Która z sekwencji jest monotoniczna i ograniczona. Twierdzenie Weierstrassa na granicy ciągu monotonicznego. Przykład rozwiązania problemu

Definicja 1. Ciąg nazywamy niemalejącym [nierosnącym], jeśli każdy element ciągu, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy (nie większy niż) jego poprzedniego elementu, tj. jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb

Definicja 2. Sekwencja nazywana jest monotoniczną, jeśli jest albo niemalejąca, albo nierosnąca.

Jeżeli elementy ciągu niemalejącego dla wszystkich liczb spełniają ścisłą nierówność, to ciąg ten nazywamy rosnącym.

Podobnie, jeśli elementy ciągu nierosnącego dla wszystkich liczb spełniają ścisłą nierówność, to ciąg ten nazywamy malejącym.

Zauważ, że każda sekwencja monotoniczna jest ograniczona z jednej strony (powyżej lub poniżej). Rzeczywiście, każdy ciąg nierosnący jest ograniczony poniżej (wartość jego pierwszego elementu może być przyjęta jako ograniczenie dolne), a każdy ciąg nierosnący jest ograniczony powyżej (wartość jego pierwszego elementu może być również przyjęta jako ograniczenie górne ).

Wynika z tego, że ciąg nierosnący będzie ograniczony z obu stron lub po prostu ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony powyżej, a ciąg nierosnący będzie ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony poniżej.

Rozważ przykłady sekwencji monotonicznych.

1. Sekwencja nie maleje. Jest ograniczony poniżej wartością pierwszego elementu i nieograniczony powyżej.

2. Sekwencja maleje. Jest ograniczona z obu stron: od góry wartością pierwszego elementu 2, a od dołu np. liczbą 1.

Jeśli każda liczba naturalna n jest powiązana z jakąś liczbą rzeczywistą x n , to mówimy, że ciąg liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

Numer x 1 nazywa się członkiem ciągu z numerem 1 lub pierwszy członek ciągu, numer x 2 - członek sekwencji z numerem 2 lub drugi element sekwencji i tak dalej. Liczba x n nazywa się członek ciągu o numerze n.

Istnieją dwa sposoby określania ciągów liczbowych - używanie i używanie powtarzająca się formuła.

Sekwencjonowanie z sekwencja formuł terminów ogólnych jest sekwencjonowaniem

x 1 , x 2 , … x n , …

używając formuły wyrażającej zależność elementu x n od jego liczby n .

Przykład 1 . Sekwencja numeryczna

1, 4, 9, … n 2 , …

podane przez ogólny termin formuła

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Określanie sekwencji za pomocą formuły wyrażającej element sekwencji x n w kategoriach elementów sekwencji z poprzedzającymi liczbami nazywa się sekwencjonowaniem za pomocą powtarzająca się formuła.

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa kolejność rosnąca, jeszcze poprzedni członek.

Innymi słowy, dla wszystkich n

x n + 1 >x n

Przykład 3 . Ciąg liczb naturalnych

1, 2, 3, … n, …

jest kolejność rosnąca.

Definicja 2. Sekwencja liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa sekwencja malejąca, jeśli każdy członek tej sekwencji mniej poprzedni członek.

Innymi słowy, dla wszystkich n= 1, 2, 3, … nierówność

x n + 1 < x n

Przykład 4 . Sekwencja

podane przez wzór

jest sekwencja malejąca.

Przykład 5 . Sekwencja numeryczna

1, - 1, 1, - 1, …

podane przez wzór

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nie jest ani rosnący, ani malejący sekwencja.

Definicja 3. Rosnące i malejące ciągi liczbowe nazywamy sekwencje monotoniczne.

Sekwencje z ograniczeniami i bez ograniczeń

Definicja 4. Sekwencja liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa ograniczone z góry jeśli istnieje liczba M taka, że ​​każdy członek tego ciągu mniej numery M .

Innymi słowy, dla wszystkich n= 1, 2, 3, … nierówność

Definicja 5. Ciąg liczbowy

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa ograniczone od dołu jeśli istnieje liczba m taka, że ​​każdy członek tego ciągu jeszcze numery m.

Innymi słowy, dla wszystkich n= 1, 2, 3, … nierówność

Definicja 6. Sekwencja liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

zwany ograniczony, jeśli to ograniczone zarówno powyżej, jak i poniżej.

Innymi słowy, istnieją liczby M i m takie, że dla wszystkich n= 1, 2, 3, … nierówność

m< x n < M

Definicja 7. Ciągi liczbowe, które nie są ograniczone, nazywa nieograniczone sekwencje.

Przykład 6 . Sekwencja numeryczna

1, 4, 9, … n 2 , …

podane przez wzór

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ograniczone od dołu, na przykład liczba 0. Jednak ta sekwencja nieograniczony z góry.

Przykład 7 . Sekwencja

podane przez wzór

jest ograniczona sekwencja, bo dla wszystkich n= 1, 2, 3, … nierówność

Na naszej stronie internetowej można również zapoznać się z materiałami edukacyjnymi opracowanymi przez nauczycieli ośrodka szkoleniowego Resolventa do przygotowania do egzaminu Unified State Examination i OGE z matematyki.

Dla uczniów, którzy chcą dobrze się przygotować i zdać UŻYWAĆ w matematyce lub języku rosyjskim za wysoki wynik prowadzi ośrodek szkoleniowy „Resolventa”

Twierdzenie Weierstrassa o granicy ciągu monotonicznego

Dowolna sekwencja ograniczona monotonem (xn) ma skończoną granicę równą dokładnej górnej granicy, sup ( x n ) dla nie malejącego i dokładnego ograniczenia dolnego, inf ( x n ) dla sekwencji nierosnącej.
Każdy monotoniczny ciąg nieograniczony ma nieskończoną granicę równą plus nieskończoność dla ciągu nie malejącego i minus nieskończoność dla ciągu nierosnącego.

Dowód

1) niemalejący ciąg ograniczony.

(1.1) .

Ponieważ ciąg jest ograniczony, ma skończoną dokładną górną granicę
.
To znaczy, że:

• dla wszystkich n,
  (1.2) ;
• dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba zależna od ε, więc
  (1.3) .

.
Tutaj również użyliśmy (1.3). W połączeniu z (1.2) znajdujemy:
w .
Ponieważ wtedy
,
lub
w .
Udowodniono pierwszą część twierdzenia.

2) Teraz niech sekwencja będzie nierosnąca sekwencja ograniczona:
(2.1) dla wszystkich n.

Ponieważ ciąg jest ograniczony, ma skończoną dokładną granicę dolną
.
Oznacza to:

• dla wszystkich n występują następujące nierówności:
  (2.2) ;
• dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba zależna od ε dla której
  (2.3) .

.
Tutaj również użyliśmy (2.3). Biorąc pod uwagę (2.2), znajdujemy:
w .
Ponieważ wtedy
,
lub
w .
Oznacza to, że liczba jest granicą ciągu.
Udowodniono drugą część twierdzenia.

Rozważmy teraz ciągi nieograniczone.
3) Niech sekwencja będzie nieograniczona sekwencja nie malejąca.

Ponieważ ciąg jest niemalejący, następujące nierówności obowiązują dla wszystkich n:
(3.1) .

Ponieważ sekwencja nie maleje i jest nieograniczona, jest nieograniczona po prawej stronie. Wtedy dla dowolnej liczby M istnieje liczba zależna od M dla której
(3.2) .

Ponieważ ciąg jest niemalejący, to mamy:
.
Tutaj również użyliśmy (3.2).

.
Oznacza to, że granica ciągu wynosi plus nieskończoność:
.
Udowodniono trzecią część twierdzenia.

4) Na koniec rozważ przypadek, w którym nieograniczona nierosnąca sekwencja.

Jak wyżej, ponieważ ciąg nie rośnie, to
(4.1) dla wszystkich n.

Ponieważ sekwencja jest nierosnąca i nieograniczona, jest nieograniczona po lewej stronie. Wtedy dla dowolnej liczby M istnieje liczba zależna od M dla której
(4.2) .

Ponieważ sekwencja nie rośnie, to mamy:
.

Tak więc dla dowolnej liczby M istnieje liczba naturalna zależna od M, więc dla wszystkich liczb obowiązują następujące nierówności:
.
Oznacza to, że granica ciągu wynosi minus nieskończoność:
.
Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład rozwiązania problemu

Korzystając z twierdzenia Weierstrassa, udowodnij zbieżność ciągu:
, , . . . , , . . .
Następnie znajdź jego granicę.

Przedstawmy ciąg w postaci powtarzających się formuł:
,
.

Udowodnijmy, że dany ciąg jest ograniczony od góry przez wartość
(P1) .
Dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.
.
Pozwalać . Następnie
.
Udowodniono nierówność (A1).

Udowodnijmy, że ciąg jest monotonicznie narastający.
;
(P2) .
Ponieważ , to mianownik ułamka i pierwszy czynnik w liczniku są dodatnie. Ponieważ wyrazy ciągu są ograniczone nierównością (P1), drugi czynnik również jest dodatni. Więc
.
Oznacza to, że sekwencja ściśle rośnie.

Ponieważ sekwencja rośnie i jest ograniczona od góry, jest to sekwencja ograniczona. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, ma granicę.

Znajdźmy ten limit. Oznaczmy to przez :
.
Użyjmy czego
.
Stosujemy to do (P2) za pomocą właściwości arytmetycznych granic ciągów zbieżnych:
.
Korzeń spełnia warunek.

Definicja. Ciąg (x n ) nazywa się ograniczony, jeśli istnieje taka liczba M>0, że dla dowolnego n prawdziwa nierówność:

tych. wszyscy członkowie sekwencji należą do przedziału (-M; M).

Na przykład ciągi 2 0, 3 0, 4 0, 5 0) są ograniczone, natomiast ciąg 1 0) jest nieograniczony.

Poniższe twierdzenie wynika bezpośrednio z definicji ciągu ograniczonego i definicji granicy ciągu:

Twierdzenie. Jeżeli x n ® a, to ciąg (x n ) jest ograniczony.

Należy zauważyć, że odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe, tj. granica ciągu nie implikuje jego zbieżności.

Na przykład sekwencja jednak bez limitu

Definicja. Ciąg (x n ) nazywa się ograniczony od góry, jeśli w ogóle n istnieje liczba M taka, że ​​x n £ M.

Przykład.(x n ) \u003d 3n - ograniczony od dołu (3, 6, 9, ... ).

sekwencje monotoniczne.

Definicja. 1) Jeśli x n +1 > x n dla wszystkich n, to ciąg rośnie.

2) Jeżeli x n +1 ³ x n dla wszystkich n, to ciąg jest niemalejący.

3) Jeśli x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Jeżeli x n +1 £ x n dla wszystkich n, to ciąg jest nierosnący

Wszystkie te sekwencje są nazywane monotonny. Ciągi rosnące i malejące są nazywane ściśle monotonne.

Przykład.(x n ) = 1/n - malejąca i ograniczona

(x n ) = n - rosnący i nieograniczony.

Przykład. Udowodnij, że ciąg (x n )= jest jednostajnie narastający.

Rozwiązanie. Znajdź członka ciągu (x n +1 )=

Znajdź znak różnicy: (x n )-(x n +1 )=

, bo nnN, wtedy mianownik jest dodatni dla dowolnego n.

Zatem x n +1 > x n . Sekwencja rośnie, co należy udowodnić.

Przykład. Dowiedz się, czy sekwencja rośnie, czy maleje

Rozwiązanie. Znajdźmy . Znajdźmy różnicę

Bo nОN, potem 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

Należy zauważyć, że sekwencje monotoniczne są ograniczone co najmniej z jednej strony.

Twierdzenie. Sekwencja ograniczona monotonicznie ma limit.

Dowód. Rozważ sekwencję monotoniczną bez malejącej

x 1 £ x 2 £ x 3 £ ... £ x n £ x n +1 £ ...

Ciąg ten jest ograniczony od góry: x n £ M, gdzie M jest pewną liczbą.

Bo każdy zbiór liczbowy ograniczony od góry ma wyraźne ograniczenie górne, wtedy dla dowolnego e>0 istnieje liczba N taka, że ​​x N > a - e, gdzie a jest pewnym górnym ograniczeniem zbioru.

Bo (x n ) jest ciągiem niemalejącym, wtedy dla N > n a - e< x N £ x n ,

Stąd a - e< x n < a + e

mi< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

W przypadku innych sekwencji monotonicznych dowód jest podobny.

Twierdzenie zostało udowodnione.

§3. Numer mi.

Rozważmy ciąg (x n ) = .

Jeśli ciąg (x n ) jest monotoniczny i ograniczony, to ma skończoną granicę.

Zgodnie z dwumianem Newtona:

Albo co to samo?

Pokażmy, że ciąg (x n ) rośnie. Rzeczywiście, napiszmy wyrażenie x n +1 i porównajmy je z wyrażeniem x n:

Każdy wyraz w wyrażeniu x n +1 jest większy niż odpowiadająca mu wartość x n , a ponadto x n +1 ma dodany jeszcze jeden składnik dodatni. Zatem sekwencja (xn) rośnie.

Wykażmy teraz, że dla dowolnego n jego wyrazy nie przekraczają trzech: x n< 3.

Tak więc ciąg jest monotonicznie rosnący i ograniczony od góry, tj. ma skończoną granicę. Ten limit jest zwykle oznaczany literą mi.

Z nierówności wynika, że ​​e £ 3. Odrzucając w równości dla (x n) wszystkie wyrazy, począwszy od czwartego, mamy:

dochodząc do granicy, dostajemy

Tak więc liczba e znajduje się między liczbami 2,5 i 3. Jeśli weźmiemy większą liczbę wyrazów w szeregu, możemy uzyskać dokładniejsze oszacowanie wartości liczby e.

Można wykazać, że liczba e jest niewymierna, a jej wartość to 2,71828...

Podobnie można pokazać, że , rozszerzając wymagania dla x na dowolną liczbę rzeczywistą:

Przypuszczać:

Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego.

Powyżej znajduje się wykres funkcji y = lnx.

Związek między logarytmami naturalnymi i dziesiętnymi.

Niech x \u003d 10 y, a następnie lnx \u003d ln10 y, a zatem lnx \u003d yln10

y = , gdzie M = 1/ln10 » 0,43429… to moduł przejścia.

§4. Pojęcie granicy funkcji.

4.1. Granica funkcji w punkcie.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu x = a (czyli w samym punkcie x = a funkcja nie może być zdefiniowana)

Definicja. Numer A nazywa się limit funkcja f(x) dla x®a jeśli dla dowolnego e>0 istnieje liczba D>0 taka, że ​​dla wszystkich x takich, że

ix - ai< D

nierówność ïf(x) - Aï< e.

Tę samą definicję można zapisać w innej formie:

Jeśli a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Zapisanie granicy funkcji w punkcie:

Podstawowe twierdzenia o granicach.

Twierdzenie 1. , gdzie C = const.

Poniższe twierdzenia są poprawne przy założeniu, że funkcje f(x) i g(x) mają skończone granice jako x®a.

Twierdzenie 2.

Dowód tego twierdzenia zostanie podany poniżej.

Twierdzenie 3.

Konsekwencja.

Twierdzenie 4. w

Twierdzenie 5. Jeśli f(x)>0 w pobliżu punktu x = a i , to A>0.

Znak graniczny dla f(x)< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Twierdzenie 6. Jeśli g(x) £ f(x) £ u(x) w pobliżu punktu x = a i , następnie i .

Definicja. Funkcja f(x) nazywa się ograniczony w pobliżu punktu x = a jeśli istnieje liczba M>0 taka, że ​​ïf(x)ï

Twierdzenie 7. Jeśli funkcja f(x) ma skończoną granicę jako x®a, to jest ograniczona w pobliżu punktu x = a.

Dowód. Niech , tj. , następnie

Gdzie M \u003d e + ïAi

Twierdzenie zostało udowodnione.

4.2. Granice jednostronne.

Definicja. Jeśli f(x) ® A 1 dla x ® a tylko dla x< a, то - называется limit funkcja f(x) w punkcie x = a lewo, a jeśli f(x) ® A 2 dla x ® a tylko dla x > a, to nazywa limit funkcja f(x) w punkcie x = a po prawej.

w

Powyższa definicja odnosi się do przypadku, gdy funkcja f(x) nie jest zdefiniowana w samym punkcie x = a, ale jest zdefiniowana w jakimś arbitralnie małym sąsiedztwie tego punktu.

Granice A 1 i A 2 są również nazywane jednostronne ograniczenia funkcje f(x) w punkcie x = a. Mówi się również, że A ostateczny limit funkcje f(x).

4.3.Limit funkcji, gdy argument dąży do nieskończoności.

Definicja. Numer A nazywa się limit funkcja f(x) dla x®¥, jeśli dla dowolnej liczby e>0 istnieje liczba M>0 taka, że ​​dla wszystkich x, ïxï>M nierówność