1. Parametrli xətti tənliklər sistemləri

Parametrli xətti tənliklər sistemləri adi tənlik sistemləri ilə eyni əsas üsullarla həll olunur: əvəzetmə üsulu, tənliklərin toplanması üsulu və qrafik üsul. Xətti sistemlərin qrafik şərhini bilmək köklərin sayı və onların mövcudluğu haqqında suala cavab verməyi asanlaşdırır.

Misal 1

Tənliklər sisteminin həlli olmadığı a parametri üçün bütün dəyərləri tapın.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Həll.

Bu problemi həll etməyin bir neçə yoluna baxaq.

1 yol. Xassədən istifadə edirik: x-in qarşısındakı əmsalların nisbəti y-nin qarşısındakı əmsalların nisbətinə bərabərdirsə, lakin sərbəst şərtlərin nisbətinə bərabər deyilsə (a/a 1 = b/) sistemin həlli yoxdur. b 1 ≠ c/c 1). Sonra bizdə:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 və ya sistem

(və 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Birinci tənlikdən a 2 \u003d 4, buna görə də a ≠ 2 şərtini nəzərə alaraq cavabı alırıq.

Cavab: a = -2.

2 yol.Əvəzetmə üsulu ilə həll edirik.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Birinci tənlikdə mötərizədə ümumi y faktorunu çıxardıqdan sonra alırıq:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Birinci tənliyin həlli yoxdursa, sistemin həlli yoxdur, yəni

(və 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Aydındır ki, a = ±2, lakin ikinci şərt nəzərə alınmaqla yalnız mənfi olan cavab verilir.

Cavab: a = -2.

Misal 2

Tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli olduğu a parametri üçün bütün dəyərləri tapın.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Həll.

Xüsusiyyətinə görə, əgər x və y-dəki əmsalların nisbəti eynidirsə və sistemin sərbəst üzvlərinin nisbətinə bərabərdirsə, o zaman sonsuz həllər dəstinə malikdir (yəni, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Beləliklə, 8/a = a/2 = 2/1. Əldə edilən tənliklərin hər birini həll edərək, bu misalda a \u003d 4-ün cavab olduğunu görürük.

Cavab: a = 4.

2. Parametrli rasional tənliklər sistemləri

Misal 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Həll.

Sistemin birinci tənliyini 2-yə vurun:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Birincidən ikinci tənliyi çıxarsaq, 5|х| alırıq = 4 – a. Bu tənliyin a = 4 üçün unikal həlli olacaq. Digər hallarda bu tənliyin iki həlli olacaq (a üçün< 4) или ни одного (при а > 4).

Cavab: a = 4.

Misal 4

Tənliklər sisteminin unikal həlli olduğu a parametrinin bütün qiymətlərini tapın.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Həll.

Bu sistemi qrafik üsulla həll edəcəyik. Beləliklə, sistemin ikinci tənliyinin qrafiki Oy oxu boyunca bir vahid seqmentlə yuxarı qaldırılmış paraboladır. Birinci tənlik y = -x xəttinə paralel olan xətlər çoxluğunu müəyyən edir (şəkil 1). Şəkil aydın şəkildə göstərir ki, y \u003d -x + a düz xətti koordinatları (-0,5; 1,25) olan nöqtədə parabolaya toxunarsa, sistemin həlli var. Bu koordinatları x və y əvəzinə düz xəttin tənliyində əvəz edərək a parametrinin qiymətini tapırıq:

1,25 = 0,5 + a;

Cavab: a = 0,75.

Misal 5

Əvəzetmə metodundan istifadə edərək a parametrinin hansı qiymətində sistemin unikal həllinə malik olduğunu öyrənin.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Həll.

Birinci tənlikdən y-ni ifadə edin və onu ikinci tənliklə əvəz edin:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

İkinci tənliyi k ≠ 0 üçün unikal həlli olacaq kx = b formasına gətiririk. Bizdə:

balta + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

a 2 + 3a + 2 kvadrat trinomial mötərizələrin hasili kimi göstərilə bilər

(a + 2)(a + 1), solda isə mötərizədə x-i çıxarırıq:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Aydındır ki, 2 + 3a sıfıra bərabər olmamalıdır, buna görə də,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, a ≠ 0 və ≠ -3 deməkdir.

Cavab: a ≠ 0; ≠ -3.

Misal 6

Qrafik həll metodundan istifadə edərək a parametrinin hansı qiymətində sistemin unikal həllinə malik olduğunu müəyyənləşdirin.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Həll.

Şərtə əsasən, koordinatların başlanğıcında mərkəzi və 3 vahid seqment radiusu olan bir dairə qururuq, sistemin ilk tənliyini təyin edən bu dairədir.

x 2 + y 2 = 9. Sistemin ikinci tənliyi (y = |x| + a) qırıq xəttdir. Vasitəsilə rəqəm 2 dairəyə nisbətən onun yerləşməsinin bütün mümkün hallarını nəzərdən keçiririk. a = 3 olduğunu görmək asandır.

Cavab: a = 3.

Hər hansı bir sualınız var? Tənliklər sistemlərini necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Tərbiyəçidən kömək almaq üçün -.
İlk dərs ödənişsizdir!

blog.site, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. Tənliklər insanlar tərəfindən qədim zamanlardan istifadə edilmişdir və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Riyaziyyatda ümumi formada xətti və kvadrat tənliklərin həlli yollarını axtarmaq və ya parametrin qiymətindən asılı olaraq tənliyin malik olduğu köklərin sayını axtarmaq lazım olan tapşırıqlar var. Bütün bu vəzifələr parametrlərlə.

Aşağıdakı tənlikləri nümunə kimi nəzərdən keçirin:

\[y = kx,\] burada \ - dəyişənlər, \ - parametr;

\[y = kx + b,\] burada \ - dəyişənlər, \ - parametr;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] burada \ dəyişəndir, \[a, b, c\] parametrdir.

Parametrli tənliyin həlli, bir qayda olaraq, sonsuz tənliklər toplusunun həlli deməkdir.

Bununla belə, müəyyən bir alqoritmə riayət etməklə aşağıdakı tənlikləri asanlıqla həll etmək olar:

1. Parametrin "nəzarət" dəyərlərini təyin edin.

2. Birinci abzasda göstərilən parametr dəyərləri ilə [\x\] üçün orijinal tənliyi həll edin.

3. [\x\] üçün orijinal tənliyi birinci abzasda seçilənlərdən fərqli olan parametr dəyərləri ilə həll edin.

Tutaq ki, aşağıdakı tənlik verilir:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

İlkin məlumatları təhlil etdikdən sonra aydın olur ki, \[\ge 0.\]

Modul qaydası ilə \ ifadə edirik \

Cavab: \ harada \

Parametrli tənliyi onlayn olaraq harada həll edə bilərəm?

Tənliyi https: // saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici istənilən mürəkkəbliyin onlayn tənliyini saniyələr ərzində həll etməyə imkan verəcək. Etməli olduğunuz şey yalnız məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin video təlimatına baxa və tənliyi həll etməyin yollarını veb saytımızda öyrənə bilərsiniz. Hər hansı bir sualınız varsa, onları Vkontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher verə bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.

Qeyd. Yuxarıdakı misalda bütün determinantların hesablanması amillərin hasili şəklində təqdim edilməsi ilə başa çatdı, onlardan biri (13) bölmə zamanı azaldıldı. Bu vəziyyət çox ümumidir. Buna görə də, faktorları çoxaltmağa tələsməyin, baxmayaraq ki, çox vaxt ləğv etmirlər.

Tapşırıq 4.4. Kramer qaydasından istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin:

Yuxarıdakı məsələlərin həlli onu göstərir ki, Kramer düsturları xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün vahid və rahat üsuldur.

Qeyd . Naməlumlardan yalnız biri tapılarsa, Kramer düsturlarının istifadəsi xeyli sadələşir: bu halda yalnız iki determinantı hesablamaq lazımdır.

2.4.4. Parametrli tənliklər sistemləri

Yuxarıda naməlumlar və tənliklərin sağ tərəfləri üçün sabit əmsallı xətti cəbri tənliklər sistemləri hər yerdə nəzərdən keçirilirdi. Praktik məsələlərdə çox vaxt bu əmsallar və sağ tərəflərin dəyərləri qeyri-dəqiq bilinir. Buna görə də belə parametrlərin sistemlərin həllinə təsirini təhlil etmək lazımdır.

Misal 4.5. Tənliklər sisteminin həllinin asılılığını tədqiq edin

3x + 8y = a5x + 9y = b

a və b parametrlərindən.

Burada tənliklərin yalnız sağ tərəfləri parametrlərdən asılıdır. kimi

həll yolu tapmaq üçün Kramer düsturlarından istifadə edə bilərsiniz. Bizdə:

y (a , b )

x (a, b)

Beləliklə, a və b parametrlərinin hər bir cütü verilmiş tənliklər sistemini təmin edən yeganə x və y ədəd cütlüyünə uyğun gəlir. Bu o deməkdir ki, tənliklər sisteminin həlli iki dəyişənin (a və b parametrləri) sifarişli cütü və iki funksiyasıdır. Hər iki funksiya bu parametrlərin istənilən dəyəri üçün müəyyən edilir və a və b müstəqil dəyişənlərindən xətti asılıdır. Bundan əlavə, x monoton şəkildə artır

və onların həllinin a və b parametrlərindən asılılığını araşdırın. Tövsiyə. Nəticədə x (a , b ) və y ( a , b ) həllərinin qrafikini qurun.

a və b dəyişən parametrlərinin funksiyaları kimi. Nə üçün bütün məsələlərdə həll yollarının a və b parametrlərindən xətti asılı olduğunu izah edin.

Misal 4.6. Tənliklər sisteminin həllinin asılılığını tədqiq edin

Bu determinant yalnız a ≠ − 5 olduqda sıfıra bərabər deyil. Buna görə də siz Kramer düsturlarından yalnız a ≠ − 5 olduqda istifadə edə bilərsiniz. Bu halda:

a = − 5 halını ayrıca nəzərdən keçirək. Sonra orijinal sistem belədir:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c , y = 2

Təbii ki, naməlumlardan hər hansı birinin qiymətini seçməkdə özbaşınalıq var və həlli də bu formada yazıla bilər:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

Beləliklə, ilkin sistemin naməlumları üçün əmsalların parametrindən asılılıq həllin yoxluğunu və ya sonsuz həllər çoxluğunun mövcudluğunu yarada bilər. Aşkar edilmiş fakt əvvəllər bir ax = b tənliyi və iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemləri üçün məlum olan ümumiləşdirmədir.

Qeyd 1. Tənliklər sisteminin həllinə c sabitinin daxil edilməsi inteqrasiya sabitinin seçilməsində özbaşınalığı xatırladır.

Qeyd 2. Nəzərdən keçirilən nümunə göstərir ki, tək tənliyə gəldikdə isə, çoxlu sayda tənlikləri və naməlumları olan xətti cəbr sistemləri üçün yalnız üç müxtəlif hal mümkündür: tək həll, həll yoxdur və ya sonsuz sayda həll.

Problem 4.6. Tənliklər sisteminin həll yollarını araşdırın:

Problem 4.7. İki naməlum və iki parametrli iki cəbri tənlik sisteminizi tapın və parametrlərin dəyərlərindən asılı olaraq onu araşdırın.

Özünə nəzarət üçün suallar

1) Determinantın kiçik elementi hansıdır?

2) Cəbri tamamlayıcı ilə determinant elementinin minoru arasında fərq nədir?

3) Əlavə matris nədir?

4) Verilmiş matris üçün əlaqəli matrisi necə tapmaq olar?

5) Əlaqədar matrisin sırası nədir?

6) Tərs matris nə vaxt mövcud deyil?

7) Hansı matris qeyri-degenerativ adlanır?

8) Kramer düsturları hansı şərtlərdə istifadə edilə bilər?

9) Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli nədir?

10) Kramer düsturlarına hansı determinantlar daxildir?

11) Determinantlar nə vaxt parametrlərdən asılıdır?

12) Əlaqədar və orijinal matrisin hasili skalyar matris ola bilərmi?

13) Əlavə edilmiş və orijinal matrisləri vurarkən amillərin dəyişməsi nəticəyə necə təsir edir?

14) Cramer düsturları nədir?

15) Hansı şəraitdə xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini Kramer qaydasından (düsturlarından) istifadə etməklə tapmaq olar?

Parametrli tənliklər sistemini həll edək (A.Larin, variant 98)

Sistemin hər biri üçün parametrin bütün dəyərlərini tapın

tam bir həlli var.

Gəlin sistemə daha yaxından nəzər salaq. Sistemin birinci tənliyində solda , sağ tərəfi isə parametrdən asılı deyil. Yəni bu tənliyi funksiyanın tənliyi kimi qəbul edə bilərik

və biz bu funksiyanın qrafikini çəkə bilərik.

Sistemin ikinci tənliyi

parametrdən asılıdır və tənliyin sol tərəfindəki tam kvadratı seçməklə dairə tənliyini əldə edirik.

Beləliklə, hər bir tənliyin qrafiklərini qurmağın mənası var və bu qrafiklərin parametrin hansı qiymətində bir kəsişmə nöqtəsinə sahib olduğuna baxın.

Birinci tənlikdən başlayaq. Əvvəlcə modulları açaq. Bunun üçün işarənin dəyişdiyi nöqtələri tapmaq üçün hər bir alt modul ifadəsini sıfıra bərabərləşdiririk.

Birinci submodul ifadəsi işarəni at , ikincisi - at dəyişir.

Bu nöqtələri koordinat xəttinə qoyaq və hər bir intervalda hər bir alt modul ifadəsinin əlamətlərini tapaq:

Qeyd edək ki, üçün və tənliyinin mənası yoxdur, ona görə də bu nöqtələri kəsdik.

İndi hər bir interval üzrə modulları genişləndirək. (Xatırladaq ki, əgər alt modul ifadəsi sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabərdirsə, modulu eyni işarə ilə, sıfırdan kiçikdirsə, əks işarə ilə genişləndiririk.)

Hər iki alt modul ifadəsi mənfidir, buna görə də hər iki modul əks işarə ilə genişləndirilir:

Yəni orijinal funksiya üçün formaya malikdir

Bu intervalda birinci submodul ifadəsi mənfi, ikincisi isə müsbətdir, buna görə də alırıq:

- funksiya bu intervalda mövcud deyil.

3.title="(!LANG:x>2">!}

Bu intervalda hər iki alt modul ifadəsi müsbətdir, biz hər iki modulu eyni işarə ilə genişləndiririk. Biz əldə edirik:

Yəni başlıq="(!LANG:x>2"> исходная функция имеет вид !}

Beləliklə, funksiyanın qrafikini əldə etdik

İndi ikinci tənliyə baxaq:

Tənliyin sol tərəfində tam kvadrat seçirik, bunun üçün tənliyin hər iki tərəfinə 4 rəqəmini əlavə edirik:

Parametrin xüsusi dəyəri üçün bu tənliyin qrafiki koordinatları olan nöqtədə mərkəzləşdirilmiş çevrədir, radiusu 5-ə bərabərdir. Fərqli dəyərlər üçün bir sıra dairələrimiz var:

Birinci funksiyanın qrafikinin sol tərəfinə toxunana qədər dairəni aşağıdan yuxarıya aparacağıq. Şəkildə bu dairə qırmızıdır. Bu çevrənin mərkəzi nöqtədir, koordinatları (-2;-3). Bundan əlavə, yuxarıya doğru hərəkət edərkən, dairənin funksiya qrafikinin sol tərəfi ilə bir kəsişmə nöqtəsi var, yəni sistemin unikal həlli var.

Birinci funksiyanın qrafikinin sağ tərəfinə toxunana qədər dairəni yuxarı qaldırmağa davam edirik. Bu, dairənin mərkəzi koordinatları (-2; 0) olan nöqtədə olduqda baş verəcəkdir - şəkildə bu dairə mavidir.

Daha da yuxarıya doğru hərəkət etdikdə çevrə birinci funksiyanın qrafikinin həm sol, həm də sağ hissələrini kəsəcək, yəni dairənin birinci funksiyanın qrafiki ilə iki kəsişmə nöqtəsi olacaq və sistemin iki həlli olacaq. Bu vəziyyət dairənin mərkəzi koordinatları (-2; 5) olan nöqtəyə gələnə qədər davam edir - bu dairə yaşıldır. Bu zaman dairə qrafikin sol tərəfinə toxunur və sağ tərəfi keçir. Yəni sistemin bir həlli var.

Beləliklə, sistemin unikal həlli var (-3;0]}