одну лише за умови, що точки застосування цих сил (точки Т і О) лежать на одній вертикалі (див. рис. 25.4, а). Інакше сила тяжіння повертатиме фігуру навколо точки О (рис. 25.4, б).

Отже, коли фігура знаходиться в рівновазі, центр ваги лежить на одній вертикалі з точкою підвісу О. Це дозволяє визначити положення центру тяжкості фігури. Проведемо за допомогою виска вертикаль, що проходить через точку підвісу (синя лінія на рис. 25.4, в). На проведеній лінії лежить центр тяжкості тіла. Повторимо цей досвід за іншого положення точки підвісу. У результаті отримаємо другу лінію, де лежить центр тяжкості тіла (зелена лінія на рис. 25.4, г). Отже, на перетині цих ліній знаходиться центр тяжкості тіла (червона точка Г на рис. 25.4, г).